Ре­ше­ние. Вы­чис­лим:

Ответ: 0,4.

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пло­щадь тра­пе­ции  — про­из­ве­де­ние по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 42.

Ре­ше­ние. Дан­ный па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком, по­сколь­ку его диа­го­на­ли равны.

Найдём сто­ро­ну AD:

Найдём пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка:

Ответ: 120.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим О точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма. Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, по­это­му ВО  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка АВС. От­ре­зок АМ также яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной тре­уголь­ни­ка АВС, точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­а­ны де­лят­ся в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны. По­это­му

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Для того, чтобы найти сред­нюю линию тра­пе­ции не­об­хо­ди­мо знать длину ос­но­ва­ний, найдём AD.

Про­ведём вы­со­ту СH к AD.

Найдём АD:

Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний:

Ответ: 6,5.

Ре­ше­ние. Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей. Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, сле­до­ва­тель­но, Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник COD  — рав­но­бед­рен­ный с углом при вер­ши­не, рав­ным 104°. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, по­это­му сумма рав­ных углов при ос­но­ва­нии тре­уголь­ни­ка COD равна: От­ку­да по­лу­ча­ем: Сле­до­ва­тель­но, ост­рый угол между диа­го­на­ля­ми равен 38°, а тупой угол между диа­го­на­ля­ми равен 142°. Угол между пря­мы­ми  — это мень­ший из углов, об­ра­зо­ван­ных при пе­ре­се­че­нии этих пря­мых, сле­до­ва­тель­но, ответ  — 38.

Ответ: 38.

Ре­ше­ние. Пусть диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке BOA:

Найдём синус угла BAC:

Ответ: 0,75.

Ре­ше­ние. Угол в 150° об­ра­зу­ет бо­ко­вая сто­ро­на и мень­шее ос­но­ва­ние, тогда с боль­шим ос­но­ва­ни­ем эта сто­ро­на об­ра­зу­ет угол 30°. Про­ве­дем вы­со­ту тра­пе­ции и рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. Из опре­де­ле­ния си­ну­са остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по­лу­ча­ем:

По фор­му­ле пло­ща­ди тра­пе­ции на­хо­дим

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. Из­вест­но, что в рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции: Таким об­ра­зом, Сле­до­ва­тель­но, Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна Таким об­ра­зом,

Ответ: 49.

Ре­ше­ние. Пло­щадь квад­ра­та вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Пло­щадь ромба вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Таким об­ра­зом:

Ответ: 32.

Ре­ше­ние. Най­дем раз­ни­цу между двумя ос­но­ва­ни­я­ми:

По­сколь­ку тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, то вы­со­той, про­ве­ден­ной из точки С, а также вы­со­той про­ве­ден­ной из точки D, от ниж­не­го ос­но­ва­ния «от­ре­за­ет­ся» 2 рав­ные части. Най­дем длину одной из таких ча­стей:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник СЕВ. Из него (по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра) най­дем вы­со­ту СЕ:

Рас­смот­рим, на­ко­нец, тре­уголь­ник АСЕ. В нем мы знаем вы­со­ту, а также Те­перь, также по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, най­дем ис­ко­мую диа­го­наль АС, ко­то­рая яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка:

Ответ: 82.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку то Таким об­ра­зом, вы­со­ту тра­пе­ции смо­жем найти по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Сумма двух со­сед­них углов ромба равна 180°, сле­до­ва­тель­но, два угла, сумма ко­то­рых равна 120°, яв­ля­ют­ся про­ти­во­по­лож­ны­ми уг­ла­ми ромба. Каж­дый из этих углов равен 120° : 2 = 60°. Мень­шая диа­го­наль ромба лежит на­про­тив его мень­ше­го угла, рав­но­го 60°. Сто­ро­ны ромба равны, по­это­му тре­уголь­ник, сто­ро­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся две сто­ро­ны ромба и его мень­шая диа­го­наль,  — рав­но­сто­рон­ний. Сле­до­ва­тель­но, сто­ро­на ромба равна его мень­шей диа­го­на­ли, то есть равна 25. Сто­ро­ны ромба равны, зна­чит, пе­ри­метр ромба равен 100.

Ответ: 100.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что если диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма делят со­дер­жа­щие их углы по­по­лам, то па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся ром­бом. Найдём, чему равна по­ло­ви­ны сто­ро­ны BD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Зна­чит, сто­ро­на BD равна 24 · 2  =  48.

Ответ: 48.

Ре­ше­ние. Про­ведём вы­со­ту тра­пе­ции. По­лу­чив­ший­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным. Ка­те­ты этого тре­уголь­ни­ка равны Сле­до­ва­тель­но, мень­шая бо­ко­вая сто­ро­на тра­пе­ции равна 3.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Пусть x  — ис­ко­мая вы­со­та. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию его ос­но­ва­ния на вы­со­ту, опу­щен­ную на это ос­но­ва­ние. Вы­чис­лим пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма двумя спо­со­ба­ми:

Из по­лу­чен­но­го урав­не­ния на­хо­дим x  =  6.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Все сто­ро­ны ромба равны, тогда его сто­ро­на равна 84 : 4  =  21. Сумма двух углов ромба равна 120°, зна­чит, каж­дый угол равен 120° : 2  =  60°. Сумма двух осталь­ных углов ромба равна 360° − 120° = 240°, зна­чит, каж­дый из них равен 240° : 2  =  120°. Мень­шая диа­го­наль ромба лежит на­про­тив мень­ше­го угла ромба 60°, по­это­му по­лу­ча­ем рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, ос­но­ва­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся дан­ная диа­го­наль. Таким об­ра­зом, мень­шая диа­го­наль ромба равна 21.

Ответ: 21.

Ре­ше­ние. Сто­ро­ны ромба равны, по­это­му каж­дая из них 68 : 4  =  17. Сумма двух со­сед­них углов ромба равна 180°, сле­до­ва­тель­но, два угла, сумма ко­то­рых равна 120°, яв­ля­ют­ся про­ти­во­по­лож­ны­ми уг­ла­ми ромба. Каж­дый из этих углов равен 120° : 2 = 60°. Мень­шая диа­го­наль ромба лежит на­про­тив его мень­ше­го угла, рав­но­го 60°. Сто­ро­ны ромба равны, по­это­му тре­уголь­ник, сто­ро­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся две сто­ро­ны ромба и его мень­шая диа­го­наль,  — рав­но­сто­рон­ний. Сле­до­ва­тель­но, мень­шая диа­го­наль ромба равна его сто­ро­не, то есть равна 17.

Ответ: 17.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что по­сколь­ку диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми его углов, па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся ром­бом. Пе­ри­метр ромба равен про­из­ве­де­нию любой из его сто­рон на 4. Найдём сто­ро­ну ромба по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Зна­чит, пе­ри­метр равен 17 · 4  =  68.

Ответ: 68.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту BH в тре­уголь­ни­ке ABC. По­сколь­ку AB  =  BC, то тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный. Сле­до­ва­тель­но, вы­со­та BH также яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной тре­уголь­ни­ка ABC. Сто­ро­на AH равна В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AHB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем:

Таким об­ра­зом, тан­генс угла BAC равен

Ответ: 0,6.

Ре­ше­ние. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длин его сто­рон. Сле­до­ва­тель­но, если одна сто­ро­на равна 11, а пло­щадь равна 660, то дру­гая сто­ро­на равна 60. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим длину диа­го­на­ли:

Ответ: 61.

Ре­ше­ние. В тре­уголь­ни­ке ABC по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Тогда

Ответ: 0,6.