РЕШУ ЕГЭ — математика базовая

Вариант № 22453534

На счету Машиного мобильного телефона было 53 рубля, а после разговора с Леной осталось 8 рублей. Сколько минут длился разговор с Леной, если одна минута разговора стоит 2 рубля 50 копеек?

Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А)  Объём воды в озере Байкал

Б)  Объём пакета кефира

В)  Объём бассейна

Г)  Объём ящика для фруктов

ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

1)  1 л

2)  23 615,39 км³

3)  72 л

4)  600 м³

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

A	Б	В	Г

На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали  — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, сколько раз количество посетителей сайта РИА Новости принимало наибольшее значение.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S= дробь: числитель: abc, знаменатель: 4R конец дроби ,$ где a, b и c  — стороны треугольника, а R  — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если a  =  10, b  =  9, c  =  17 и $R= дробь: числитель: 85, знаменатель: 8 конец дроби .$

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

В таблице приведены данные о шести сумках.

Номер сумки	Длина (см)	Высота (см)	Ширина (см)	Масса (кг)
1	52	38	18	5,5
2	65	47	26	11,2
3	55	36	24	8,7
4	42	31	16	4,6
5	58	40	20	9,3
6	49	37	19	10.1

По правилам авиакомпании в ручную кладь может быть взята сумка, размеры которой не превышают 55 см в длину, 40 см в высоту, 20 см в ширину и масса которой не превышает 10 кг. Какие сумки можно взять в ручную кладь по правилам этой авиакомпании? В ответе укажите номера выбранных сумок без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Перечисляйте в порядке возрастания номеров.

На рисунке точками показаны объёмы месячных продаж холодильников в магазине бытовой техники. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали  — количество проданных холодильников. Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику продаж холодильников.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ

А) январь  — март

Б) апрель  — июнь

В) июль  — сентябрь

Г) октябрь  — декабрь

ХАРАКТЕРИСТИКИ

1)  За последний месяц периода было продано меньше 200 холодильников.

2)  Наибольший рост ежемесячного объёма продаж.

3)  Все три месяца объём продаж был одинаковым.

4)  Ежемесячный объём продаж достигает максимума за весь год.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В	Г

Пять наиболее длинных рек России (учитывается наибольшая длина с притоками)  — это Амур, Енисей, Иртыш, Лена и Обь. При этом Лена длиннее Енисея, но короче Оби, Амур длиннее и Лены и Иртыша. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

1.  Амур  — первая или вторая по длине река.

2.  Енисей  — вторая или третья река по длине.

3.  Лена длиннее Иртыша.

4.  Амур длиннее Оби.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

10.  

На рисунке изображен колодец с «журавлем». Короткое плечо имеет длину 4 м, а длинное плечо  — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

Решение. Введем обозначения, приведенные на рисунке. Здесь отрезок AC  — плечи «журавля» до опускания, отрезок BD  — после, отрезок AH  — высота, на которую поднялся конец короткого плеча, отрезок CK  — высота, на которую опустился конец длинного. В треугольниках AOB и COD углы AOB и COD равны как вертикальные, следовательно, равны и углы при основаниях:

$\angle ABO = \angle OAB = дробь: числитель: 180 градусов минус \angle AOB, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 180 градусов минус \angle COD, знаменатель: 2 конец дроби = \angle OCD = \angle CDO.$

Следовательно, треугольники AOB и COD подобны по двум углам, то есть

$дробь: числитель: OC, знаменатель: AO конец дроби = дробь: числитель: OD, знаменатель: BO конец дроби = дробь: числитель: CD, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

При пересечении прямых AB и CD секущей BD углы, обозначенные на рисунке цифрами 1 и 2, являются накрест лежащими и равными, следовательно, прямые AB и CD параллельны. Стороны углов 3 и 4 параллельны друг другу, следовательно, эти углы равны.

Треугольники AHB и CDK  — прямоугольные, их острые углы равны, следовательно, они подобны, откуда

$дробь: числитель: CD, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: CK, знаменатель: AH конец дроби равносильно CK = AH умножить на дробь: числитель: CD, знаменатель: AB конец дроби равносильно CK = 1 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно CK = 1,5.$

Ответ: 1,5.

Примечание.

Можно привести несколько иное доказательство подобия треугольников AHB и CDK. На приведенной ниже картинке есть два маленьких треугольника AHM и DKL, они прямоугольные и $\angle MAH = \angle KDL$ как накрест лежащие, следовательно, эти треугольники подобны.

Затем, можно заметить, что у треугольников AHM и AHB соответственные углы равны друг другу, потому что их стороны параллельны, следовательно, треугольники подобны. Аналогично для треугольников CDK и CKL. Из трех пар подобий этих треугольников следует, что треугольники AHB и CKD подобны.

11.  

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 8 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

12.  

В треугольнике ABC угол C равен $90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $AC = 8,$ $косинус A=0,8.$ Найдите $BC.$

13.  

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 10. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

14.  

Найдите значение выражения $дробь: числитель: 9,5 плюс 8,9, знаменатель: 2,3 конец дроби .$

15.  

Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?

16.  

Найдите значение выражения $2 в степени 6 умножить на дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 в квадрате конец дроби .$

17.  

Найдите корень уравнения $6 в степени левая круглая скобка 2x минус 6 правая круглая скобка умножить на 6 в степени левая круглая скобка 5 минус 3x правая круглая скобка =216.$

18.  

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

А)   $2 в степени x больше или равно 2$

Б)   $0,5 в степени x \geqslant2$

В)   $0,5 в степени x \leqslant2$

Г)   $2 в степени x \leqslant2$

РЕШЕНИЯ

1)   $x больше или равно 1$

2)   $x меньше или равно 1$

3)   $x\leqslant минус 1$

4)   $x\geqslant минус 1$

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

A	Б	В	Г

19.  

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 19, сумма цифр которого на 1 больше их произведения.

Решение. Если хотя бы одна цифра в записи числа  — нуль, то произведение цифр равно 0, и тогда их сумма равна 1. Единственное такое четырёхзначное число  — 1000, но оно не кратно 19. Поэтому нулей среди цифр нет. Отсюда следует, что все цифры не меньше 1 и их сумма не меньше четырёх, а значит, произведение цифр не меньше трёх. Чтобы произведение было не меньше трёх, хотя бы одна из цифр должна быть больше 1. Рассмотрим такие числа в порядке возрастания суммы их цифр.

Если сумма цифр равна 5, то число записывается одной двойкой и тремя единицами (это числа 1112, 1121, 1211, 2111). Произведение цифр равно 2, поэтому они не удовлетворяют условию.

Если сумма цифр равна 6, то число записывается одной тройкой и тремя единицами или двумя двойками и двумя единицами (это числа 1113, 1131, 1311, 3111, 1122, 1212, ...). Произведение цифр равно 3 или 4 соответственно, поэтому такие числа не удовлетворяют условию.

Если сумма цифр равна 7, то произведение должно быть равно 6. Это выполнено для чисел, записываемых тройкой, двойкой и двумя единицами. Поскольку число 3211 кратно 19, оно и является искомым.

Ответ: 3211.

Примечание.

Четырёхзначное число, обладающее требуемыми свойствами, единственно. Покажем это, приведя другое решение.

Приведём решение Дмитрия Мухина (Москва).

Пусть a, b, c, d  — цифры числа и пусть а самая большая из них (порядок цифр не важен). Покажем, что произведение меньших цифр не больше четырёх. Действительно, из равенства a + b + c + d  =  1 + abcd получаем 4a ≥ abcd + 1. Деля на наибольшую цифру a, получаем, что bcd < 4.

Рассмотрим теперь следующие случаи.

1.  Пусть среди чисел b, c, d есть нуль, тогда поскольку a + b + c + d  =  1, это число 1000, но оно на 19 не делится. Итак, все три меньшие цифры числа отличны от нуля.

2.  Пусть все три меньшие цифры равны единице, тогда a + 3  =  a + 1. Этот случай невозможен.

3.  Пусть меньшие цифры  — это две единицы и двойка. Тогда a + 4  =  2a + 1, откуда a  =  3. Перебирая 12 чисел, составленных из цифр 1, 1, 2, 3, находим, что из них кратно 19 только число 3211. Оно и является ответом.

4.  Пусть меньшие цифры  — это две единицы и тройка. Тогда a + 5  =  3a + 1. Отсюда a  =  2, но тогда a не наибольшая цифра. Противоречие.

Поскольку bcd < 4, других вариантов нет. Искомое число единственно, оно равно 3211.

20.  

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/⁠ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/⁠ч.

21.  

Маша и Медведь съели 120 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь  — печенье, но в какой-⁠то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

№ п/п	№ задания	Ответ
1	77331	18
2	510915	2143
3	28763	3
4	514383	36
5	320178	0,5
6	512520	14\|41
7	509639	3241
8	507065	1
9	27543	6
10	513102	1,5
11	514392	4000
12	500952	6
13	514495	144
14	509646	8
15	26619	20
16	508403	4
17	513814	-4
18	510162	1342
19	507054	3211
20	26582	7
21	514916	108

Ключ