Раз­ло­жим число 20 на сла­га­е­мые раз­лич­ны­ми спо­со­ба­ми:

При раз­ло­же­нии спо­со­ба­ми 1−4, 7 и 8 суммы квад­ра­тов чисел не крат­ны трём. При раз­ло­же­нии пятым спо­со­бом сумма квад­ра­тов крат­на де­вя­ти. Раз­ло­же­ние ше­стым спо­со­бом удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям за­да­чи. Таким об­ра­зом, под­хо­дит любое число, за­пи­сан­ное циф­ра­ми 5, 7 и 8. На­при­мер, это число 578: сумма его цифр равна 20, а сумма квад­ра­тов цифр равна 138, то есть де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Также по­дой­дут и дру­гие числа, на­при­мер: 587, 758, 785, 857 или 875.

Ответ: 578, 587, 758, 785, 857 или 875.

Число имеет оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 5 и на 6. Сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 30, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше пяти. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид:

При ни одно из чисел не боль­ше 400.

При : 421, 422, 423, 424. Пер­вая слева цифра не яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр.

При : 451, 452, 453, 454. Число 453 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Также под­хо­дят числа 573 и 693.

Ответ: 453, или 573, или 693.

Про­из­ве­де­ние 24 дают сле­ду­ю­щие на­бо­ры из че­ты­рех цифр: 8, 3, 1, 1, или 6, 2, 2, 1, или 6, 4, 1, 1, или 4, 3, 2, 1, или 3, 2, 2, 2. Чтобы число де­ли­лось на 22, оно долж­но де­лить­ся и на 2, и на 11. Сле­до­ва­тель­но, это чет­ное число  — оно за­кан­чи­ва­ет­ся чет­ной циф­рой. Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах, равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах, либо от­ли­ча­ет­ся от неё на 11. Для пер­во­го, вто­ро­го и пя­то­го на­бо­ров суммы цифр не­чет­ные, сле­до­ва­тель­но, суммы цифр, сто­я­щих на чет­ных и не­чет­ных ме­стах, не могут быть равны; они не могут также от­ли­чать­ся на 11 ни при какой пе­ре­ста­нов­ке цифр. Рас­смат­ри­вая тре­тий и чет­вер­тый на­бо­ры, на­хо­дим числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие всем усло­ви­ям: 4312, 3124, 2134, 1342.

Ответ: 2134, или 4312, или 1342, или 3124.

Чтобы число де­ли­лось на 25, оно долж­но за­кан­чи­вать­ся на 00, 25, 50 или 75. Наше число на 00 за­кан­чи­вать­ся не может, по­сколь­ку все его цифры долж­ны быть раз­лич­ны. Вы­пи­шем все трёхзнач­ные числа, за­кан­чи­ва­ю­щи­е­ся на 25, 50 или 75, все цифры ко­то­рых раз­лич­ны, найдём сумму квад­ра­тов их цифр, про­ве­рим, де­лит­ся ли она на 3 и на 9.

125: сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

150: сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3.

175: сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

250: сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3.

275: сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

325: сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3.

350: сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3.

375: сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3.

425: сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3 и на 9.

450: сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3.

475: сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3 и на 9.

625: сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3.

650: сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3.

675: сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3.

725: сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

750: сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3.

825: сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

850: сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3.

875: сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

925: сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3.

950: сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3.

975: сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3.

Таким об­ра­зом, усло­вию удо­вле­тво­ря­ет любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.

Ответ: любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.

Пусть наше число имеет вид Тогда имеем И так как число де­лит­ся на 4, де­лит­ся на 4. Можно за­ме­тить, что если среди цифр есть хотя бы три еди­ни­цы, то ра­вен­ство не­воз­мож­но, так как сумма будет боль­ше про­из­ве­де­ния. Если еди­ни­ца толь­ко одна, то про­из­ве­де­ние будет слиш­ком боль­шое. Таким об­ра­зом, среди цифр есть ровно две еди­ни­цы. Рас­смот­рим дву­знач­ные числа, ко­то­рые де­лят­ся на 4, две их по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, де­ля­ще­е­ся на 4. Нель­зя брать числа с нулём, так как в этом слу­чае про­из­ве­де­ние будет равно нулю.

12: тогда одна из остав­ших­ся цифр 1, а дру­гая 4.

16: тогда одна из остав­ших­ся цифр 1, а ни­ка­кая дру­гая не по­дойдёт.

24: зна­чит, остав­ши­е­ся цифры  — еди­ни­цы.

Осталь­ные числа будут да­вать слиш­ком боль­шое про­из­ве­де­ние или нечётную сумму.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа: 1412, 4112, 1124.

Ответ: 1124, или 1412, или 4112.