РЕШУ ЕГЭ — математика базовая

Цифровая запись числа

Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-⁠нибудь одно такое число.

Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-⁠нибудь одно такое число.

Найдите трёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-⁠нибудь одно такое число.

Решение. Чтобы число делилось на 25, оно должно заканчиваться на 00, 25, 50 или 75. Наше число на 00 заканчиваться не может, поскольку все его цифры должны быть различны. Выпишем все трёхзначные числа, заканчивающиеся на 25, 50 или 75, все цифры которых различны, найдём сумму квадратов их цифр, проверим, делится ли она на 3 и на 9.

125: $1 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 5 в квадрате = 30,$ сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

150: $1 в квадрате плюс 5 в квадрате плюс 0 в квадрате = 26,$ сумма квадратов цифр не делится на 3.

175: $1 в квадрате плюс 7 в квадрате плюс 5 в квадрате = 75,$ сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

250: $2 в квадрате плюс 5 в квадрате плюс 0 в квадрате = 29,$ сумма квадратов цифр не делится на 3.

275: $2 в квадрате плюс 7 в квадрате плюс 5 в квадрате = 78,$ сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

325: $3 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 5 в квадрате = 38,$ сумма квадратов цифр не делится на 3.

350: $3 в квадрате плюс 5 в квадрате плюс 0 в квадрате = 34,$ сумма квадратов цифр не делится на 3.

375: $3 в квадрате плюс 7 в квадрате плюс 5 в квадрате = 83,$ сумма квадратов цифр не делится на 3.

425: $4 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 5 в квадрате = 45,$ сумма квадратов цифр делится на 3 и на 9.

450: $4 в квадрате плюс 5 в квадрате плюс 0 в квадрате = 41,$ сумма квадратов цифр не делится на 3.

475: $4 в квадрате плюс 7 в квадрате плюс 5 в квадрате = 90,$ сумма квадратов цифр делится на 3 и на 9.

625: $6 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 5 в квадрате = 65,$ сумма квадратов цифр не делится на 3.

650: $6 в квадрате плюс 5 в квадрате плюс 0 в квадрате = 61,$ сумма квадратов цифр не делится на 3.

675: $6 в квадрате плюс 7 в квадрате плюс 5 в квадрате = 110,$ сумма квадратов цифр не делится на 3.

725: $7 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 5 в квадрате = 78,$ сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

750: $7 в квадрате плюс 5 в квадрате плюс 0 в квадрате = 74,$ сумма квадратов цифр не делится на 3.

825: $8 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 5 в квадрате = 93,$ сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

850: $8 в квадрате плюс 5 в квадрате плюс 0 в квадрате = 89,$ сумма квадратов цифр не делится на 3.

875: $8 в квадрате плюс 7 в квадрате плюс 5 в квадрате = 138,$ сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

925: $9 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 5 в квадрате = 110,$ сумма квадратов цифр не делится на 3.

950: $9 в квадрате плюс 5 в квадрате плюс 0 в квадрате = 106,$ сумма квадратов цифр не делится на 3.

975: $9 в квадрате плюс 7 в квадрате плюс 5 в квадрате = 155,$ сумма квадратов цифр не делится на 3.

Таким образом, условию удовлетворяет любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.

Ответ: любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.

Приведите пример четырёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 19, сумма цифр которого на 1 больше их произведения.

Решение. Если хотя бы одна цифра в записи числа  — нуль, то произведение цифр равно 0, и тогда их сумма равна 1. Единственное такое четырёхзначное число  — 1000, но оно не кратно 19. Поэтому нулей среди цифр нет. Отсюда следует, что все цифры не меньше 1 и их сумма не меньше четырёх, а значит, произведение цифр не меньше трёх. Чтобы произведение было не меньше трёх, хотя бы одна из цифр должна быть больше 1. Рассмотрим такие числа в порядке возрастания суммы их цифр.

Если сумма цифр равна 5, то число записывается одной двойкой и тремя единицами (это числа 1112, 1121, 1211, 2111). Произведение цифр равно 2, поэтому они не удовлетворяют условию.

Если сумма цифр равна 6, то число записывается одной тройкой и тремя единицами или двумя двойками и двумя единицами (это числа 1113, 1131, 1311, 3111, 1122, 1212, ...). Произведение цифр равно 3 или 4 соответственно, поэтому такие числа не удовлетворяют условию.

Если сумма цифр равна 7, то произведение должно быть равно 6. Это выполнено для чисел, записываемых тройкой, двойкой и двумя единицами. Поскольку число 3211 кратно 19, оно и является искомым.

Ответ: 3211.

Примечание.

Четырёхзначное число, обладающее требуемыми свойствами, единственно. Покажем это, приведя другое решение.

Приведём решение Дмитрия Мухина (Москва).

Пусть a, b, c, d  — цифры числа и пусть а самая большая из них (порядок цифр не важен). Покажем, что произведение меньших цифр не больше четырёх. Действительно, из равенства a + b + c + d  =  1 + abcd получаем 4a ≥ abcd + 1. Деля на наибольшую цифру a, получаем, что bcd < 4.

Рассмотрим теперь следующие случаи.

1.  Пусть среди чисел b, c, d есть нуль, тогда поскольку a + b + c + d  =  1, это число 1000, но оно на 19 не делится. Итак, все три меньшие цифры числа отличны от нуля.

2.  Пусть все три меньшие цифры равны единице, тогда a + 3  =  a + 1. Этот случай невозможен.

3.  Пусть меньшие цифры  — это две единицы и двойка. Тогда a + 4  =  2a + 1, откуда a  =  3. Перебирая 12 чисел, составленных из цифр 1, 1, 2, 3, находим, что из них кратно 19 только число 3211. Оно и является ответом.

4.  Пусть меньшие цифры  — это две единицы и тройка. Тогда a + 5  =  3a + 1. Отсюда a  =  2, но тогда a не наибольшая цифра. Противоречие.

Поскольку bcd < 4, других вариантов нет. Искомое число единственно, оно равно 3211.

Найдите наименьшее пятизначное число, кратное 55, произведение цифр которого больше 50, но меньше 75.

Решение. Если число делится на 55, то оно делится на 5 и на 11. Если число делится на 5, то оно может оканчиваться на 0 или на 5. Если в записи числа есть ноль, то произведение цифр числа равно нулю. Следовательно, запись числа должна оканчиваться на 5. Пусть число имеет вид $\overlineabcde.$ Число делится на 11, если сумма цифр, стоящих в записи числа на нечётных местах, отличается от суммы цифр, стоящих на четных местах, на число, кратное 11: $левая круглая скобка a плюс c плюс e правая круглая скобка минус левая круглая скобка b плюс d правая круглая скобка = 11k,$ где $k принадлежит Z .$

Рассмотрим различные произведения abcde  — такие, что $50 меньше abcde меньше 75.$ Последняя цифра числа равна 5, следовательно, возможные значения произведения abcde: 50, 55, 60, 65, 70. Разложим каждое число на простые множители:

$55= 5 умножить на 11,60=2 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 5,65= 5 умножить на 13,70=2 умножить на 5 умножить на 7.$

Попытаемся удовлетворить уравнению $a плюс c плюс 5=b плюс d плюс 11k.$ Перебирая различные возможные значения, получим, что возможны три случая:

—  разложение числа 70 в виде $abcde=1 умножить на 1 умножить на 2 умножить на 5 умножить на 7$ удовлетворяет уравнению $1 плюс 2 плюс 5=1 плюс 7 плюс 0;$

—  разложение числа 60 в виде $abcde=1 умножить на 1 умножить на 2 умножить на 5 умножить на 6$ удовлетворяет уравнению: $2 плюс 6 плюс 5=1 плюс 1 плюс 11;$

—  разложение числа 60 в виде $abcde=1 умножить на 1 умножить на 3 умножить на 4 умножить на 5$ удовлетворяет уравнению $1 плюс 1 плюс 5=3 плюс 4 плюс 0.$

Таким образом, подходят числа 11 275, 13 145, 14 135, 17 215, 21 175, 27 115, 21 615, 61 215. Наименьшим из них является число 11 275.

Ответ: 11 275.

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.

Найдите наименьшее трёхзначное натуральное число, которое при делении на 6 и на 11 даёт равные ненулевые остатки и у которого средняя цифра является средним арифметическим двух крайних цифр.

10.  

Сумма цифр трёхзначного натурального числа А делится на 12. Сумма цифр числа (А + 6) также делится на 12. Найдите наименьшее возможное число А.

11.  

Вычеркните в числе 123 456 три цифры так, чтобы получившееся трёхзначное число делилось на 27. В ответе укажите получившееся число.

Решение. Если число делится на 27, тогда оно делится на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Следовательно, сумма цифр получившегося числа должна делится на 9. Однако если число делится на 9, то оно необязательно делится на 27, поэтому потребуется проверка.

Сумма цифр числа 123 456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Чтобы сумма цифр получившегося числа была равна 9, вычеркнем цифры, дающие в сумме 12: 6, 5 и 1. Получим число 234, оно не делится на 27. Тогда вычеркнем 2, 4 и 6, получим 135  — делится на 27.

Ответ: 135.

Примечание о единственности ответа.

Перебирая все возможные вычеркивания и не меняя порядок цифр, поскольку по условию цифры можно только вычеркивать, но не менять местами, можно найти все числа, которые можно получить из исходного:

—  начинающиеся с 1: 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156;

—  начинающиеся с 2: 234, 235, 236, 245, 246, 256;

—  начинающиеся с 3: 345, 346, 356;

—  начинающиеся с 4: 456.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что из найденных чисел на 27 делится только число 135. Других вариантов нет.

12.  

Найдите трехзначное натуральное число, большее 500, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 2 и в записи которого есть только две различные цифры. В ответе укажите какое-⁠нибудь одно такое число.

13.  

Найдите трехзначное натуральное число, большее 600, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 3 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое-⁠нибудь одно такое число.

14.  

Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами:

—  сумма цифр числа A делится на 8;

—  сумма цифр числа A + 1 делится на 8;

—  в числе A сумма крайних цифр кратна средней цифре.

В ответе укажите какое-⁠нибудь одно такое число.

15.  

Найдите четырёхзначное число, кратное 88, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение. Число делится на 88, если оно делится на 8 и на 11. Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры  — нули или образуют число, которое делится на 8. Признак делимости на 11: число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо разность этих сумм делится на 11. Используя признак делимости на 8, и учитывая, что все цифры искомого числа должны быть чётны и различны получаем, что последними цифрами числа могут быть: 024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408, 480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864. Используя признак делимости на 11 получим, что условию задачи удовлетворяют числа: 6248, 8624, 2640.

Ответ: 2640, 6248 или 8624.

Приведём идею другого решения.

Искомое число должно быть записано четырьмя из пяти цифр 0, 2, 4, 6 и 8, каждая из которых взята один раз. Причём сумма цифр в разрядах тысяч и десятков должна быть равна сумме цифр в разрядах сотен и единиц, а три последние цифры искомого числа должны образовывать трёхзначное число, кратное восьми. Пусть в разряде тысяч стоит 8, тогда в разряде десятков должна быть 2, а в разряде сотен и единиц  — цифры 4 и 6. Заметим, что число 8624 удовлетворяет условию. Далее аналогично для чисел, начинающихся с 2, 4 и 6.

16.  

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 1458. Приведите ровно один пример такого числа.

Решение. Число делится на 5, значит, его последняя цифра или 0, или 5. Но так как при записи в обратном порядке цифры также образуют четырёхзначное число, то эта цифра 5, ибо число не может начинаться с 0. Пусть число имеет вид $\overlineabc5.$ Тогда условие можно записать так:

$1000a плюс 100b плюс 10c плюс 5 минус левая круглая скобка 5000 плюс 100c плюс 10b плюс a правая круглая скобка = 1458 равносильно 999 левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка плюс 90 левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка = 1458.$ $1000a плюс 100b плюс 10c плюс 5 минус левая круглая скобка 5000 плюс 100c плюс 10b плюс a правая круглая скобка = 1458 равносильно$
$равносильно 999 левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка плюс 90 левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка = 1458.$

Второе слагаемое в левой части делится на 10. Значит, за разряд единиц в сумме отвечает только первое слагаемое. То есть остаток от деления $9 левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка$ на 10 равен 8, откуда $a = 7.$ Подставив полученное значение в уравнение, получим, что $90 левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка = минус 540,$ то есть $b минус c = минус 6.$ Перебрав все пары b и c, которые являются решением этого равенства, выпишем все числа, являющиеся ответом: 7065, 7175, 7285, 7395.

Ответ: 7065, или 7175, или 7285, или 7395.

Примечание.

Заметим, что по условию из первого числа вычитается второе, следовательно, исходное число должно быть больше, чем число, полученное в результате записи его цифр в обратном порядке. Поэтому, например, число 3825 не подходит: для него результат 1458 получается, если из числа с цифрами, записанными в обратном порядке, вычесть исходное число.

17.  

Найдите натуральное число, большее 1340, но меньшее 1640, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-⁠нибудь одно такое число.

Решение. Пусть abcd - искомое число (a  — число тысяч, b  — число сотен, $с$   — число десятков, d  — число единиц) . По условию $abcd меньше 1640.$ Кроме того, $a не равно b не равно c не равно d не равно 0.$ Проанализируем теперь то, что искомое число делится на каждую свою цифру.

Если искомое число содержит цифру 5, то эта цифра должна стоять на 4-⁠м месте. Это просто понять из того, что признак делимости на 5  — это 0 или 5 на конце числа. Если цифра 5 будет стоять где-⁠нибудь не на последнем месте, то тогда, согласно признаку делимости на 5, еще одна 5 будет стоять в конце числа, а это противоречит условию задачи.

Первая цифра  — единица. Это очевидно из того, что искомое число больше 1340 и меньше 1640.

На втором месте могут стоять цифры 3, 4, 6.

Если на втором месте стоит цифра 3, то сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма первых двух цифр: 1 + 3  =  4. Тогда сумма всех 4 цифр, которая делится на 3, может быть максимум 21. Рассмотрим варианты:

4 + x + y  =  21 (x  =  8, y  =  9: 1389  — не подходит, так как не делится на 8, 1398  — не делится на 9).

4 + x + y  =  18 (x + y  =  14: x  =  5, y  =  9: 1395  — число делится на 3, на 9 и на 5; x  =  6, y  =  8: 1368  — число делится на 3, на 6, на 8, x  =  7, y  =  7  — не подходит).

4 + x + y  =  15 (x + y  =  11: x  =  2, y  =  9  — не подходит, x  =  3, y  =  8  — не подходит, x  =  4, y  =  7  — не подходит, x  =  5, y  =  6  — не подходит).

4 + x + y  =  12 (x + y  =  8: x  =  7, y  =  1  — не подходит, x  =  2, y  =  6: 1362  — число делится на каждую из своих цифр, x  =  3, y  =  5  — не подходит, x  =  4, y  =  4  — не подходит).

4 + x + y  =  9 (x + y  =  5: x  =  4, y  =  1  — не подходит, x  =  3, y  =  2  — не подходит).

4 + x + y  =  6 (x + y  =  2: x  =  1, y  =  1  — не подходит).

4 + x + y  =  3 (x + y  =  1  — невозможно в связи с тем, что ни одна из цифр нулю не равняется.

Если на втором месте цифра 4, то последние две цифры должны делиться на 4. Среди таких чисел (без повторяющихся цифр): 28 (не подходит), 32 (не подходит), 36 (не подходит), 68 (не подходит), 72 (не подходит), 76 (не подходит), 92 (не подходит), 96 (не подходит).

Если на втором месте стоит цифра 6, то сумма цифр числа должна делиться на 3 и, кроме того, число должно оканчиваться на четную цифру. Сумма первых двух цифр 1 + 6  =  7. Тогда сумма всех 4 цифр, которая делится на 3, может быть максимум 24. Рассмотрим варианты:

7 + x + y  =  24 (x + y  =  17, x  =  8, y  =  9  — не подходят, так как число должно быть меньше 1640).

7 + x + y  =  21 (x + y  =  14: x  =  5, y  =  9  — не подходит, x  =  6, y  =  8  — не подходит, x  =  7, y  =  7  — не подходит).

7 + x + y  =  18 (x + y  =  11: x  =  2, y  =  9  — не подходит, x  =  3, y  =  8  — не подходит, x  =  4, y  =  7  — не подходит, x  =  5, y  =  6  — не подходит).

7 + x + y  =  15 (x + y  =  8: x  =  7, y  =  1  — не подходит, x  =  2, y  =  6  — не подходит, x  =  3, y  =  5  — не подходит, x  =  4, y  =  4  — не подходит).

7 + x + y  =  12 (x + y  =  5: x  =  4, y  =  1  — не подходит, x  =  3, y  =  2  — число 1632 делится на каждую из своих цифр).

7 + x + y  =  9 (x + y  =  2: x  =  1, y  =  1  — не подходит).

Ответ: 1395, 1368, 1362, 1632.

18.  

Найти четырехзначное число, кратное 44, любые две соседние цифры которого отличаются на 1. В ответе укажите любое такое число.

19.  

Найдите четырёхзначное число, большее 1500, но меньшее 2000, которое делится на 24 и сумма цифр которого равна 21. В ответе укажите какое-⁠нибудь одно такое число.

Решение. Представим искомое число в виде abcd. Если число делится на 24, то оно также делится на 3 и на 8. Поскольку сумма цифр искомого числа равна 21, то оно автоматически будет делиться на 3. Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры образуют число, которое делится на 8. Поскольку число abcd < 2000, то a  =  1, а сумма b + c + d  =  20 и d должно быть обязательно четным. Рассмотрим все случаи.

Допустим, что d  =  0, тогда b + с  =  20, что невозможно в силу $0 меньше или равно a,b,c,d\leqslant9.$

Допустим, что d  =  2, тогда b + с  =  18, откуда следует, что b  =  c  =  9. Число 992 делится на 8, следовательно, искомое число abcd  — 1992.

Допустим, что d  =  4, тогда b + с  =  16, откуда следует, что возможны следующие комбинации b и c: 7 и 9, 8 и 8. Среди чисел 794, 974, 884 ни одно не кратно 8, поэтому $d не равно 4.$

Допустим, что d  =  6, тогда b + с  =  14, откуда следует, что возможны следующие комбинации b и c: 5 и 9, 6 и 8, 7 и 7. Среди чисел 596, 956, 686, 868, 776 только число 776 кратно 8, следовательно, искомое число abcd  — 1776.

Допустим, что d  =  8, тогда b + с  =  12, откуда следует, что возможны следующие комбинации b и c: 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7, 6 и 6. Среди чисел 398, 938, 488, 848, 578, 758, 668 только числа 488, 848 кратны 8, однако полученное число 1488 не удовлетворяет условию abcd > 1500, следовательно, искомое число abcd  — 1848.

Ответ: 1776, или 1848, или 1992.

20.  

На шести карточках написаны цифры 1; 2; 3; 3; 4; 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении

вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 20. В ответе укажите какую-⁠нибудь одну такую сумму.

21.  

Найдите четырёхзначное число, большее 2000, но меньшее 4000, которое делится на 18 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе укажите какое-⁠нибудь одно такое число.

22.  

Найдите четырёхзначное число, кратное 125, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое-⁠нибудь одно такое число.

23.  

Четырёхзначное число A состоит из цифр 0, 1, 5, 6, а четырёхзначное число B  — из цифр 0, 1, 2, 3. Известно, что $B = 2A.$ Найдите число A. В ответе укажите какое-⁠нибудь одно такое число.

24.  

Найдите четырёхзначное число, которое в 3 раза меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-⁠нибудь одно такое число.

25.  

На шести карточках написаны цифры 2, 3, 5, 6, 7, 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении

вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10, но не делится на 20. В ответе укажите какую-⁠нибудь одну такую сумму.

26.  

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 5, и на 16 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра в записи которого является суммой двух других цифр. В ответе укажите какое-⁠нибудь одно такое число.

Решение. Если число даёт равные остатки при делении и на 5, и на 16, можно сразу рассматривать остатки от деления на НОК этих чисел, а именно на 80. Поскольку остаток от деления не может превышать значение наименьшего делителя, ищем числа вида 80n + 1, 80n + 2, 80n + 3 и 80n + 4.

Более того, заметим, что числа любого из подходящих видов будут начинаться на 8, 16, 24, ..., 96. Сразу станем рассматривать лишь те случаи, когда первая цифра записи меньше или хотя бы равна второй, чтобы соблюсти условие о сумме цифр. Соответственно, нас не интересуют случаи n  =  1, n  =  2, n  =  3, n  =  6 и n  =  7. Рассмотрим оставшиеся варианты.

При n  =  4: 321, 322, 323, 324  — всем условиям удовлетворяет число 321.

При n  =  5: 401, 402, 403, 404  — всем условиям удовлетворяет число 404.

При n  =  8: 641, 642, 643, 644  — всем условиям удовлетворяет число 642.

При n  =  9: 721, 722, 723, 724  — нет удовлетворяющих условиям чисел.

При n  =  10: 801, 802, 803, 804  — нет удовлетворяющих условиям чисел.

При n  =  11: 881, 882, 883, 884  — нет удовлетворяющих условиям чисел.

При n  =  12: 961, 962, 963, 964  — всем условиям удовлетворяет число 963.

Итак, искомыми числами являются 321 (остаток от деления равен 1), 404 (остаток от деления равен 4), 642 (остаток от деления равен 2) и 963 (остаток от деления равен 3).

Ответ: 321, или 404, или 642, или 963.

27.  

Найдите четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого больше 0, но меньше 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение. Искомое число делится на 18, а значит, делится на 9 и на 2. Следовательно, сумма его цифр делится на 9 и последняя его цифра чётная. Значит, последняя цифра числа  — 0, 2, 4, 6, 8.

Число 0 рассматривать не будем, поскольку на 0 делить нельзя.

Рассмотрим число 2. Заметим, что в интервале (0; 12) только числа 2, 4, 6, 8, 10 делятся на 2, давая 1, 2, 3, 4 и 5 соответственно. Значит, произведение первых трех цифр равно 1, 2, 3, 4 и 5 соответственно. Этому условию удовлетворяют только наборы: 1, 1, 1; 1, 1, 2; 1, 1, 3; 1, 2, 2; 1, 1, 4 и 1, 1, 5. Из них набор 1, 1, 5 в сумме с числом 4 даёт число, делящееся на 9.

Рассмотрим число 4. Заметим, что в интервале (0; 12) только числа 4 и 8 делятся на 4, давая 1 и 2. Значит, произведение первых трех цифр равно 1 и 2 соответственно. Этому условию удовлетворяют только наборы: 1, 1, 1 и 1, 1, 2. Эти наборы чисел в сумме с числом 4 не дают число, делящееся на 9.

Рассмотрим число 6. Заметим, что в интервале (0; 12) только число 6 делится на 6, давая 1. Значит, произведение первых трех цифр равно 1. Этому условию удовлетворяет только набор: 1, 1, 1. Этот набор чисел в сумме с числом 6 даёт число, делящееся на 9.

Рассмотрим число 6. Заметим, что в интервале (0; 12) только число 8 делится на 8, давая 1. Значит, произведение первых трех цифр равно 1. Этому условию удовлетворяет только набор: 1, 1, 1. Этот набор чисел в сумме с числом 8

не даёт число, делящееся на 9.

Ответ: 1152, 1512, 5112, 1116.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	506263	578\|587\|758\|785\|857\|875
2	510015	453\|573\|693
3	510210	2134\|4312\|1342\|3124
4	510326	125\|175\|275\|725\|825\|875
5	507010	1412\|4112\|1124
6	507054	3211
7	507059	11275
8	507052	111000
9	507057	135
10	507058	699
11	507055	135
12	508400	662\|722
13	508420	843\|963
14	509744	349\|789\|619\|969\|529
15	509764	2640\|6248\|8624
16	506834	7065\|7175\|7285\|7395
17	510715	1362\|1395\|1368\|1632
18	510925	1012\|3432\|5456\|3212\|1232\|5676\|7876\|7656
19	512427	1776\|1848\|1992
20	512681	200\|380\|740
21	512727	3456\|2358
22	514042	1375\|9375
23	514131	1065\|1506\|1560\|1605
24	518437	1125\|1944\|3087\|4608\|6561\|9000
25	520732	390\|570\|750
26	530302	321 \| 404 \| 642 \| 963
27	533082	1152\|1512\|5112\|1116

Ключ