Если хотя бы одна цифра в за­пи­си числа  — нуль, то про­из­ве­де­ние цифр равно 0, и тогда их сумма равна 1. Един­ствен­ное такое четырёхзнач­ное число  — 1000, но оно не крат­но 19. По­это­му нулей среди цифр нет. От­сю­да сле­ду­ет, что все цифры не мень­ше 1 и их сумма не мень­ше четырёх, а зна­чит, про­из­ве­де­ние цифр не мень­ше трёх. Чтобы про­из­ве­де­ние было не мень­ше трёх, хотя бы одна из цифр долж­на быть боль­ше 1. Рас­смот­рим такие числа в по­ряд­ке воз­рас­та­ния суммы их цифр.

Если сумма цифр равна 5, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной двой­кой и тремя еди­ни­ца­ми (это числа 1112, 1121, 1211, 2111). Про­из­ве­де­ние цифр равно 2, по­это­му они не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию.

Если сумма цифр равна 6, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной трой­кой и тремя еди­ни­ца­ми или двумя двой­ка­ми и двумя еди­ни­ца­ми (это числа 1113, 1131, 1311, 3111, 1122, 1212, ...). Про­из­ве­де­ние цифр равно 3 или 4 со­от­вет­ствен­но, по­это­му такие числа не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию.

Если сумма цифр равна 7, то про­из­ве­де­ние долж­но быть равно 6. Это вы­пол­не­но для чисел, за­пи­сы­ва­е­мых трой­кой, двой­кой и двумя еди­ни­ца­ми. По­сколь­ку число 3211 крат­но 19, оно и яв­ля­ет­ся ис­ко­мым.

Ответ: 3211.

При­ме­ча­ние.

Четырёхзнач­ное число, об­ла­да­ю­щее тре­бу­е­мы­ми свой­ства­ми, един­ствен­но. По­ка­жем это, при­ве­дя дру­гое ре­ше­ние.

При­ведём ре­ше­ние Дмит­рия Му­хи­на (Москва).

Пусть a, b, c, d  — цифры числа и пусть а самая боль­шая из них (по­ря­док цифр не важен). По­ка­жем, что про­из­ве­де­ние мень­ших цифр не боль­ше четырёх. Дей­стви­тель­но, из ра­вен­ства a + b + c + d  =  1 + abcd по­лу­ча­ем 4a ≥ abcd + 1. Деля на наи­боль­шую цифру a, по­лу­ча­ем, что bcd < 4.

Рас­смот­рим те­перь сле­ду­ю­щие слу­чаи.

1.  Пусть среди чисел b, c, d есть нуль, тогда по­сколь­ку a + b + c + d  =  1, это число 1000, но оно на 19 не де­лит­ся. Итак, все три мень­шие цифры числа от­лич­ны от нуля.

2.  Пусть все три мень­шие цифры равны еди­ни­це, тогда a + 3  =  a + 1. Этот слу­чай не­воз­мо­жен.

3.  Пусть мень­шие цифры  — это две еди­ни­цы и двой­ка. Тогда a + 4  =  2a + 1, от­ку­да a  =  3. Пе­ре­би­рая 12 чисел, со­став­лен­ных из цифр 1, 1, 2, 3, на­хо­дим, что из них крат­но 19 толь­ко число 3211. Оно и яв­ля­ет­ся от­ве­том.

4.  Пусть мень­шие цифры  — это две еди­ни­цы и трой­ка. Тогда a + 5  =  3a + 1. От­сю­да a  =  2, но тогда a не наи­боль­шая цифра. Про­ти­во­ре­чие.

По­сколь­ку bcd < 4, дру­гих ва­ри­ан­тов нет. Ис­ко­мое число един­ствен­но, оно равно 3211.