Если число де­лит­ся на 55, то оно де­лит­ся на 5 и на 11. Если число де­лит­ся на 5, то оно может окан­чи­вать­ся на 0 или на 5. Если в за­пи­си числа есть ноль, то про­из­ве­де­ние цифр числа равно нулю. Сле­до­ва­тель­но, за­пись числа долж­на окан­чи­вать­ся на 5. Пусть число имеет вид Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, сто­я­щих в за­пи­си числа на нечётных ме­стах, от­ли­ча­ет­ся от суммы цифр, сто­я­щих на чет­ных ме­стах, на число, крат­ное 11: где

Рас­смот­рим раз­лич­ные про­из­ве­де­ния abcde  — такие, что По­след­няя цифра числа равна 5, сле­до­ва­тель­но, воз­мож­ные зна­че­ния про­из­ве­де­ния abcde: 50, 55, 60, 65, 70. Раз­ло­жим каж­дое число на про­стые мно­жи­те­ли:

По­пы­та­ем­ся удо­вле­тво­рить урав­не­нию Пе­ре­би­рая раз­лич­ные воз­мож­ные зна­че­ния, по­лу­чим, что воз­мож­ны три слу­чая:

—  раз­ло­же­ние числа 70 в виде удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию

—  раз­ло­же­ние числа 60 в виде удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию:

—  раз­ло­же­ние числа 60 в виде удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию

Таким об­ра­зом, под­хо­дят числа 11 275, 13 145, 14 135, 17 215, 21 175, 27 115, 21 615, 61 215. Наи­мень­шим из них яв­ля­ет­ся число 11 275.

Ответ: 11 275.

Так как число де­лит­ся на 12, то оно также де­лит­ся на 3 и на 4. Это, в свою оче­редь, зна­чит, что сумма цифр числа де­лит­ся на 3, а число, об­ра­зо­ван­ное по­след­ни­ми двумя циф­ра­ми де­лит­ся на 4. Пусть наше число имеет вид Тогда усло­вие можно за­пи­сать так:

По­нят­но, что d  — чётная цифра. Тогда про­из­ве­де­ние может быть равно или 26, или 28. Но 26 оно не может быть равно, так как а цифры, как из­вест­но, мень­ше 10. Зна­чит, про­из­ве­де­ние цифр равно 28. Сумма цифр де­лит­ся на 3 в на­бо­ре (7, 2, 2, 1). Так как число де­лит­ся на 4, то по­след­ней циф­рой будет 2, а тогда пред­по­след­ней или 1, или 7. Осталь­ные цифры можно по­ста­вить как угод­но. В итоге по­лу­чим числа: 1272, 2172, 2712, 7212.

Ис­ко­мое число де­лит­ся на 15, а зна­чит, де­лит­ся на 3 и на 5. Сле­до­ва­тель­но, сумма его цифр де­лит­ся на 3 и по­след­няя его цифра 0 или 5. По­сколь­ку про­из­ве­де­ние цифр не равно нулю, ни­ка­кая из цифр числа не равна нулю, а зна­чит, по­след­няя цифра числа  — 5.

Тогда про­из­ве­де­ние цифр де­лит­ся на 5. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (35; 45) толь­ко число 40 де­лит­ся на 5, давая 8. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 8. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют толь­ко три на­бо­ра: 1, 1, 8; 1, 2, 4 и 2, 2, 2. Из них толь­ко 1, 1, 8 и 1, 2, 4 в сумме с чис­лом 5 дают число, де­ля­ще­е­ся на 3.

Вы­пи­шем по­лу­чив­ши­е­ся числа: 1185, 1815, 8115, 1245, 1425, 2145, 2415, 4125, 4215. Любое из этих чисел яв­ля­ет­ся от­ве­том к за­да­че.

Если число де­лит­ся на 12, то оно де­лит­ся на 3 и на 4. Если число де­лит­ся на 3, то сумма всех его цифр тоже де­лит­ся на 3. Если число де­лит­ся на 4, то число, об­ра­зо­ван­ное двумя по­след­ни­ми его циф­ра­ми тоже де­лит­ся на 4. Пусть наше число имеет вид тогда усло­вие за­пи­сы­ва­ет­ся так:

В ин­тер­ва­ле на­хо­дят­ся числа 41, 42, 43, 44. 41 и 43  — про­стые, а 44 де­лит­ся на 11  — тоже про­стое. Таким об­ра­зом, 41, 43 и 44 не под­хо­дят, по­то­му что не могут быть пред­став­ле­ны в виде про­из­ве­де­ния. То есть Два на­бо­ра цифр под­хо­дят как ре­ше­ние: (1, 2, 3, 7) и (1, 1, 6, 7). Но в пер­вом на­бо­ре сумма цифр не крат­на трём, так что он от­па­да­ет. Имеем (1, 1, 6, 7). По­след­няя цифра в числе долж­на быть чётной, иначе число не будет де­лить­ся на 4. Осталь­ные цифры могут сто­ять в любом по­ряд­ке.

Вы­пи­шем ис­ко­мые числа: 1176, 1716, 7116.

Ис­ко­мое число де­лит­ся на 15, а зна­чит, де­лит­ся на 3 и на 5. Сле­до­ва­тель­но, сумма его цифр де­лит­ся на 3 и по­след­няя его цифра 0 или 5. По­сколь­ку про­из­ве­де­ние цифр не равно нулю, ни­ка­кая из цифр числа не равна нулю, а зна­чит, по­след­няя цифра числа  — 5.

Тогда про­из­ве­де­ние цифр де­лит­ся на 5. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (0; 25) толь­ко числа 5, 10, 15, 20 де­лят­ся на 5, давая 1, 2, 3 и 4 со­от­вет­ствен­но. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 1, 2, 3 и 4 со­от­вет­ствен­но. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют толь­ко пять на­бо­ров: 1, 1, 1; 1, 1, 2; 1, 1, 3; 1, 1, 4; 1, 2, 2. Из них толь­ко 1, 1, 2 в сумме с чис­лом 5 дают число, де­ля­ще­е­ся на 3.

Вы­пи­шем по­лу­чив­ши­е­ся числа: 1125, 1215, 2115. Любое из этих чисел яв­ля­ет­ся от­ве­том к за­да­че.

Ответ: 1125, 1215, 2115.

Ис­ко­мое число де­лит­ся на 18, а зна­чит, де­лит­ся на 9 и на 2. Сле­до­ва­тель­но, сумма его цифр де­лит­ся на 9 и по­след­няя его цифра чётная. По­сколь­ку про­из­ве­де­ние цифр не равно нулю, ни­ка­кая из цифр числа не равна нулю, а зна­чит, по­след­няя цифра числа  — 2, 4, 6, 8.

Рас­смот­рим число 2. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (10; 16) толь­ко числа 12, 14 де­лят­ся на 2, давая 6 и 7 со­от­вет­ствен­но. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 6 и 7 со­от­вет­ствен­но. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют толь­ко три на­бо­ра: 1, 2, 3 и 1, 1, 7. Из них ни один в сумме с чис­лом 2 не даёт число, де­ля­ще­е­ся на 9.

Рас­смот­рим число 4. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (10; 16) толь­ко число 12 де­лит­ся на 4, давая 3. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 3. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко набор: 1, 1, 3. Этот набор чисел в сумме с чис­лом 4 даёт число, де­ля­ще­е­ся на 9. Вы­пи­шем по­лу­чив­ши­е­ся числа: 1134, 1314, 3114. Любое из этих чисел яв­ля­ет­ся от­ве­том к за­да­че.

Рас­смот­рим число 6. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (10; 16) толь­ко число 12 де­лит­ся на 6, давая 2. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 2. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко набор: 1, 1, 2. Этот набор чисел в сумме с чис­лом 6 не даёт число, де­ля­ще­е­ся на 9.

Число 8 можно не рас­смат­ри­вать, по­сколь­ку в ин­тер­ва­ле (10; 16) нет чисел, де­ля­щих­ся на 8.

Ответ: 1134, 1314, 3114.

Ис­ко­мое число де­лит­ся на 18, а зна­чит, де­лит­ся на 9 и на 2. Сле­до­ва­тель­но, сумма его цифр де­лит­ся на 9 и по­след­няя его цифра чётная. По­сколь­ку про­из­ве­де­ние цифр не равно нулю, ни­ка­кая из цифр числа не равна нулю, а зна­чит, по­след­няя цифра числа  — 2, 4, 6, 8.

Рас­смот­рим число 2. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (16; 24) толь­ко числа 18, 20 и 22 де­лят­ся на 2, давая 9, 10 и 11 со­от­вет­ствен­но. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 9 и 10 со­от­вет­ствен­но, про­из­ве­де­ние пер­вых трёх цифр, рав­ное 11, по­лу­чить нель­зя. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют толь­ко набор: 1, 3, 3. Этот набор чисел в сумме с чис­лом 2 даёт число, де­ля­ще­е­ся на 9. Вы­пи­шем по­лу­чив­ши­е­ся числа: 1332, 3132, 3312. Любое из этих чисел яв­ля­ет­ся от­ве­том к за­да­че.

Рас­смот­рим число 4. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (16; 24) толь­ко число 20 де­лит­ся на 4, давая 5. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 5. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко набор: 1, 1, 5. Этот набор чисел в сумме с чис­лом 4 не даёт число, де­ля­ще­е­ся на 9.

Рас­смот­рим число 6. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (16; 24) толь­ко число 18 де­лит­ся на 6, давая 3. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 3. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко набор: 1, 1, 3. Этот набор чисел в сумме с чис­лом 6 не даёт число, де­ля­ще­е­ся на 9.

Число 8 можно не рас­смат­ри­вать, по­сколь­ку в ин­тер­ва­ле (10; 16) нет чисел, де­ля­щих­ся на 8.

Ответ: 1332, 3132, 3312.

Если число де­лит­ся на 12, то оно де­лит­ся на 3 и на 4. Если число де­лит­ся на 3, то сумма всех его цифр тоже де­лит­ся на 3. Если число де­лит­ся на 4, то число, об­ра­зо­ван­ное двумя по­след­ни­ми его циф­ра­ми тоже де­лит­ся на 4. Пусть наше число имеет вид тогда усло­вие за­пи­сы­ва­ет­ся так:

В ин­тер­ва­ле на­хо­дят­ся числа 51, 52, 53, 54. Число 53  — про­стое, а 51 и 52 де­лят­ся на 17 и 13  — тоже про­стые. Таким об­ра­зом, 51, 52 и 53 не под­хо­дят, по­то­му что не могут быть пред­став­ле­ны в виде про­из­ве­де­ния. То есть Два на­бо­ра цифр под­хо­дят как ре­ше­ние: (2, 3, 3, 3), (1, 2, 3, 9) и (1, 3, 3, 6). Но в пер­вом и тре­тьем на­бо­рах сумма цифр не крат­на трём, так что они от­па­да­ют. Имеем (1, 2, 3, 9). По­след­няя цифра в числе долж­на быть чётной, иначе число не будет де­лить­ся на 4. Осталь­ные цифры могут сто­ять в любом по­ряд­ке.

Вы­пи­шем ис­ко­мые числа: 1392, 1932, 3192, 3912.

Ответ: 1392, 1932, 3192, 3912, 9132, 9312.

Так как число де­лит­ся на 36, то оно также де­лит­ся на 9 и на 4. Это, в свою оче­редь, зна­чит, что сумма цифр числа де­лит­ся на 9, а число, об­ра­зо­ван­ное по­след­ни­ми двумя циф­ра­ми де­лит­ся на 4. Пусть наше число имеет вид Тогда усло­вие можно за­пи­сать так:

По­нят­но, что d  — чётная цифра. Тогда про­из­ве­де­ние может быть равно или 14, или 16. Но 14 оно не может быть равно, так как а сумма цифр долж­на де­лить­ся на 9. Зна­чит, про­из­ве­де­ние цифр равно 16, Сумма цифр де­лит­ся на 9 в на­бо­ре (4, 2, 2, 1). Так как число де­лит­ся на 4, то по­след­ней циф­рой будет 2 или 4, а тогда пред­по­след­ней или 1, или 2. Осталь­ные цифры можно по­ста­вить как угод­но. В итоге по­лу­чим числа: 1224, 2124, 2412, 4212.

Ответ: 1224, 2124, 2412, 4212.

Если число де­лит­ся на 75, то оно де­лит­ся на 3 и на 25. Число де­лит­ся на 3, если сумма его цифр де­лит­ся на 3. Если число де­лит­ся на 25, то оно может окан­чи­вать­ся на 00, 25, 50 и 75. По­сколь­ку про­из­ве­де­ние цифр не равно нулю, ни­ка­кая из цифр числа не равна нулю, а зна­чит, число может окан­чи­вать­ся на 25 и 75.

По­сколь­ку по­след­няя цифра числа  — 5, то про­из­ве­де­ние цифр де­лит­ся на 5. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (85; 95) толь­ко число 90 де­лит­ся на 5, давая 18. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых че­ты­рех цифр равно 18, сле­до­ва­тель­но, чет­вер­той циф­рой ис­ход­но­го числа яв­ля­ет­ся цифра 2. Тогда про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 9. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют толь­ко два на­бо­ра: 1, 1, 9 и 3, 3, 3. Из них толь­ко 1, 1, 9  в сумме с чис­лом 7 дает число, де­ля­ще­е­ся на 3.

Вы­пи­шем по­лу­чив­ши­е­ся числа: 11925, 19125 и 91125. Любое из этих чисел яв­ля­ет­ся от­ве­том к за­да­че.

Ответ: 91125.

Ис­ко­мое число де­лит­ся на 18, а зна­чит, де­лит­ся на 9 и на 2. Сле­до­ва­тель­но, сумма его цифр де­лит­ся на 9 и по­след­няя его цифра чётная. По­сколь­ку про­из­ве­де­ние цифр не равно нулю, ни­ка­кая из цифр числа не равна нулю, а зна­чит, по­след­няя цифра числа  — 2, 4, 6, 8.

Рас­смот­рим число 2. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (18; 30) толь­ко числа 20, 22, 24, 26 и 28 де­лят­ся на 2, давая 10, 11, 12, 13 и 14 со­от­вет­ствен­но. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 10, 12 и 14 со­от­вет­ствен­но, про­из­ве­де­ние пер­вых трёх цифр, рав­ное 11 и 13, по­лу­чить нель­зя. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют на­бо­ры: 1, 2, 5; 2, 2, 3; 1, 2, 6 и 1, 2, 7. Толь­ко набор 2, 2, 3 в сумме с чис­лом 2 даёт число, де­ля­ще­е­ся на 9. Вы­пи­шем по­лу­чив­ши­е­ся числа: 2232, 2322, 3222. Любое из этих чисел яв­ля­ет­ся от­ве­том к за­да­че.

Рас­смот­рим число 4. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (18; 30) толь­ко числа 20, 24 и 28 де­лят­ся на 4, давая 5, 6 и 7 со­от­вет­ствен­но. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 5, 6 и 7 со­от­вет­ствен­но. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют на­бо­ры: 1, 1, 5; 1, 1, 6; 1, 2, 3 и 1, 1, 7. Эти на­бо­ры чисел в сумме с чис­лом 4 не дают число, де­ля­ще­е­ся на 9.

Рас­смот­рим число 6. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (18; 30) толь­ко число 24 де­лит­ся на 6, давая 4. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 4. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют два на­бо­ра: 1, 1, 4 и 1, 2, 2. Из них ни один в сумме с чис­лом 6 не даёт число, де­ля­ще­е­ся на 9.

Рас­смот­рим число 8. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (18; 30) толь­ко число 24 де­лит­ся на 8, давая 3. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 3. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко набор: 1, 1, 3. Этот набор чисел в сумме с чис­лом 8 не даёт число, де­ля­ще­е­ся на 9.

Ответ: 2232, 2322, 3222.

Ис­ко­мое число де­лит­ся на 15, а зна­чит, де­лит­ся на 3 и на 5. Сле­до­ва­тель­но, сумма его цифр де­лит­ся на 3 и по­след­няя его цифра 0 или 5. По­сколь­ку про­из­ве­де­ние цифр не равно нулю, ни­ка­кая из цифр числа не равна нулю, а зна­чит, по­след­няя цифра числа  — 5.

Тогда про­из­ве­де­ние цифр де­лит­ся на 5. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (55; 65) толь­ко число 60 де­лит­ся на 5, давая 12. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 12. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют толь­ко три на­бо­ра: 1, 2, 6 и 2, 2, 3. Из них толь­ко 2, 2, 3 в сумме с чис­лом 5 дают число, де­ля­ще­е­ся на 3.

Вы­пи­шем по­лу­чив­ши­е­ся числа: 2235, 2325, 3225. Любое из этих чисел яв­ля­ет­ся от­ве­том к за­да­че.

Ответ: 2235, 2325, 3225.

Если число де­лит­ся на 12, то оно де­лит­ся на 3 и на 4. Если число де­лит­ся на 3, то сумма всех его цифр тоже де­лит­ся на 3. Если число де­лит­ся на 4, то число, об­ра­зо­ван­ное двумя по­след­ни­ми его циф­ра­ми тоже де­лит­ся на 4. Пусть наше число имеет вид тогда усло­вие за­пи­сы­ва­ет­ся так:

В ин­тер­ва­ле (25; 30) на­хо­дят­ся числа 26, 27, 28, 29. Числа 27 и 29  — про­стые, а 26 крат­но толь­ко двум про­стым чис­лам  — 2 и 13. Таким об­ра­зом, 26, 27 и 29 не под­хо­дят, по­то­му что не могут быть пред­став­ле­ны в виде про­из­ве­де­ния цифр. То есть Два на­бо­ра цифр под­хо­дят как ре­ше­ние: (1, 1, 4, 7) и (1, 2, 2, 7). Но в пер­вом на­бо­ре сумма цифр не крат­на трём, так что он от­па­да­ет. Имеем (1, 2, 2, 7). По­след­ние цифры долж­ны об­ра­зо­вы­вать число, де­ля­ще­е­ся на 4. Осталь­ные цифры могут сто­ять в любом по­ряд­ке.

Вы­пи­шем ис­ко­мые числа: 1272, 2172, 7212, 2712.

Ответ: 1272, 2172, 7212 и 2712.