Если число де­лит­ся на 44, то оно де­лит­ся на 4 и на 11. Число де­лит­ся на 4 и две по­след­ние цифры долж­ны от­ли­чать­ся на 1, по­это­му число долж­но за­кан­чи­вать­ся на 12, или 32, или 56, или 76.

Пусть число имеет вид Число де­лит­ся на 11, если мо­дуль раз­но­сти сумм цифр, сто­я­щих на чётных и нечётных ме­стах, де­лит­ся на 11. В дан­ном слу­чае  — если де­лит­ся 11.

Но мо­дуль равен 1, мо­дуль равен 1, а зна­чит, при­ни­ма­ет зна­че­ния 0, или 1, или 2. Из них де­лит­ся на 11 толь­ко число 0. Сле­до­ва­тель­но, Не­об­хо­ди­мо по­до­брать такие ком­би­на­ции цифр, чтобы сумма цифр чётных раз­ря­дов была равна сумме цифр нечётных раз­ря­дов, и при этом эти цифры не долж­ны от­ли­чать­ся друг от друга более чем на 1.

Та­ки­ми чис­ла­ми яв­ля­ют­ся 1012, 3432, 5456, 3212, 1232, 5676, 7876, 7656.

Ответ: 1012, или 3432, или 5456, или 3212, или 1232, или 5676, или 7876, или 7656.

При­ме­ча­ние.

Усло­вие «любые две со­сед­ние цифры от­ли­ча­ют­ся на 1» озна­ча­ет, что каж­дые две со­сед­ние цифры долж­ны от­ли­чать­ся на 1, по­это­му числа 4356, 3476, 4576 не под­хо­дят, по­сколь­ку вто­рая и тре­тья цифры в них раз­ли­ча­ют­ся более чем на 1.

Число де­лит­ся на 15, когда оно де­лит­ся на 3 и на 5. Вспом­ним при­знак де­ли­мо­сти на 3  — число де­лит­ся на 3 тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр де­лит­ся на 3. Вспом­ним при­знак де­ли­мо­сти на 5  — число де­лит­ся на 5 тогда и толь­ко тогда, когда по­след­няя цифра де­лит­ся на 5 (то есть равна 0 или 5). Сумма цифр долж­на де­лит­ся на 3, сле­до­ва­тель­но, при сло­же­нии цифр долж­ны по­лу­чит­ся числа 3, 9, 12, и так далее.

Если сумма цифр равна 3, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной «трой­кой» и че­тырь­мя «ну­ля­ми» (число 30000) или тремя «еди­ни­ца­ми» и «ну­ля­ми» (на­при­мер, число 11100), или одной «двой­кой», одной «еди­ни­цей» и тремя «ну­ля­ми» (на­при­мер, число 21000). Но во всех этих чис­лах не вы­пол­ня­ет­ся усло­вие, что со­сед­ние цифры от­ли­ча­ют­ся на 3.

Если сумма цифр равна 9, то число за­пи­сы­ва­ет­ся тремя трой­ка­ми и двумя ну­ля­ми или двумя четвёрками и одной еди­ни­ца­ей (это числа 30303, 33300, 30330, 41400, 41040, 14040, ...). В этом слу­чае не вы­пол­ня­ет­ся усло­вие за­да­ния и при­знак.

Если сумма цифр равна 12, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной шестёркой, двумя трой­ка­ми и двумя ну­ля­ми. По­сколь­ку число не может на­чи­нать­ся с нуля, но долж­но за­кан­чи­вать­ся на него, а со­сед­ние цифры от­ли­чать­ся друг от друга на 3 сле­ду­ет, что ис­ко­мое числа это 63030, 69630, 63630

Вспом­ним при­знак де­ли­мо­сти на 25  — число де­лит­ся на 25, если оно за­кан­чи­ва­ет­ся на ком­би­на­ции цифр: 00, 25, 50, 75. Из при­зна­ка сле­ду­ет, что наше число за­кан­чи­ва­ет­ся на 75, так как раз­ность этих чисел равна 2. Также ясно, что число не может на­чи­нать­ся с нуля. Наше число при­ни­ма­ет вид 1ab75, где ис­хо­дя из усло­вия ста­но­вит­ся по­нят­но, что a  — 3, тогда b  — 5. За­пи­шем ис­ко­мые числа 13575, 53575, 57575, 97575, 57975, 97975.

Если число де­лит­ся на 22, то оно де­лит­ся на 2 и на 11. Если число де­лит­ся на 2, то оно может окан­чи­вать­ся на 0 , 2, 4, 6, 8. Пусть число имеет вид Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр на нечётных ме­стах равна сумме цифр на чётных ме­стах: Если любые две со­сед­ние цифры долж­ны от­ли­чать­ся на 2, то число со­сто­ит толь­ко из чет­ных цифр. Не­об­хо­ди­мо по­до­брать такие ком­би­на­ции чет­ных цифр, чтобы сумма трех цифр была равна сумме двух цифр, и при этом эти цифры не долж­ны от­ли­чать­ся друг от друга более, чем на 2.

Та­ки­ми чис­ла­ми яв­ля­ют­ся 46 464, 46 420, 42 020.

Ответ: 46 464, или 46 420, или 42 020.

Если число де­лит­ся на 12, то оно де­лит­ся на 4 и на 3. Если число де­лит­ся на 4, то число, об­ра­зо­ван­ное двумя по­след­ни­ми циф­ра­ми, долж­но де­лить­ся на 4, кроме того, оно долж­но быть чет­ным. Сле­до­ва­тель­но, число долж­но за­кан­чи­вать­ся на 20, 24, 64 или 68 с уче­том раз­ни­цы двух со­сед­них цифр на две. Пусть число имеет вид Если любые две со­сед­ние цифры долж­ны от­ли­чать­ся на 2, то число со­сто­ит толь­ко из чет­ных цифр. Не­об­хо­ди­мо по­до­брать такие ком­би­на­ции чет­ных цифр, чтобы сумма всех пяти цифр де­ли­лась на 3.

Та­ки­ми чис­ла­ми яв­ля­ют­ся 42 024, 46 464, 42 420, 42 468, 86 424, 86 868.

Ответ: 42 024, или 46 464, или 42 420, или 42 468, или 86 424, или 86 868.

Если число де­лит­ся на 18, то оно де­лит­ся на 9 и на 2. Если число де­лит­ся на 2, то оно окан­чи­ва­ет­ся чет­ной циф­рой. То есть число долж­но окан­чи­вать­ся на 30, 36, 96, а зна­чит, это одно из чисел 63030, 63630, 69630, 63036, 63636, 69636, 63696, 69696. Оста­лось вы­брать из них те, ко­то­рые крат­ны 18. Для этого до­ста­точ­но вы­брать те числа, сумма всех пяти цифр ко­то­рых де­лит­ся на 9. Это числа: 63630, 63036, 69696.

Ответ: 63036, 63630, 69696.

Если число де­лит­ся на 12, то оно де­лит­ся на 4 и на 3. Если число де­лит­ся на 4, то число, об­ра­зо­ван­ное двумя по­след­ни­ми циф­ра­ми долж­на де­лить­ся на 4. Пе­ре­би­ра­ем пред­по­след­нюю цифру, по­лу­ча­ем две по­след­ние цифры с уче­том от­ли­чия двух со­сед­них цифр на три: 14, 25, 30, 36, 41, 47, 52, 55, 63, 69, 74, 85, 96. Из по­лу­чен­ных чисел крат­ны че­ты­рем толь­ко 36, 52, 96. Пусть число имеет вид Не­об­хо­ди­мо по­до­брать такие ком­би­на­ции чет­ных цифр, чтобы сумма всех пяти цифр де­ли­лась на 3. Та­ки­ми чис­ла­ми яв­ля­ют­ся

63036, 63636, 69636, 25252, 85252, 25852, 85852, 63696, 69696. Из них крат­ны трем толь­ко 63036, 63636, 69636, 63696, 69696.

Ответ: 63036, 63636, 63696, 69636, 69636, 69696.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что фраза «любые две со­сед­ние цифры от­ли­ча­ют­ся на 3» озна­ча­ет, что каж­дые две со­сед­ние цифры от­ли­ча­ют­ся на 3, то есть раз­ни­ца между пер­вой и вто­рой, вто­рой и тре­тьей, тре­тьей и чет­вер­той, чет­вер­той и пятой циф­ра­ми долж­на быть равна трем.

Если число де­лит­ся на 18, то оно де­лит­ся на 9 и на 2. Если число де­лит­ся на 2, то оно окан­чи­ва­ет­ся чет­ной циф­рой. Сле­до­ва­тель­но, число долж­но окан­чи­вать­ся на 20, 24, 42, 46, 64 или 68. Также, по­сколь­ку число де­лит­ся на 9, сумма цифр этого числа также долж­на де­лить­ся на 9. Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа суть 24 246, 24 642, 64 242, 86 868.

Ответ: 24 246, 24 642, 64 242, 86 868.

Вспом­ним при­знак де­ли­мо­сти на 25  — число де­лит­ся на 25, если оно за­кан­чи­ва­ет­ся на ком­би­на­ции цифр: 00, 25, 50, 75. Из при­зна­ка сле­ду­ет, что наше число за­кан­чи­ва­ет­ся на 25, так как раз­ность этих чисел равна 3. Также ясно, что число не может на­чи­нать­ся с нуля. Более того, тре­тья цифра числа также равна 5, иначе для чет­вер­той цифры не вы­пол­не­но усло­вие. По­лу­ча­ем число вида ab525. За­пи­шем ис­ко­мые числа: 52 525, 58 525.

Ответ: 52 525, 58 525.

Если число де­лит­ся на 22, то оно де­лит­ся на 2 и на 11. Число де­лит­ся на 2, если окан­чи­ва­ет­ся на 0, 2, 4, 6 или 8. Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, сто­я­щих на чет­ных ме­стах, и сумма цифр, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах, равны или раз­ность этих сумм крат­на 11. За­пи­шем ис­ко­мое число в виде

Будем под­став­лять цифры в число с конца. Рас­смот­рим каж­дое воз­мож­ное окон­ча­ние от­дель­но:

— если число окан­чи­ва­ет­ся на 0, то чет­вер­тая цифра обя­за­тель­но долж­на быть 3. Тре­тья цифра, сле­до­ва­тель­но, может быть 0 или 6. Если тре­тья цифра 0, то вто­рая  — 3, а тогда пер­вая  — 6 (число не на­чи­на­ет­ся на 0). Если тре­тья цифра 6, то вто­рая может быть 3 или 9, тогда пер­вая цифра в обоих этих слу­ча­ях  — 6. Итак, из этого слу­чая по­лу­чи­ли числа 63 030, 63 630 и 69 630. Из них на 11 де­лят­ся толь­ко 63 030 и 69 630.

— если число окан­чи­ва­ет­ся на 2, то чет­вер­тая цифра обя­за­тель­но долж­на быть 5. Тре­тья цифра может быть 2 или 8. Если тре­тья цифра 2, то вто­рая  — 5, а пер­вая может быть 2 или 8. Если тре­тья цифра 8, то вто­рая  — 5, а пер­вая может быть 2 или 8. Итак, из этого слу­чая по­лу­чи­ли числа 25 252, 85 252, 25 852 и 85 852. Ни одно из них не де­лит­ся на 11.

— если число окан­чи­ва­ет­ся на 4, то чет­вер­тая цифра может быть 1 или 7. В обоих этих слу­ча­ях тре­тья цифра будет 4. Тогда вто­рая цифра может быть 1 или 7, а пер­вая все­гда будет 4. По­лу­чи­ли числа 41 414, 47 414, 41 474, 47 474. Ни одно из них не де­лит­ся на 11.

— если число окан­чи­ва­ет­ся на 6, то чет­вер­тая цифра может быть 3 или 9, а тогда тре­тья  — все­гда 6. Зна­чит, вто­рая цифра может быть 3 или 9, а пер­вая все­гда будет 6. По­лу­чи­ли числа 63 636, 69 636, 69 696, 63 696. Из них на 11 де­лит­ся толь­ко 69 696.

— если число окан­чи­ва­ет­ся на 8, то чет­вер­тая цифра обя­за­тель­но будет 5, тогда тре­тья либо 3, либо 8. В обоих этих слу­ча­ях вто­рая цифра 5, а пер­вая может быть 2 или 8. По­лу­чи­ли числа 85 258, 25 258, 85 858 и 25 858. Ни одно из них не де­лит­ся на 11.

Итак, всем усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют пя­ти­знач­ные числа 63 030, 69 630 и 69 696.

Ответ: 63 030, 69 630 или 69 696.

Если число крат­но 15, то оно крат­но 3 и 5. Число, крат­ное 5, окан­чи­ва­ет­ся на 0 или 5. Сумма цифр числа, крат­но­го 3, де­лит­ся на 3. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мые числа окан­чи­ва­ют­ся на 35, 75 или 20.

Если число окан­чи­ва­ет­ся на 35, то оно может окан­чи­вать­ся на 135 или 535. Если число окан­чи­ва­ет­ся на 135, то оно окан­чи­ва­ет­ся на 3135. Такие числа  — 53 135 и 13 135, они оба не крат­ны 3. Если число окан­чи­ва­ет­ся на 535, то оно может окан­чи­вать­ся на 7535 или 3535. Такие числа  — 57 535, 97 535, 13 535, 53 535. Из них крат­но 3 толь­ко число 53 535.

Если число окан­чи­ва­ет­ся на 75, то оно может окан­чи­вать­ся на 575 или 975. Если число окан­чи­ва­ет­ся на 975, то оно окан­чи­ва­ет­ся на 7975. Такие числа  — 57 975 и 97 975. Из них крат­но 3 толь­ко число 57 975. Если число окан­чи­ва­ет­ся на 575, то оно может окан­чи­вать­ся на 3575 или 7575. Такие числа  — 13 575, 53 575, 57 575, 97 575. Из них крат­ны 3 толь­ко числа 13 575 и 97 575.

Если число окан­чи­ва­ет­ся на 20, то оно может окан­чи­вать­ся на 020 или 420. Если число окан­чи­ва­ет­ся на 020, то оно окан­чи­ва­ет­ся на 2020, то есть толь­ко число 42 020, не крат­ное 3. Если число окан­чи­ва­ет­ся на 420, то оно может окан­чи­вать­ся на 2420 или 6420. Такие числа  — 42 420, 46 420, 86 420. Из них крат­но 3 толь­ко число 42 420.

Таким об­ра­зом, все усло­ви­ям удо­вле­тво­ря­ют пять чисел  — 53 535, 57 975, 13 575, 97 575, 42 420.

Ответ: 53 535, 57 975, 13 575, 97 575, 42 420.