Ре­ше­ние. Уста­нов­ка счет­чи­ков поз­во­ля­ет еже­ме­сяч­но эко­но­мить 300 руб. Зна­чит, они оку­пят­ся через 3300 : 300  =  11 ме­ся­цев.

Ответ: 11.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что для на­хож­де­ния срока оку­па­е­мо­сти вло­же­ний не­об­хо­ди­мо раз­де­лить сумму вло­же­ний на сумму умень­ше­ния те­ку­щих рас­хо­дов за еди­ни­цу вре­ме­ни. В дан­ном слу­чае вло­же­ния со­став­ля­ют 3300 руб­лей. Сумма умень­ше­ния рас­хо­дов со­став­ля­ет 300 руб­лей. Сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо 3300 де­лить на 300.

В дан­ной за­да­че сумма умень­ше­ния рас­хо­дов за­да­на в усло­вии (ска­за­но, что «за месяц он рас­хо­ду­ет воды на 300 руб­лей мень­ше при тех же та­ри­фах на воду»). Если бы были из­вест­ны те­ку­щие рас­хо­ды до уста­нов­ки счет­чи­ков (на­при­мер, 800 руб­лей) и после уста­нов­ки счет­чи­ков (на­при­мер, 500 руб­лей), то нужно было бы найти раз­ни­цу между этими сум­ма­ми.

Ре­ко­мен­ду­ем срав­нить эту за­да­чу с за­да­чей 523518.

Ре­ше­ние. Упо­ря­до­чим от боль­ше­го к мень­ше­му: объем воды воды в Азов­ском море огро­мен и впол­не может быть 256 км³, объем гру­зо­во­го от­се­ка транс­порт­но­го са­мо­ле­та  — около 150 м³, объем ящика с ин­стру­мен­та­ми  — ори­ен­ти­ро­воч­но 76 л, объем бу­тыл­ки рас­ти­тель­но­го масла  — обыч­но литр. По­лу­чи­ли со­от­вет­ствие: А  — 4, Б  — 3, В  — 1, Г  — 2. Окон­ча­тель­но по­лу­чим: 4312.

Ответ: 4312.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что при умень­ше­нии силы тока с 8 до 6 ампер, со­про­тив­ле­ние из­ме­ни­лось на 1,5 − 1,0  =  0,5 Ом.

Ответ: 0,5.

Ре­ше­ние. Вы­ра­зим из фор­му­лы :

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

Ответ: 0,4.

Ре­ше­ние. Най­дем ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что цель не будет уни­что­же­на за n вы­стре­лов. Ве­ро­ят­ность про­мах­нуть­ся при пер­вом вы­стре­ле равна 1 − 0,4  =  0,6, а при каж­дом сле­ду­ю­щем 1 − 0,6  =  0,4. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­сти этих со­бы­тий. По­это­му ве­ро­ят­ность про­мах­нуть­ся при n вы­стре­лах равна:

Оста­лось найти наи­мень­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние не­ра­вен­ства

По­сле­до­ва­тель­но про­ве­ряя зна­че­ния n, рав­ные 1, 2, 3 и т. д., на­хо­дим, что ис­ко­мым ре­ше­ни­ем яв­ля­ет­ся Сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо сде­лать 5 вы­стре­лов.

Ответ: 5.

При­ме­ча­ние.

Можно ре­шать за­да­чу «по дей­стви­ям», вы­чис­ляя ве­ро­ят­ность уце­леть после ряда по­сле­до­ва­тель­ных про­ма­хов.

Р(1)  =  0,6.

Р(2)  =  Р(1)·0,4  =  0,24.

Р(3)  =  Р(2)·0,4  =  0,096.

Р(4)  =  Р(3)·0,4  =  0,0384.

Р(5)  =  Р(4)·0,4  =  0,01536.

По­след­няя ве­ро­ят­ность мень­ше 0,02, по­это­му до­ста­точ­но пяти вы­стре­лов по ми­ше­ни.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность по­ра­зить ми­шень равна сумме ве­ро­ят­но­стей по­ра­зить ее при пер­вом, вто­ром, тре­тьем и т. д. вы­стре­лах. По­это­му за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию наи­мень­ше­го на­ту­раль­но­го ре­ше­ния не­ра­вен­ства

В нашем слу­чае не­ра­вен­ство ре­ша­ет­ся под­бо­ром, в общем слу­чае по­на­до­бит­ся фор­му­ла суммы гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, ис­поль­зо­ва­ние ко­то­рой све­дет за­да­чу к про­стей­ше­му ло­га­риф­ми­че­ско­му не­ра­вен­ству.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

Для пе­ре­воз­ки 45 тонн груза пе­ре­воз­чи­ку A по­на­до­бит­ся 13 ав­то­мо­би­лей. Сто­и­мость пе­ре­воз­ки каж­дым из них со­ста­вит 32 · 1300  =  41 600 руб. Пол­ная сто­и­мость пе­ре­воз­ки 41 600 · 13  =  540 800 руб.

Для пе­ре­воз­ки 45 тонн груза пе­ре­воз­чи­ку Б по­на­до­бит­ся 9 ав­то­мо­би­лей. Сто­и­мость пе­ре­воз­ки каж­дым из них со­ста­вит 41 · 1300  =  53 300 руб. Пол­ная сто­и­мость пе­ре­воз­ки 53 300 · 9  =  479 700 руб.

Для пе­ре­воз­ки 45 тонн груза пе­ре­воз­чи­ку В по­на­до­бит­ся 4 ав­то­мо­би­ля. Сто­и­мость пе­ре­воз­ки каж­дым из них со­ста­вит 95 · 1300  =  123 500 руб. пол­ная сто­и­мость пе­ре­воз­ки 123 500 · 4  =  494 000 руб.

Сто­и­мость самой де­ше­вой пе­ре­воз­ки со­ста­вит 479 700 руб.

Ответ: 479 700.

Ре­ше­ние. Если функ­ция воз­рас­та­ет, то про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, и на­о­бо­рот.

На ин­тер­ва­ле про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на вна­ча­ле ин­тер­ва­ла и от­ри­ца­тель­на в конце, по­то­му что функ­ция вна­ча­ле воз­рас­та­ет, а потом убы­ва­ет.

На ин­тер­ва­ле про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на, по­то­му что функ­ция убы­ва­ет.

На ин­тер­ва­ле функ­ция от­ри­ца­тель­на в на­ча­ле ин­тер­ва­ла и по­ло­жи­тель­на в конце ин­тер­ва­ла.

На ин­тер­ва­ле про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, по­то­му что функ­ция воз­рас­та­ет.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие: А  — 2, Б  — 1, В  — 3, Г  — 4.

Ответ: 2134.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что ответ был бы вер­ным и в том слу­чае, если бы пункт 3 был сфор­му­ли­ро­ван сле­ду­ю­щим об­ра­зом: «про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на в на­ча­ле ин­тер­ва­ла и по­ло­жи­тель­на в конце ин­тер­ва­ла». Од­на­ко в за­да­нии речь идет имен­но о функ­ции. Ре­ко­мен­ду­ем чи­та­те­лям быть вни­ма­тель­ны­ми при ре­ше­нии ана­ло­гич­ных за­да­ний.

Ре­ше­ние. 1.  Утвер­жде­ние о том, что де­во­чек чаще всего на­зы­ва­ли Мария озна­ча­ет, что де­во­чек, ко­то­рых на­зы­ва­ли дру­ги­ми име­на­ми мень­ше, сле­до­ва­тель­но, пер­вое утвер­жде­ние верно. Пер­вое утвер­жде­ние сле­ду­ет из при­ведённых дан­ных.

2.  Вто­рое утвер­жде­ние не сле­ду­ет из при­ведённых дан­ных.

3.  Если маль­чи­ков чаще всего на­зы­ва­ли Ан­дре­я­ми, то, сле­до­ва­тель­но, ро­дил­ся по край­ней мере один маль­чик, ко­то­ро­го на­зва­ли Ан­дре­ем. Тре­тье утвер­жде­ние сле­ду­ет из при­ведённых дан­ных.

4.  Четвёртое утвер­жде­ние не сле­ду­ет из при­ведённых дан­ных, по­сколь­ку не­воз­мож­но ска­зать, сколь­ко ро­див­ших­ся маль­чи­ков на­зва­ли Ан­дре­я­ми, а сколь­ко де­во­чек  — Ма­ри­я­ми.

Сле­до­ва­тель­но, вер­ны­ми яв­ля­ют­ся утвер­жде­ния 1 и 3.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Пло­щадь фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка и трех тре­уголь­ни­ков. По­это­му

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Найдём пло­щадь всей квар­ти­ры:

Найдём пло­щадь ком­на­ты:

Ответ: 14.

Ре­ше­ние. Объем вы­тес­нен­ной жид­ко­сти равен объ­е­му де­та­ли (закон Ар­хи­ме­да). Уро­вень жид­ко­сти под­нял­ся на h  =  20 см, сто­ро­на ос­но­ва­ния a  =  20 см, зна­чит, вы­тес­нен­ный объем будет равен Най­ден­ный объём яв­ля­ет­ся объёмом де­та­ли.

Ответ: 8000.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту СН. Тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный, зна­чит, вы­со­та CH делит ос­но­ва­ние AB по­по­лам. На­хо­дим:

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где S  — пло­щадь ос­но­ва­ния, h  — вы­со­та. Объем пи­ра­ми­ды равен

где   — пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, по по­стро­е­нию рав­ная по­ло­ви­не пло­ща­ди ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Тогда объем пи­ра­ми­ды в 6 раз мень­ше объ­е­ма па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 1,5.

Ре­ше­ние. Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 0,2.

Ре­ше­ние. Роз­нич­ная цена учеб­ни­ка со­став­ля­ет 120% от опто­вой цены. Чтобы найти 100% цены, раз­де­лим 180 на 1,2:

По­сколь­ку

Ответ: 66.

При­ме­ча­ние:

За­ме­тим, что за 100% сле­ду­ет при­ни­мать опто­вую цену, а не роз­нич­ную.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 12,5.

Ре­ше­ние. Решим не­ра­вен­ства.

А)  

Б)  

В)  

Г)  

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие: А  — 3, Б  — 1, В  — 2, Г  — 4.

Ответ: 3124.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 55, то оно де­лит­ся на 5 и на 11. Если число де­лит­ся на 5, то оно может окан­чи­вать­ся на 0 или на 5. Если в за­пи­си числа есть ноль, то про­из­ве­де­ние цифр числа равно нулю. Сле­до­ва­тель­но, за­пись числа долж­на окан­чи­вать­ся на 5. Пусть число имеет вид Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, сто­я­щих в за­пи­си числа на нечётных ме­стах, от­ли­ча­ет­ся от суммы цифр, сто­я­щих на чет­ных ме­стах, на число, крат­ное 11: где

Рас­смот­рим раз­лич­ные про­из­ве­де­ния abcde  — такие, что По­след­няя цифра числа равна 5, сле­до­ва­тель­но, воз­мож­ные зна­че­ния про­из­ве­де­ния abcde: 50, 55, 60, 65, 70. Раз­ло­жим каж­дое число на про­стые мно­жи­те­ли:

По­пы­та­ем­ся удо­вле­тво­рить урав­не­нию Пе­ре­би­рая раз­лич­ные воз­мож­ные зна­че­ния, по­лу­чим, что воз­мож­ны три слу­чая:

—  раз­ло­же­ние числа 70 в виде удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию

—  раз­ло­же­ние числа 60 в виде удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию:

—  раз­ло­же­ние числа 60 в виде удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию

Таким об­ра­зом, под­хо­дят числа 11 275, 13 145, 14 135, 17 215, 21 175, 27 115, 21 615, 61 215. Наи­мень­шим из них яв­ля­ет­ся число 11 275.

Ответ: 11 275.

Ре­ше­ние. Пусть υ км/⁠ч  — ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля, тогда ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля на вто­рой по­ло­ви­не пути равна  км/⁠ч. При­мем рас­сто­я­ние между пунк­та­ми за Ав­то­мо­би­ли были в пути одно и то же время, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля была равна 32 км/⁠ч.

Ответ: 32.

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пе­ри­метр верх­не­го ле­во­го пря­мо­уголь­ни­ка равна 24, по­это­му ана­ло­гич­но, При по­мо­щи по­лу­чен­ной си­сте­мы урав­не­ний вы­ра­зим зна­че­ние

Из тре­тье­го урав­не­ния по­лу­ча­ем: сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый пе­ри­метр равен 12.

Ответ: 12.

При­ве­дем ещё одно ре­ше­ние.

Не­труд­но про­ве­рить, что суммы пе­ри­мет­ров рас­по­ло­жен­ных на одной и дру­гой диа­го­на­лях пря­мо­уголь­ни­ка равны. Тогда: а по­то­му не­из­вест­ный пе­ри­метр равен 12.

При­ве­дем ещё одно ре­ше­ние.

Не­слож­но по­нять, что раз­ность пе­ри­мет­ров двух верх­них пря­мо­уголь­ни­ков равна раз­но­сти пе­ри­мет­ров двух ниж­них. По­это­му от­ку­да вы­те­ка­ет, что не­из­вест­ный пе­ри­метр равен 12.