СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика базового уровня
≡ математика базовый уровень
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 10 № 320187

При ар­тил­ле­рий­ской стрельбе ав­то­ма­ти­че­ская система де­ла­ет выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то си­сте­ма делает по­втор­ный выстрел. Вы­стре­лы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Ве­ро­ят­ность уничтожения не­ко­то­рой цели при пер­вом выстреле равна 0,4, а при каж­дом последующем — 0,6. Сколь­ко выстрелов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уничтожения цели была не менее 0,98?

 

В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

Решение.

Найдем вероятность противоположного события, состоящего в том, что цель не будет уничтожена за n выстрелов. Вероятность промахнуться при первом выстреле равна 0,6, а при каждом следующем — 0,4. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность промахнуться при n выстрелах равна:

 

Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства

 

 

 

Последовательно проверяя значения , равные 1, 2, 3 и т. д. находим, что искомым решением является . Следовательно, необходимо сделать 5 выстрелов.

 

Ответ: 5.

Примечание.

Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов:

 

Р(1) = 0,6.

Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24.

Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.

Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;

Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.

 

Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.

 

Приведем другое решение.

Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить ее при первом, втором, третьем и т. д. выстрелах. Поэтому задача сводится к нахождению наименьшего натурального решения неравенства

 

 

 

В нашем случае неравенство решается подбором, в общем случае понадобится формула суммы геометрической прогрессии, использование которой сведет задачу к простейшему логарифмическому неравенству.