PDF-версии: 
Найдите наименьшее пятизначное число, кратное 55, произведение цифр которого больше 50, но меньше 75.
Решение. Если число делится на 55, то оно делится на 5 и на 11. Если число делится на 5, то оно может оканчиваться 
Число делится 
где 
Рассмотрим различные произведения abcde — такие, что 
Последняя цифра числа равна 5, следовательно, возможные значения произведения abcde: 50, 55, 60, 65, 70. Разложим каждое число на простые множители:
Попытаемся удовлетворить уравнению 
Перебирая различные возможные значения, получим, что возможны три случая:
— разложение числа 70 в виде 
удовлетворяет уравнению 
— разложение числа 60 в виде 
удовлетворяет уравнению: 
— разложение числа 60 в виде 
удовлетворяет уравнению 
Таким образом, подходят числа 11 275, 13 145, 14 135, 17 215, 21 175, 27 115, 21 615, 61 215. Наименьшим из них является число 11 275.
Ответ: 11 275.
Тогда условие можно записать так:
а цифры, как известно, меньше 10. Значит, произведение цифр равно 28. 
Сумма цифр делится на 3 в наборе (7, 2, 2, 1). Так как число делится на 4, то последней цифрой будет 2, а тогда предпоследней или 1, или 7. Остальные цифры можно поставить как угодно. В итоге получим числа: 1272, 2172, 2712, 7212.
тогда условие записывается так:
находятся числа 41, 42, 43, 44. 41 и 43 — простые, а 44 делится на 11 — тоже простое. Таким образом, 41, 43 и 44 не подходят, потому что не могут быть представлены в виде произведения. То есть 
Два набора цифр подходят как решение: (1, 2, 3, 7) и (1, 1, 6, 7). Но в первом наборе сумма цифр не кратна трём, так что он отпадает. Имеем (1, 1, 6, 7). Последняя цифра в числе должна быть чётной, иначе число не будет делиться на 4. 
Остальные цифры могут стоять в любом порядке.
находятся числа 51, 52, 53, 54. Число 53 — простое, а 51 и 52 делятся на 17 и 13 — тоже простые. Таким образом, 51, 52 и 53 не подходят, потому что не могут быть представлены в виде произведения. То есть 
Два набора цифр подходят как решение: (2, 3, 3, 3), (1, 2, 3, 9) и (1, 3, 3, 6). Но в первом и третьем наборах сумма цифр не кратна трём, так что они отпадают. Имеем (1, 2, 3, 9). Последняя цифра в числе должна быть чётной, иначе число не будет делиться на 4. 
Остальные цифры могут стоять в любом порядке.
а сумма цифр должна делиться на 9. Значит, произведение цифр равно 16, 
Сумма цифр делится на 9 в наборе (4, 2, 2, 1). Так как число делится на 4, то последней цифрой будет 2 или 4, а тогда предпоследней или 1, или 2. Остальные цифры можно поставить как угодно. В итоге получим числа: 1224, 2124, 2412, 4212.
Два набора цифр подходят как решение: (1, 1, 4, 7) и (1, 2, 2, 7). Но в первом наборе сумма цифр не кратна трём, так что он отпадает. Имеем (1, 2, 2, 7). Последние цифры должны образовывать число, делящееся на 4. Остальные цифры могут стоять в любом порядке.