Ре­ше­ние. Пло­щадь пи­ра­ми­ды равна

По­лу­пе­ри­метр ос­но­ва­ния p = 20, апо­фе­му h най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Тогда пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды

Ответ: 340.

Ре­ше­ние. Пло­щадь пи­ра­ми­ды равна

По­лу­пе­ри­метр ос­но­ва­ния p = 20, апо­фе­му h най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Тогда пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды

Ответ: 340.

Ре­ше­ние. Объем пи­ра­ми­ды равен

где S  — пло­щадь ос­но­ва­ния, а h  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Най­дем пло­щадь рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка, ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии:

Тогда вы­со­та пи­ра­ми­ды равна

Ответ: 3.

Ре­ше­ние.

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды лежит квад­рат. Пусть его центр  — точка О, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим тогда длина диа­го­на­ли ос­но­ва­ния равна 16. Пло­щадь квад­ра­та равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей, по­это­му она равна 128. Сле­до­ва­тель­но, для объ­е­ма пи­ра­ми­ды имеем:

Ответ: 256.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, пусть грань ASD пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию, точка G  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. По­сколь­ку бо­ко­вые грани SAB, SDC и SBC на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под углом 60°, углы A и D в тре­уголь­ни­ке ASD и угол G в тре­уголь­ни­ке SGH равны по 60°. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ASD  — рав­но­сто­рон­ний, а его сто­ро­на свя­за­на с вы­со­той фор­му­лой от­ку­да

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SHG на­хо­дим:

По­сколь­ку ABCD  — пря­мо­уголь­ник, его пло­щадь равна про­из­ве­де­нию сто­рон:

Оста­лось найти объём пи­ра­ми­ды:

Ответ: 48.

Ре­ше­ние. Удоб­но счи­тать тре­уголь­ник ASB ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, тогда от­ре­зок SC будет яв­лять­ся её вы­со­той. За­ме­тим, что

По­сколь­ку далее имеем:

Ответ: 4,5.

Ре­ше­ние. При оди­на­ко­вой пло­ща­ди ос­но­ва­ния боль­шим объ­е­мом будет об­ла­дать та часть, вы­со­та ко­то­рой боль­ше, то есть ниж­няя. Объем дан­ной пи­ра­ми­ды от­но­сит­ся к объ­е­му ис­ход­ной как 2 : 3, по­это­му он равен 10.

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Пло­щадь по­верх­но­сти скла­ды­ва­ет­ся из пло­ща­ди ос­но­ва­ния и пло­ща­ди че­ты­рех бо­ко­вых гра­ней: Апо­фе­му най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Тогда пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды:

Ответ: 96.

Ре­ше­ние. Вы­со­ту тре­уголь­ни­ка, об­ра­зу­ю­ще­го грани пи­ра­ми­ды, най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды:

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Объем пи­ра­ми­ды с пло­ща­дью ос­но­ва­ния S и вы­со­той h равен

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Объем пи­ра­ми­ды с пло­ща­дью ос­но­ва­ния S и вы­со­той h равен от­ку­да пло­щадь ос­но­ва­ния Сто­ро­на ос­но­ва­ния тогда а диа­го­наль Бо­ко­вое ребро най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке сто­ро­на равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му най­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна

Тогда объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния равна

Из фор­му­лы для объ­е­ма пи­ра­ми­ды най­дем вы­со­ту: от­ку­да

В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке сто­ро­на равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му най­дем бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Вер­ши­на пра­виль­ной пи­ра­ми­ды про­ек­ти­ру­ет­ся в центр ее ос­но­ва­ния. В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке со сто­ро­ной a рас­сто­я­ние от его цен­тра до сто­ро­ны равно ра­ди­у­су впи­сан­ной окруж­но­сти, ко­то­рый равен По­сколь­ку угол между бо­ко­вой гра­нью и ос­но­ва­ни­ем равен 45°, вы­со­та пи­ра­ми­ды также равна Тогда имеем:

Ответ: 48.

Ре­ше­ние. Объем пи­ра­ми­ды равен

где S  — пло­щадь ос­но­ва­ния, а h  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Най­дем пло­щадь рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка, ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии:

Тогда вы­со­та пи­ра­ми­ды равна

Ответ: 0,75.

Ре­ше­ние.

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды лежит квад­рат. Пусть его центр  — точка О, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим тогда длина диа­го­на­ли ос­но­ва­ния равна Пло­щадь квад­ра­та равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей, по­это­му она равна 182. Сле­до­ва­тель­но, для объ­е­ма пи­ра­ми­ды имеем:

Ответ: 182.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, пусть грань ASD пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию, точка G  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. По­сколь­ку бо­ко­вые грани SAB, SDC и SBC на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под углом 60°, углы A и D в тре­уголь­ни­ке ASD и угол G в тре­уголь­ни­ке SGH равны по 60°. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ASD  — рав­но­сто­рон­ний, а его сто­ро­на свя­за­на с вы­со­той фор­му­лой от­ку­да

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SHG на­хо­дим:

По­сколь­ку ABCD  — пря­мо­уголь­ник, его пло­щадь равна про­из­ве­де­нию сто­рон:

Оста­лось найти объём пи­ра­ми­ды:

Ответ: 162.

Ре­ше­ние. Вы­со­ту тре­уголь­ни­ка, об­ра­зу­ю­ще­го грани пи­ра­ми­ды, най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды:

Ответ: 960.

Ре­ше­ние. Объем пи­ра­ми­ды с пло­ща­дью ос­но­ва­ния S и вы­со­той h равен от­ку­да пло­щадь ос­но­ва­ния Сто­ро­на ос­но­ва­ния тогда а диа­го­наль Бо­ко­вое ребро най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды мно­го­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся раз­но­стью пло­ща­дей квад­ра­тов со сто­ро­на­ми 6 и 3 (см. рис.):

По­сколь­ку вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 3, имеем:

Ответ: 27.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник SOC. Он пря­мо­уголь­ный, так как SO  — вы­со­та, она пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию ABCD, а зна­чит, и пря­мой AC. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 5.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник Он пря­мо­уголь­ный, так как SO  — вы­со­та, она пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию ABCD, а зна­чит, и пря­мой Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 4.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник Он пря­мо­уголь­ный: так как SO  — вы­со­та, она пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию ABCD, а зна­чит, и пря­мой Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. В ос­но­ва­нии пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды лежит квад­рат, вер­ши­на пи­ра­ми­ды про­еци­ру­ет­ся в его центр. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Диа­го­на­ли квад­ра­та пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу, тре­уголь­ник AOB пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный. В нем

Тогда из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOA на­хо­дим, что

От­ку­да для объ­е­ма пи­ра­ми­ды имеем:

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Каж­дая из сто­рон се­че­ния яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей бо­ко­вой грани. По­это­му сто­ро­ны се­че­ния об­ра­зу­ют квад­рат со сто­ро­ной 0,5, пло­щадь ко­то­ро­го равна 0,25.

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. Пусть По­сколь­ку и по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах По­сколь­ку угол яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми SMK и Тогда

Ответ: 6,5.

Ре­ше­ние. Пусть По­сколь­ку OH  — про­ек­ция SH на плос­кость ABC и по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах По­сколь­ку угол яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми SMK и ABC. Тогда

Ответ: 6,5.

Ре­ше­ние. В ос­но­ва­нии пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды лежит квад­рат, его диа­го­наль равна От­ре­зок AO равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли квад­ра­та т. е. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOS по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем:

Объём пи­ра­ми­ды равен одной трети про­из­ве­де­ния пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния углов, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть R  — длина по­ло­ви­ны диа­го­на­ли. В силу связи ос­нов­ных углов в пра­виль­ной пи­ра­ми­де:

Ответ: 11.

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Вы­ра­зим длину сто­ро­ны AC через длину бо­ко­вой сто­ро­ны Вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка вы­ра­жа­ет­ся через его сто­ро­ну: Точ­кой O вы­со­та AH де­лит­ся в от­но­ше­нии 2:1, по­это­му Угол SHO равен углу между бо­ко­вой гра­нью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOS по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

От­ку­да

Ответ: 8.