Ре­ше­ние. Чтобы сва­рить 27 кг вишни, нужно ку­пить 27 · 1,5  =  40,5 кг са­ха­ра. Зна­чит, нужно ку­пить 41 упа­ков­ку са­ха­ра.

Ответ: 41.

Ре­ше­ние. Упо­ря­до­чим ве­ли­чи­ны по убы­ва­нию раз­ме­ров: озеро, бас­сейн, ящик, пакет; 23 615,39 куб. км, 600 куб. м, 72 л, 1 л. От­сю­да на­хо­дим со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми: А—2, Б—1, В—4, Г—3.

Ре­ше­ние. По­счи­та­ем баллы каж­дой ко­ман­ды.

«АТОМ»: 30 + 21 + 26  =  77.

«Шумы»: 27 + 24 + 24  =  75.

«Топ­чан»: 28 + 23 + 25  =  76.

«Лёлек и Болек»: 30 + 22 + 27  =  79.

Таким об­ра­зом, ко­ман­да «АТОМ» за­ня­ла 2 место.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния ве­ли­чин в фор­му­лу для на­хож­де­ния пло­ща­ди:

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что все три про­дав­ца за­ня­ты, равна

Ответ: 0,027.

Ре­ше­ние. Пер­вый марш­рут не вы­брать, по­то­му что на по­след­ний город денег не хва­тит, а также чет­вер­тый марш­рут не вы­брать, по­то­му что на три остав­ших­ся денег не хва­тит. Таким об­ра­зом, у нас оста­лись марш­ру­ты 2, 3, 5 и 6. Можно взять тре­тий и пятый марш­рут, за­тра­тив 4800 руб­лей.

Ответ: 35.

Ре­ше­ние. Ночь (с 0 до 6 часов)  — по­треб­ле­ние было наи­мень­шим.

Утро (с 6 до 12 часов)  — рост по­треб­ле­ния был наи­боль­шим.

День (с 12 до 18 часов)  — по­треб­ле­ние не росло.

Вечер (с 18 до 24 часов)  — по­треб­ле­ние па­да­ло.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие: A  — 4, Б  — 3, В  — 2, Г  — 1.

Ответ: 4321.

Ре­ше­ние. К < М < А.

1.  Не­вер­но, воз­мож­на си­ту­а­ция, когда де­воч­ка стар­ше Кати на один год, а Маша стар­ше Кати на два года.

2.  Верно, так как все осталь­ные стар­ше неё.

3.  Верно, по­сколь­ку Маша стар­ше Кати на два года.

4.  Не­вер­но, Катя  — самая млад­шая из ука­зан­ных де­во­чек, а Алиса  — самая стар­шая.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим квад­ра­ты бук­ва­ми так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пе­ре­несём мыс­лен­но часть озера, на­хо­дя­щу­ю­ся в квад­ра­те D, в квад­рат А. Сумма этих пло­ща­дей мень­ше по­ло­ви­ны пло­ща­ди квад­ра­та. Пло­щадь части озера в квад­ра­те С при­мер­но по­ло­ви­на пло­ща­ди квад­ра­та, дру­гая по­ло­ви­на пу­стая  — пе­ре­не­сем в неё части озера из А и D вме­сте взя­тые. Этим квад­рат С будет за­пол­нен. Те­перь пе­ре­несём часть озера, ле­жа­щую ниже диа­го­на­ли квад­ра­та Е, на не­за­ня­тую часть в квад­ра­те F. Те­перь квад­рат F за­пол­нен почти пол­но­стью, а квад­рат Е за­пол­нен на­по­ло­ви­ну. Итак, озеро по­кры­ва­ет при­бли­зи­тель­но два пол­ных квад­ра­та С и F, почти пол­ный квад­рат В и по­ло­ви­ну квад­ра­та Е. Зна­чит, пло­щадь озера боль­ше 3 кв. км, но мень­ше 3,5 кв. км. Округ­ляя, по­лу­ча­ем 3 кв. км.

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние ре­дак­ции Решу ЕГЭ.

По­ни­мая не­об­хо­ди­мость уме­ний про­во­дить по­доб­ные оцен­ки и при­кид­ки в при­клад­ных на­у­ках, все же от­ме­тим, что при­ведённые выше рас­суж­де­ния не имеют ни­ка­ко­го от­но­ше­ния к ма­те­ма­ти­ке. По­че­му? По­то­му что нет до­ка­за­тельств. На­при­мер, того, что часть из Е дей­стви­тель­но по­ме­стит­ся в F. До­ка­за­тель­ство можно было бы про­ве­сти так: на­ло­жить карту на мил­ли­мет­ров­ку, найти ко­ли­че­ство квад­ра­ти­ков, в ко­то­рые по­па­ла фи­гу­ра, и точно уста­но­вить гра­ни­цы, в ко­то­рых лежит пло­щадь: от­бро­сив ча­стич­но за­пол­нен­ные квад­ра­ти­ки, по­лу­чим пло­щадь с не­до­стат­ком, учи­ты­вая все ча­стич­но за­пол­нен­ные квад­ра­ти­ки, най­дем пло­щадь с из­быт­ком. Но это путь не для эк­за­ме­на.

При­ме­ча­ние Д. Д. Гу­щи­на о при­ме­не­нии па­лет­ки для опре­де­ле­ния пло­ща­ди.

Чи­та­тель­ни­ца Ольга Ку­ле­шо­ва рас­ска­за­ла нам, что в на­чаль­ных клас­сах изу­ча­ют спо­соб на­хож­де­ния пло­ща­ди фи­гу­ры с по­мо­щью па­лет­ки (квад­рат­ной сетки). Пло­щадь фи­гу­ры счи­та­ет­ся рав­ной ко­ли­че­ству пол­но­стью за­пол­нен­ных кле­ток сетки плюс по­ло­ви­на ко­ли­че­ства не пол­но­стью за­пол­нен­ных кле­ток. Решая дан­ную за­да­чу таким спо­со­бом, най­дем, что ко­ли­че­ство пол­но­стью за­пол­нен­ных кле­ток равно 0, ко­ли­че­ство ча­стич­но за­пол­нен­ных кле­ток равно 6, сле­до­ва­тель­но, пло­щадь фи­гу­ры равна 

Об этом не­об­хо­ди­мо ска­зать сле­ду­ю­щее.

Для фигур слу­чай­ной формы, по­кры­тых боль­шим ко­ли­че­ством кле­ток, ука­зан­ное при­бли­же­ние пло­ща­ди не­ред­ко дает удо­вле­тво­ри­тель­ную точ­ность. Од­на­ко в ряде слу­ча­ев по­греш­ность ста­но­вит­ся не­при­ем­ле­мой.

Най­дем, к при­ме­ру, ука­зан­ным ме­то­дом пло­щадь изоб­ра­жен­ных на ри­сун­ке круга и пя­ти­уголь­ни­ка. Для круга сло­жим 5 целых кле­ток и по­ло­ви­ну от 16 ча­стич­но за­пол­нен­ных, вме­сте 13 кле­ток. Как не­труд­но про­ве­рить, ис­поль­зуя фор­му­лу для пло­ща­ди круга най­ден­ная по кле­точ­кам пло­щадь круга мало от­ли­ча­ет­ся от рас­чет­ной. Но най­дем те­перь пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка: к 6 целым клет­кам при­ба­вим по­ло­ви­ну от 9, по­лу­чим 10,5 или, округ­лен­но, 11 кле­ток. Од­на­ко в дей­стви­тель­но­сти пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка не 11 и даже не 10, а мень­ше 9 кле­ток. Ошиб­ка пре­вос­хо­дит 17%, а после округ­ле­ния  — даже 22%.

По всей ве­ро­ят­но­сти, точ­ной фор­му­лы для оцен­ки по­греш­но­сти ис­поль­зо­ва­ния квад­рат­ной па­лет­ки при оцен­ке пло­ща­ди не су­ще­ству­ет. Но ясно, что по­греш­ность может быть до­ста­точ­но ве­ли­ка, если все ча­стич­но за­пол­нен­ные клет­ки за­пол­не­ны более (либо менее) чем на­по­ло­ви­ну, или если по­кры­ва­ю­щих фи­гу­ру кле­ток слиш­ком мало.

В при­ве­ден­ном выше за­да­нии ЕГЭ пло­щадь по­кры­та всего ше­стью клет­ка­ми. В таких слу­ча­ях най­ден­ный ответ может по­лу­чить­ся вер­ным, но может ока­зать­ся и оши­боч­ным. По­это­му на эк­за­ме­не поль­зо­вать­ся ука­зан­ным ме­то­дом нель­зя. Од­на­ко метод можно усо­вер­шен­ство­вать. Об этом ниже.

По­дроб­нее про­чи­тать о при­бли­жен­ном опре­де­ле­нии пло­ща­дей можно, на­при­мер, в учеб­ном по­со­бии для выс­ших учеб­ных за­ве­де­ний Ин­же­нер­ная гео­де­зия.pdf.

При­ме­ча­ние Т. Н. Кра­вчен­ко о по­сле­до­ва­тель­ных при­бли­же­ни­ях при при­ме­не­нии па­лет­ки.

Ука­жем путь, ко­то­рым можно на­хо­дить все более точ­ное зна­че­ние пло­ща­ди, при­ме­няя па­лет­ки с умень­ша­ю­щим­ся шагом сетки. Ис­тин­ная пло­щадь фи­гу­ры не мень­ше пло­ща­ди пол­но­стью за­кра­шен­ных кле­ток. До­бав­ляя к ней по­ло­ви­ну пло­ща­ди ча­стич­но за­кра­шен­ных кле­ток, мы можем по­лу­чить из­бы­ток или не­до­ста­ток. Если все ча­стич­но за­пол­нен­ные клет­ки «почти пу­стые», мы по­лу­чим из­бы­ток, рав­ный по­ло­ви­не их сум­мар­ной пло­ща­ди. Если же все эти клет­ки «почти пол­ные», пло­щадь будет опре­де­ле­на с не­до­стат­ком, рав­ным по­ло­ви­не их сум­мар­ной пло­ща­ди. В обоих слу­ча­ях по­греш­ность пло­ща­ди не боль­ше  где n  — ко­ли­че­ство ча­стич­но за­кра­шен­ных кле­ток, S  — пло­щадь одной клет­ки. Те­перь ясно, что можно по­пы­тать­ся умень­шить по­греш­ность, по­сле­до­ва­тель­но умень­шая шаг сетки. Про­де­мон­стри­ру­ем это на при­ме­ре нашей за­да­чи.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Из­на­чаль­но пло­щадь одной клет­ки равна 1. По пер­во­му ри­сун­ку видно, что озеро Ве­ли­кое рас­по­ло­же­но в 6 клет­ках, и ни одна из них не за­пол­не­на пол­но­стью. В пер­вом при­бли­же­нии пло­щадь озера равна  По­греш­ность в этом слу­чае также равна 3. По­это­му не­об­хо­ди­мо умень­шить по­греш­ность.

Раз­де­лим каж­дую клет­ку по­по­лам по вер­ти­ка­ли и го­ри­зон­та­ли (см. рис. 2), то есть на 4 части. Пло­щадь каж­дой по­лу­чив­шей­ся клет­ки те­перь равна  Озеро Ве­ли­кое за­ни­ма­ет 5 кле­ток це­ли­ком, и 14 кле­ток за­пол­не­ны не пол­но­стью. Сле­до­ва­тель­но, во вто­ром при­бли­же­нии пло­щадь озера со­став­ля­ет  при этом по­греш­ность равна  что нас также не устра­и­ва­ет.

На тре­тьем шаге снова раз­де­лим все клет­ки по­по­лам по вер­ти­ка­ли и го­ри­зон­та­ли, то есть на 4 части (см. рис. 3). Пло­щадь каж­дой по­лу­чив­шей­ся клет­ки будет равна  Те­перь озеро Ве­ли­кое за­ни­ма­ет 36 кле­ток пол­но­стью, и еще 28 кле­ток за­пол­не­ны не пол­но­стью. Пло­щадь озера со­став­ля­ет

при этом по­греш­ность равна  Сде­ла­ем еще одно раз­би­е­ние.

Снова раз­де­лим все клет­ки по­по­лам по вер­ти­ка­ли и го­ри­зон­та­ли. Пло­щадь каж­дой по­лу­чив­шей­ся клет­ки будет равна  Те­перь озеро Ве­ли­кое за­ни­ма­ет 172 клет­ки пол­но­стью, и еще 52 клет­ки за­пол­не­ны ча­стич­но. Пло­щадь озера со­став­ля­ет

при этом по­греш­ность равна  Таким об­ра­зом, пло­щадь озера боль­ше 2,5. Наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди равно  Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся, если все ча­стич­но за­пол­нен­ные клет­ки за­пол­не­ны пол­но­стью. Но это не так, а по­то­му пло­щадь мень­ше 3,5. Тем самым стро­го до­ка­за­но, что округ­лен­ное до целых зна­че­ние пло­ща­ди равно 3.

Под­счи­ты­вать ко­ли­че­ство пол­но­стью и не пол­но­стью за­пол­нен­ных кле­ток может быть уто­ми­тель­но. Для об­лег­че­ния ра­бо­ты можно де­лить на части толь­ко те клет­ки, ко­то­рые за­пол­не­ны не пол­но­стью. По­ка­жем это ниже.

Рис. 5.

Рис. 6

Рис. 7

По пя­то­му ри­сун­ку 5 видно, что озеро не за­ни­ма­ет це­ли­ком ни одной клет­ки. Раз­де­лим каж­дую из ча­стич­но за­пол­нен­ных кле­ток на че­ты­ре части (см. рис. 6). Среди по­лу­чив­ших­ся ма­лень­ких кле­ток пол­но­стью за­пол­не­но 5 кле­ток (вы­де­ле­но синим), а еще не­сколь­ко кле­ток за­пол­не­ны не пол­но­стью.

Еще раз раз­де­лим каж­дую из ча­стич­но за­пол­нен­ных кле­ток на че­ты­ре части (см. рис. 7). Среди по­лу­чив­ших­ся ма­лень­ких кле­ток пол­но­стью за­пол­не­но 16 (вы­де­ле­но жел­тым), и еще 30 кле­ток за­пол­не­ны не пол­но­стью. Таким об­ра­зом, на тре­тьем шаге озеро за­ни­ма­ет: 5 целых кле­ток пло­ща­дью  каж­дая; 16 целых кле­ток пло­ща­дью  каж­дая и 30 ча­стич­но за­пол­нен­ных кле­ток пло­ща­дью  каж­дая. Най­дем пло­щадь озера на этом шаге:

По­греш­ность опре­де­ля­ет­ся по­след­ним сла­га­е­мым, рав­ным 0,9375, то есть пло­щадь озера может ока­зать­ся и мень­ше 2,5, и боль­ше 3,5, а тогда округ­ле­ние до целых даст 2 или 4 со­от­вет­ствен­но. Не­об­хо­ди­мо даль­ше умень­шать шаг сетки.

Еще раз раз­де­лим каж­дую из ча­стич­но за­пол­нен­ных кле­ток на че­ты­ре части (см. по­след­ний ри­су­нок). Те­перь озеро за­ни­ма­ет: 5 целых кле­ток пло­ща­дью  16 целых кле­ток пло­ща­дью  29 целых кле­ток пло­ща­дью  и 62 ча­стич­но за­пол­нен­ные клет­ки пло­ща­дью  На­хо­дим пло­щадь озера:

По­греш­ность опре­де­ля­ет­ся по­след­ним сла­га­е­мым, рав­ным 0,484375. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь озера боль­ше 2,5, и округ­ле­ние до 2 не­воз­мож­но. Оцен­ка свер­ху дает 3,671875, то есть пло­щадь может ока­зать­ся боль­ше 3,5, а тогда по­на­до­бит­ся округ­ле­ние до 4. Так слу­чи­лось бы, если бы все 62 ча­стич­но за­пол­нен­ные на по­след­нем шаге клет­ки были бы за­пол­не­ны почти пол­но­стью. Но это не так. По­это­му на дан­ном шаге можно пред­по­ло­жить, что пло­щадь не пре­взой­дет 3,5, а по­то­му долж­на быть округ­ле­на до 3.

Вы­чис­ле­ние пло­ща­ди по фор­му­ле для ряда фигур дает силь­но за­вы­шен­ную по­греш­ность, по­это­му для боль­шин­ства эк­за­ме­на­ци­он­ных задач, в от­ли­чие от этой, на­хож­де­ние пло­ща­ди при­ме­не­ни­ем па­ле­ток с умень­ша­ю­щим­ся шагом сетки обыч­но дает хо­ро­ший ре­зуль­тат при од­но­крат­ном де­ле­нии ис­ход­ных кле­ток на 4 части по вер­ти­ка­ли и го­ри­зон­та­ли, то есть всего на 16 ча­стей. Но бы­ва­ет и не так, в за­да­че 523387 де­ле­ние на 4 клет­ки при­ве­дет к не­вер­но­му от­ве­ту.

Такой спо­соб рас­че­та может ока­зать­ся более тру­до­ем­ким, чем пред­ло­жен­ный выше ос­нов­ной спо­соб ре­ше­ния, од­на­ко он яв­ля­ет­ся пол­но­стью фор­ма­ли­зо­ван­ным и не тре­бу­ет твор­че­ских уси­лий.

Ре­ше­ние. Вы­со­ту окна на­хо­дим по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен раз­ни­це объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­дов со сто­ро­на­ми 1, 8, 6 и 1, 3, 1:

Ответ: 45.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим тре­уголь­ник ABC. BM  — ме­ди­а­на, по опре­де­ле­нию она делит сто­ро­ну по­по­лам, сле­до­ва­тель­но, AM  =  MC.

По усло­вию BM  =  BC, зна­чит, тре­уголь­ник MBC рав­но­бед­рен­ный, а в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке вы­со­та яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной. BH яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и делит MC по­по­лам, сле­до­ва­тель­но, MH  =  HC. Най­дем MH: MC  =  6, MH  =  6 : 2  =  3.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. С по­мо­щью тео­ре­мы Пи­фа­го­ра найдём вы­со­ту грани пи­ра­ми­ды (h₁):

Также с по­мо­щью тео­ре­мы Пи­фа­го­ра найдём вы­со­ту пи­ра­ми­ды (h₂):

Найдём пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды:

Найдём объём пи­ра­ми­ды:

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним дей­ствия в зна­ме­на­те­ле:

Раз­де­лим чис­ли­тель ис­ход­ной дроби на най­ден­ный зна­ме­на­тель:

Ре­ше­ние. Скид­ка на пачку сли­воч­но­го масла со­став­ля­ет 60  0,05  =  3 рубля. Зна­чит, пен­си­о­нер за пачку масла за­пла­тит 60 − 3  =  57 руб­лей.

Ответ: 57.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Решим не­ра­вен­ства.

А)

Б)  

В)  

Г)  

Ответ: 1234.

Ре­ше­ние. Ис­ко­мое число де­лит­ся на 18, а зна­чит, де­лит­ся на 9 и на 2. Сле­до­ва­тель­но, сумма его цифр де­лит­ся на 9 и по­след­няя его цифра чётная. Зна­чит, по­след­няя цифра числа  — 0, 2, 4, 6, 8.

Число 0 рас­смат­ри­вать не будем, по­сколь­ку на 0 де­лить нель­зя.

Рас­смот­рим число 2. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (0; 12) толь­ко числа 2, 4, 6, 8, 10 де­лят­ся на 2, давая 1, 2, 3, 4 и 5 со­от­вет­ствен­но. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 1, 2, 3, 4 и 5 со­от­вет­ствен­но. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют толь­ко на­бо­ры: 1, 1, 1; 1, 1, 2; 1, 1, 3; 1, 2, 2; 1, 1, 4 и 1, 1, 5. Из них набор 1, 1, 5 в сумме с чис­лом 4 даёт число, де­ля­ще­е­ся на 9.

Рас­смот­рим число 4. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (0; 12) толь­ко числа 4 и 8 де­лят­ся на 4, давая 1 и 2. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 1 и 2 со­от­вет­ствен­но. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют толь­ко на­бо­ры: 1, 1, 1 и 1, 1, 2. Эти на­бо­ры чисел в сумме с чис­лом 4 не дают число, де­ля­ще­е­ся на 9.

Рас­смот­рим число 6. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (0; 12) толь­ко число 6 де­лит­ся на 6, давая 1. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 1. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко набор: 1, 1, 1. Этот набор чисел в сумме с чис­лом 6 даёт число, де­ля­ще­е­ся на 9.

Рас­смот­рим число 6. За­ме­тим, что в ин­тер­ва­ле (0; 12) толь­ко число 8 де­лит­ся на 8, давая 1. Зна­чит, про­из­ве­де­ние пер­вых трех цифр равно 1. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко набор: 1, 1, 1. Этот набор чисел в сумме с чис­лом 8

не даёт число, де­ля­ще­е­ся на 9.

Ответ: 1152, 1512, 5112, 1116.

Ре­ше­ние. Пусть км/⁠ч  — ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля. Ав­то­мо­биль, вы­ехав­ший из го­ро­да B, пре­одо­лел рас­сто­я­ние (470 − 350) км = 120 км. Пер­вый ав­то­мо­биль на­хо­дил­ся в пути на 3 часа боль­ше, чем вто­рой. Таким об­ра­зом,

Ответ: 70.

Ре­ше­ние. Раз­ло­жим число 690 на мно­жи­те­ли так, чтобы по­лу­чив­ши­е­ся мно­жи­те­ли со­сто­я­ли толь­ко из чисел 2, 3, 4, 5 или чисел, в де­ся­тич­ной за­пи­си ко­то­рых есть толь­ко цифры 2, 3, 4, 5, и общее ко­ли­че­ство цифр в про­из­ве­де­нии было равно пяти: 690  =  2 · 5 · 23 · 3. Сле­до­ва­тель­но, учи­тель по­ста­вил Пете от­мет­ки 2, 5, 2, 3 и 3. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих оце­нок:

Ответ: 3.