Ре­ше­ние. пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти фи­гу­ры равна сумме пло­ща­дей всех бо­ко­вых гра­ней

Ответ: 300.

Ре­ше­ние. Сто­ро­на ромба a вы­ра­жа­ет­ся через его диа­го­на­ли и фор­му­лой

Най­дем пло­щадь ромба

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы равна

Ответ: 248.

При­ме­ча­ние.

При­ве­дем вывод ис­поль­зу­е­мой в ре­ше­нии фор­му­лы, вы­ра­жа­ю­щей сто­ро­ну ромба a через его диа­го­на­ли d₁ и d₂. Диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

от­ку­да

Ре­ше­ние. Пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы вы­ра­жа­ет­ся через сто­ро­ну ее ос­но­ва­ния a и бо­ко­вое ребро H фор­му­лой Под­ста­вим зна­че­ния a и S:

от­ку­да на­хо­дим, что

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния всей приз­мы в 4 раза (так как и вы­со­та и ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка умень­ши­лись в 2 раза). Вы­со­та приз­мы оста­лась преж­ней, сле­до­ва­тель­но, объем умень­шил­ся в 4 раза.

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния всей приз­мы в 4 раза (так как и вы­со­та и ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка умень­ши­лись в 2 раза). Вы­со­ты обеих ча­стей оди­на­ко­вы, по­это­му объем от­се­чен­ной части в 4 раза мень­ше объ­е­ма целой приз­мы, ко­то­рый равен 20.

Ответ: 20.

Ре­ше­ние.

Объем приз­мы боль­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды с такой же пло­ща­дью ос­но­ва­ния и вы­со­той в 3 раза. Объем остав­шей­ся части со­став­ля­ет тогда две трети ис­ход­но­го, он равен 4.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Тре­тья сто­ро­на тре­уголь­ни­ка в ос­но­ва­нии равна 10, и его пло­щадь Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы с пе­ри­мет­ром ос­но­ва­ния P равна

Пол­ная пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы равна

Ответ: 288.

Ре­ше­ние. Сто­ро­на ромба a вы­ра­жа­ет­ся через его диа­го­на­ли и как

Пло­щадь ромба равна

Тогда бо­ко­вое ребро най­дем из вы­ра­же­ния для пло­ща­ди по­верх­но­сти:

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Ги­по­те­ну­за ос­но­ва­ния равна 10. Вы­со­ту най­дем из вы­ра­же­ния для пло­ща­ди по­верх­но­сти :

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равна про­из­ве­де­нию пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на вы­со­ту бо­ко­вой грани. Вы­со­та бо­ко­вой грани у ис­ход­ной приз­мы и от­се­чен­ной призм сов­па­да­ет. По­это­му пло­ща­ди бо­ко­вых гра­ней от­но­сят­ся как пе­ри­мет­ры ос­но­ва­ний. Тре­уголь­ни­ки в ос­но­ва­нии ис­ход­ной и от­се­чен­ной призм по­доб­ны, все их сто­ро­ны от­но­сят­ся как 1:2. По­это­му пе­ри­метр ос­но­ва­ния от­се­чен­ной приз­мы вдвое мень­ше ис­ход­но­го. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной приз­мы равна 16.

Ответ: 16.

Ре­ше­ние.

Объем приз­мы боль­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды с такой же пло­ща­дью ос­но­ва­ния и вы­со­той в 3 раза. Объем остав­шей­ся части со­став­ля­ет тогда две трети ис­ход­но­го, он равен 100.

Ответ: 100.

Ре­ше­ние. Сто­ро­на ромба a вы­ра­жа­ет­ся через его диа­го­на­ли и как

Пло­щадь ромба

Тогда бо­ко­вое ребро най­дем из вы­ра­же­ния для пло­ща­ди по­верх­но­сти:

Ответ: 31.

Ре­ше­ние. Тре­бу­ет­ся найти объём пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ние и вы­со­та ко­то­рой сов­па­да­ют с ос­но­ва­ни­ем и вы­со­той дан­ной тре­уголь­ной приз­мы. По­это­му

Ответ: 2.

Ре­ше­ние.

Ис­ко­мый объём мно­го­гран­ни­ка равен раз­но­сти объёмов приз­мы и пи­ра­ми­ды ос­но­ва­ния и вы­со­ты ко­то­рых сов­па­да­ют. По­это­му

Ответ: 4.

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что ис­ко­мый объём равен раз­но­сти объ­е­ма приз­мы и двух тре­уголь­ных пи­ра­мид, ос­но­ва­ния и вы­со­ты ко­то­рых сов­па­да­ют с ос­но­ва­ни­ем и вы­со­той приз­мы:

По­это­му

Ответ: 4.

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды такое же, как ос­но­ва­ние пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, и вы­со­та у них общая. По­это­му

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Мно­го­гран­ник, объем ко­то­ро­го тре­бу­ет­ся найти, яв­ля­ет­ся пря­мой тре­уголь­ной приз­мой. Объем приз­мы равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. Ос­но­ва­ни­ем приз­мы яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка в ос­но­ва­нии равна пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна

Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна одной ше­стой пло­ща­ди ос­но­ва­ния ше­сти­уголь­ной приз­мы. Вы­со­той пря­мой приз­мы яв­ля­ет­ся бо­ко­вое ребро, его длина равна 3. Таким об­ра­зом, ис­ко­мый объем равен

Ответ: 3.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния че­ты­рех­уголь­ной приз­мы равна двум тре­тьим пло­ща­ди ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, а вы­со­та у них общая. По­это­му

Ответ: 8.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния че­ты­рех­уголь­ной приз­мы равна по­ло­ви­не пло­ща­ди ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, а вы­со­та у них общая. По­это­му

Ответ: 6.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна одной ше­стой пло­ща­ди ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, а вы­со­та у них общая. По­это­му

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Пло­ща­ди по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му если все ребра уве­ли­чить в три раза, пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся в 9 раз. Сле­до­ва­тель­но, она ста­нет равна 54.

Ответ: 54.

Ре­ше­ние.

Длина боль­шей диа­го­на­ли пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равна его удво­ен­ной сто­ро­не. По­это­му

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке углы между сто­ро­на­ми равны зна­чит,

Ответ: 60.

Ре­ше­ние.

От­рез­ки D₁E₁, DE и AB лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, по­это­му ис­ко­мый угол между пря­мы­ми FA и E₁D₁ равен углу между пря­мы­ми FA и AB.

По­сколь­ку угол FAB между сто­ро­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен 120°, смеж­ный с ним угол между пря­мы­ми FA и AB равен 60°.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку   — куб, каж­дая из его гра­ней яв­ля­ет­ся квад­ра­том. Диа­го­на­ли этих квад­ра­тов равны, по­это­му Тогда тре­уголь­ник   — рав­но­сто­рон­ний. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен 60°.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние.

От­рез­ки A₁A и BB₁ лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, по­это­му ис­ко­мый угол между пря­мы­ми A₁A и BC₁ равен углу между пря­мы­ми BB₁ и BC₁. Бо­ко­вая грань CBB₁C₁  — квад­рат, по­это­му угол между его сто­ро­ной и диа­го­на­лью равен 45°.

Ответ: 45.

Ре­ше­ние. От­рез­ки DC и D₁C₁ лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, по­это­му ис­ко­мый угол между пря­мы­ми A₁C₁ и DC равен углу между пря­мы­ми A₁C₁ и D₁C₁.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка A₁C₁D₁ по­лу­ча­ем:

Тогда для угла A₁C₁D₁ имеем:

Ответ: 0,6.

Ре­ше­ние. Пра­виль­ная четырёхуголь­ная приз­ма яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным па­рал­ле­ле­пи­пе­дом, диа­го­на­ли пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны, диа­го­наль­ное се­че­ние яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник A₁BC: в нем катет BC вдвое мень­ше ги­по­те­ну­зы A₁C, по­это­му угол A₁CB равен 60°. Ана­ло­гич­но в тре­уголь­ни­ке D₁CB угол D₁BC равен 60°.

Сумма углов тре­уголь­ни­ка BGC равна 180° по­лу­ча­ем, по­сколь­ку углы два его угла равны 60°, тре­тий угол тоже равен 60°.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Объём пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле: где a  — длина сто­ро­ны ос­но­ва­ния приз­мы, h  — вы­со­та приз­мы. Под­став­ляя дан­ные зна­че­ния, по­лу­ча­ем:

Ответ: 27.