Если число даёт рав­ные остат­ки при де­ле­нии и на 5, и на 16, можно сразу рас­смат­ри­вать остат­ки от де­ле­ния на НОК этих чисел, а имен­но на 80. По­сколь­ку оста­ток от де­ле­ния не может пре­вы­шать зна­че­ние наи­мень­ше­го де­ли­те­ля, ищем числа вида 80n + 1, 80n + 2, 80n + 3 и 80n + 4.

Более того, за­ме­тим, что числа лю­бо­го из под­хо­дя­щих видов будут на­чи­нать­ся на 8, 16, 24, ..., 96. Сразу ста­нем рас­смат­ри­вать лишь те слу­чаи, когда пер­вая цифра за­пи­си мень­ше или хотя бы равна вто­рой, чтобы со­б­лю­сти усло­вие о сумме цифр. Со­от­вет­ствен­но, нас не ин­те­ре­су­ют слу­чаи n  =  1, n  =  2, n  =  3, n  =  6 и n  =  7. Рас­смот­рим остав­ши­е­ся ва­ри­ан­ты.

При n  =  4: 321, 322, 323, 324  — всем усло­ви­ям удо­вле­тво­ря­ет число 321.

При n  =  5: 401, 402, 403, 404  — всем усло­ви­ям удо­вле­тво­ря­ет число 404.

При n  =  8: 641, 642, 643, 644  — всем усло­ви­ям удо­вле­тво­ря­ет число 642.

При n  =  9: 721, 722, 723, 724  — нет удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­ви­ям чисел.

При n  =  10: 801, 802, 803, 804  — нет удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­ви­ям чисел.

При n  =  11: 881, 882, 883, 884  — нет удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­ви­ям чисел.

При n  =  12: 961, 962, 963, 964  — всем усло­ви­ям удо­вле­тво­ря­ет число 963.

Итак, ис­ко­мы­ми чис­ла­ми яв­ля­ют­ся 321 (оста­ток от де­ле­ния равен 1), 404 (оста­ток от де­ле­ния равен 4), 642 (оста­ток от де­ле­ния равен 2) и 963 (оста­ток от де­ле­ния равен 3).

Ответ: 321, или 404, или 642, или 963.