Ре­ше­ние. Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: −1,3.

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся свой­ства­ми сте­пе­ней:

Ответ: 512.

Ре­ше­ние. В го­ро­де 70 000 · (0,25)  =  17 500 жи­те­лей яв­ля­ют­ся пен­си­о­не­ра­ми.

Ответ: 17 500.

Ре­ше­ние. Под­ста­вим зна­че­ния ве­ли­чин и вы­чис­лим P:

Ответ: 224.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: −5.

Ре­ше­ние. На 166 че­ло­век на 1 день по­ла­га­ет­ся 166 · 40  =  6640 г са­ха­ра, на 5 дней  — 6640 · 5  =  33 200 г. Раз­де­лим 33 200 г на 1000 г в одной упа­ков­ке:

Таким об­ра­зом, на весь ла­герь на 5 дней 33 упа­ко­вок не хва­тит, сле­до­ва­тель­но, по­на­до­бит­ся 34 ки­ло­грам­мо­вых упа­ков­ки са­ха­ра.

Ответ: 34.

Ре­ше­ние. Решим квад­рат­ное урав­не­ние:

Ответ: −8.

Ре­ше­ние. Спицы делят ко­ле­со на пять рав­ных сек­то­ров, а зна­чит, делят пол­ный угол 360° на 5 рав­ных углов по 72° каж­дый.

При­ме­ча­ние.

В дей­стви­тель­но­сти спицы не все­гда делят ко­ле­со на рав­но­ве­ли­кие сек­то­ра.

Ответ: 72.

Ре­ше­ние. Рост ребёнка может быть равен 110 см, тол­щи­на листа бу­ма­ги может со­став­лять 0,2 мм, длина ав­то­бус­но­го марш­ру­та  — 32 км, вы­со­та жи­ло­го дома  — 30 м.

Ответ: 4312.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность того, что к за­каз­чи­це при­е­дет зе­ле­ное такси, равна

Ответ: 0,4.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что 15 июля в Бре­сте было 19 гра­ду­сов тепла.

Ответ: 19.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

При по­куп­ке в ма­га­зи­не А цена де­ся­ти пу­те­во­ди­те­лей со­ста­вит 2830 руб., с до­став­кой  — 3030 руб.

При по­куп­ке в ма­га­зи­не Б цена де­ся­ти пу­те­во­ди­те­лей со­ста­вит 2710 руб., с до­став­кой  — 3010 руб.

При по­куп­ке в ма­га­зи­не В цена де­ся­ти пу­те­во­ди­те­лей со­ста­вит 3020 руб., до­став­ка будет бес­плат­ной.

Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шая сто­и­мость по­куп­ки с учётом до­став­ки со­став­ля­ет 3010 руб.

Ответ: 3010.

Ре­ше­ние. Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна сумме пло­ща­дей по­верх­но­сти пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да с реб­ра­ми 6, 4, 4 и двух пря­мо­уголь­ни­ков со сто­ро­на­ми 1 и 4, умень­шен­ной на пло­щадь двух пря­мо­уголь­ни­ков со сто­ро­на­ми 1 и 2:

Ответ: 132.

Ре­ше­ние. В ин­тер­ва­ле с ян­ва­ря по март  — все три ме­ся­ца объём про­даж был оди­на­ко­вым.

В ин­тер­ва­ле с ап­ре­ля по июнь  — наи­боль­ший рост еже­ме­сяч­но­го объёма про­даж.

В ин­тер­ва­ле с июля по сен­тябрь  — еже­ме­сяч­ный объём про­даж до­сти­га­ет мак­си­му­ма за весь год.

В ин­тер­ва­ле с ок­тяб­ря по де­кабрь  — за по­след­ний месяц пе­ри­о­да было про­да­но мень­ше 200 хо­ло­диль­ни­ков.

Ответ: 3241.

Ре­ше­ние. Сумма двух со­сед­них углов ромба равна 180°, сле­до­ва­тель­но, два угла, сумма ко­то­рых равна 120°, яв­ля­ют­ся про­ти­во­по­лож­ны­ми уг­ла­ми ромба. Каж­дый из этих углов равен 120° : 2 = 60°. Мень­шая диа­го­наль ромба лежит на­про­тив его мень­ше­го угла, рав­но­го 60°. Сто­ро­ны ромба равны, по­это­му тре­уголь­ник, сто­ро­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся две сто­ро­ны ромба и его мень­шая диа­го­наль,  — рав­но­сто­рон­ний. Сле­до­ва­тель­но, сто­ро­на ромба равна его мень­шей диа­го­на­ли, то есть равна 25. Сто­ро­ны ромба равны, зна­чит, пе­ри­метр ромба равен 100.

Ответ: 100.

Ре­ше­ние. C по­мо­щью тео­ре­мы Пи­фа­го­ра найдём CC₁:

Найдём пло­щадь ос­но­ва­ния пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Найдём объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 126.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим со­от­но­ше­ния:

1)  

2)  

3)  

4)  

Ответ: 4213.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пред­став­лен­ные утвер­жде­ния.

1.  В бас­кет­боль­ной ко­ман­де го­ро­да N обя­за­тель­но есть игрок, рост ко­то­ро­го равен 200 см  — не­вер­но, так как рост иг­ро­ков ко­леб­лет­ся от 180 до 195 см.

2.  В бас­кет­боль­ной ко­ман­де го­ро­да N нет иг­ро­ков с ро­стом 179 см  — верно, так как рост иг­ро­ков ко­леб­лет­ся от 180 до 195 см.

3.  Рост лю­бо­го бас­кет­бо­ли­ста этой ко­ман­ды мень­ше 195 см  — верно, так как рост каж­до­го из бас­кет­бо­ли­стов этой ко­ман­ды мень­ше 195 см.

4.  Раз­ни­ца в росте любых двух иг­ро­ков бас­кет­боль­ной ко­ман­ды го­ро­да N со­став­ля­ет более 15 см  — не­вер­но, так как в ко­ман­де при­сут­ству­ют иг­ро­ки от 180 до 195 см, при­чем не вклю­чая дан­ные ро­стов­ки.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 18, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 9, и на 2. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 2 сле­ду­ет, что число долж­но быть чет­ным. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 9 сле­ду­ет, что сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 9.

Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. Рас­смот­рим слу­чаи, когда a  =  2 и a  =  3.

Пусть a  =  2. Тогда по­след­няя цифра может быть либо 6, либо 8 (из усло­вия, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра боль­ше преды­ду­щей). Если по­след­няя цифра 6, то сумма двух цифр со­став­ля­ет 8, зна­чит, что сумма двух остав­ших­ся цифр долж­на рав­нять­ся 10, что не­воз­мож­но по­до­брать из остав­ших­ся воз­мож­ных цифр 3, 4 или 5. Если по­след­няя цифра 8, то сумма двух остав­ших­ся цифр со­став­ля­ет 8, что воз­мож­но  — число 2358.

Пусть a  =  3 и тогда един­ствен­ным под­хо­дя­щим чис­лом может быть 3456, и оно удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям.

Пусть тогда сумма двух цифр равна 11. Чтобы число де­ли­лось на 9, сумма цифр числа долж­на рав­нять­ся 18, 27 и т. д. Чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щих всем усло­ви­ям, в дан­ном диа­па­зо­не нет.

Ответ: 2358 или 3456.

Ре­ше­ние. Рас­пи­лим на 6 кус­ков по крас­ным ли­ни­ям, при рас­пи­ле по жел­тым до­ба­вит­ся еще 4 куска, а при рас­пи­ле по зе­ле­ным ли­ни­ям  — еще 11 кус­ков. Всего по­лу­чит­ся 21 кусок палки.

Ответ: 21.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

За­ме­тим, что ко­ли­че­ство линий на еди­ни­цу мень­ше ко­ли­че­ства кус­ков, ко­то­рые по­лу­ча­ют­ся при рас­пи­лах по этим ли­ни­ям. Сле­до­ва­тель­но, есть 5 крас­ных линий, 4 жел­тых линии и 11 зе­ле­ных линий, всего 20 линий. При рас­пи­лах по всем этим ли­ни­ям по­лу­чит­ся 21 кусок.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что от­ме­чен­ные на палке линии не сов­па­да­ют друг с дру­гом.