Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 18, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 9, и на 2. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 2 сле­ду­ет, что число долж­но быть чет­ным. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 9 сле­ду­ет, что сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 9.

Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. Рас­смот­рим слу­чаи, когда a  =  2 и a  =  3.

Пусть a  =  2. Тогда по­след­няя цифра может быть либо 6, либо 8 (из усло­вия, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра боль­ше преды­ду­щей). Если по­след­няя цифра 6, то сумма двух цифр со­став­ля­ет 8, зна­чит, что сумма двух остав­ших­ся цифр долж­на рав­нять­ся 10, что не­воз­мож­но по­до­брать из остав­ших­ся воз­мож­ных цифр 3, 4 или 5. Если по­след­няя цифра 8, то сумма двух остав­ших­ся цифр со­став­ля­ет 8, что воз­мож­но  — число 2358.

Пусть a  =  3 и тогда един­ствен­ным под­хо­дя­щим чис­лом может быть 3456, и оно удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям.

Пусть тогда сумма двух цифр равна 11. Чтобы число де­ли­лось на 9, сумма цифр числа долж­на рав­нять­ся 18, 27 и т. д. Чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щих всем усло­ви­ям, в дан­ном диа­па­зо­не нет.

Ответ: 2358 или 3456.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 12, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 4, и на 3. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 4 сле­ду­ет, что число долж­но быть чет­ным и по­след­ние две цифры числа, со­став­ля­ю­щие новое число, долж­ны де­лить­ся на 4. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 3 сле­ду­ет, что сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 3.

Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. По усло­вию a = 3, зна­чит, по­след­няя цифра числа может быть равна или 6, или 8. Рас­смот­рим все слу­чаи.

Пусть d = 6. Един­ствен­ное число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра долж­на быть боль­ше преды­ду­щей,  — число 3456. Оно удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям.

Пусть d = 8, тогда сумма пер­вой и по­след­ней цифр равна 11. Чтобы число де­ли­лось на 3, сумма цифр числа долж­на быть равна или 12, или 15, или 18, или 21, или 24. Среди таких чисел  — 3468, 3678. Но число 3678 боль­ше числа 3500, сле­до­ва­тель­но, не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию.

Ответ: 3456, 3468.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 50, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 10, и на 5. Это ав­то­ма­ти­че­ски озна­ча­ет, что оно долж­но за­кан­чи­вать­ся на 50 (по­сколь­ку каж­дая сле­ду­ю­щая цифра долж­на быть мень­ше преды­ду­щей).

Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. По усло­вию a = 7 или a = 8. Рас­смот­рим все слу­чаи.

Пусть a = 7. Един­ствен­ное число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра долж­на быть мень­ше преды­ду­щей,  — число 7650. Оно удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям.

Пусть a = 8. Числа 8750, 8650 удо­вле­тво­ря­ют всем усло­ви­ям.

Ответ: 7650, 8650, 8750.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 15, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 5, и на 3. Это ав­то­ма­ти­че­ски озна­ча­ет, что оно долж­но за­кан­чи­вать­ся на 0 (по­сколь­ку каж­дая сле­ду­ю­щая цифра долж­на быть мень­ше преды­ду­щей). Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 3 сле­ду­ет, что сумма цифр долж­на де­лить­ся на 3.

Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. По усло­вию a = 6 или a = 7. Рас­смот­рим все слу­чаи.

Пусть a = 6. Сумма пер­вой и по­след­ней цифр равна 6. Сумма всех цифр долж­на быть равна или 9, или 12, или 15. Числа 6210, 6420, 6510, 6540 де­лят­ся на 12, но числа 6210 и 6450 мень­ше 6500. Сле­до­ва­тель­но, удо­вле­тво­ря­ют всем усло­ви­ям числа 6510, 6540.

Пусть a = 7. Сумма пер­вой и по­след­ней цифр равна 7. Сумма всех цифр долж­на быть равна или 9, или 12, или 15, или 18. Числа 7410, 7320, 7620, 7530, 7650 де­лят­ся на 12, но числа 7650, 7620, 7530 боль­ше 7500. Сле­до­ва­тель­но, удо­вле­тво­ря­ют всем усло­ви­ям числа 7410 и 7320.

Ответ: 6510, 6540, 7320, 7410.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 60, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 3, и на 20. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 20 сле­ду­ет, что число окан­чи­ва­ет­ся на ноль, а пред­по­след­няя цифра чет­ная. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 3 сле­ду­ет, что сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 3.

Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. По усло­вию 4 < a ≤ 6, зна­чит, вто­рая цифра числа может быть равна 6, 5 или 4. Рас­смот­рим все слу­чаи.

Пусть a = 4. Един­ствен­ное число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра долж­на быть мень­ше преды­ду­щей,  — число 4320. Оно удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям.

Пусть a = 5. Един­ствен­ное число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра долж­на быть мень­ше преды­ду­щей,  — число 5320, сумма цифр числа 5 + 3 + 2 + 0 = 10. Чтобы число де­ли­лось на 3, сумма цифр числа долж­на быть равна или 12, или 15, или 18, или 21, или 24. Дан­ное число не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию.

Пусть a = 6. Числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра долж­на быть мень­ше преды­ду­щей,  — числа 6540, 6520, 6420, 6320. Чтобы число де­ли­лось на 3, сумма цифр числа долж­на быть равна или 12, или 15, или 18, или 21, или 24. Среди дан­ных чисел на 60 де­лят­ся два числа  — 6540 и 6420, но 6540 > 6500, по­это­му всем усло­ви­ям удо­вле­тво­ря­ет толь­ко число 6420.

Ответ: 6420 или 4320.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 20, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 2, и на 10. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 20 сле­ду­ет, что число окан­чи­ва­ет­ся на ноль, а пред­по­след­няя цифра чет­ная.

Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. По усло­вию 4 < a < 6, зна­чит, вто­рая цифра числа может быть равна 5 или 4. Рас­смот­рим все слу­чаи.

Пусть a = 4. Един­ствен­ное число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра долж­на быть мень­ше преды­ду­щей,  — число 4320. Оно удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям.

Пусть a = 5. Числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра долж­на быть мень­ше преды­ду­щей,  — числа 5420 и 5320. Дан­ные числа удо­вле­тво­ря­ют всем усло­ви­ям.

Ответ: 4320, 5320 и 5420.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 40, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 2, и на 20. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 40 сле­ду­ет, что по­след­ние 3 цифры числа долж­ны де­лить­ся на 40.

Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. По усло­вию 3 ≤ a ≤ 5, зна­чит, вто­рая цифра числа может быть равна 5, 4 или 3. Рас­смот­рим все слу­чаи.

Пусть a = 3. Един­ствен­ное число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра долж­на быть мень­ше преды­ду­щей,  — число 3210. Оно не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию де­ли­мо­сти на 40.

Пусть a = 4. Число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра долж­на быть мень­ше преды­ду­щей,  — число 4320. Оно удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям.

Пусть a = 5. Числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра долж­на быть мень­ше преды­ду­щей,  — числа 5420 и 5320. Всем усло­ви­ям удо­вле­тво­ря­ет толь­ко число 5320.

Ответ: 4320 и 5320.

Ре­ше­ние. Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. Если число де­лит­ся на 24, то оно также де­лит­ся на 8 и на 3. Так как сумма цифр ис­ко­мо­го числа равна 18, то оно ав­то­ма­ти­че­ски будет де­лить­ся на 3. Число де­лит­ся на 8 тогда и толь­ко тогда, когда по­след­ние три цифры числа об­ра­зу­ют число, де­ля­ще­е­ся на 8, или когда по­след­ние 3 цифры  — нули. Так как число abcd < 2500, то a  =  2, а сумма b + c + d  =  16, и d  — обя­за­тель­но чет­ное. Рас­смот­рим все слу­чаи.

До­пу­стим, что d = 0, тогда b + с = 16, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 7 и 9, 8 и 8. Числа 2790 и 2880 не под­хо­дят, по­сколь­ку они боль­ше 2500.

До­пу­стим, что d = 2, тогда b + с = 14, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 5 и 9, 6 и 8, 7 и 7. По­лу­чен­ные числа боль­ше 2500, по­это­му они не под­хо­дят.

До­пу­стим, что d = 4, тогда b + с = 12, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7, 6 и 6. Среди чисел 394 и 484 ни одно не крат­но 8, а числа 2574 и 2664 боль­ше 2500, по­это­му

До­пу­стим, что d = 6, тогда b + с = 10, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7, 4 и 6, 5 и 5. Среди чисел 196, 286, 376, 466 и 556 толь­ко число 376 крат­но 8, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число abcd  — 2376.

До­пу­стим, что d = 8, тогда b + с = 8, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 0 и 8, 1 и 7, 2 и 6, 3 и 5, 4 и 4. Среди чисел 088, 178, 268, 358 и 448 толь­ко числа 088 и 448 крат­ны 8, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мые числа abcd  — 2088 и 2448.

Ответ: 2088, или 2376, или 2448.

Ре­ше­ние. Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. Если число де­лит­ся на 36, то оно также де­лит­ся на 9 и на 4. Так как сумма цифр ис­ко­мо­го числа равна 18, то оно ав­то­ма­ти­че­ски будет де­лить­ся на 9. Число де­лит­ся на 4 тогда и толь­ко тогда, когда по­след­ние две цифры числа об­ра­зу­ют число, де­ля­ще­е­ся на 4, или когда по­след­ние две цифры  — нули. Так как число abcd < 2400, то a  =  2, а сумма b + c + d  =  16, и d  — обя­за­тель­но чет­ное. Рас­смот­рим все слу­чаи.

До­пу­стим, что d = 0, тогда b + с = 16, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 7 и 9, 8 и 8. Числа 2790 и 2880 не под­хо­дят, по­сколь­ку они боль­ше 2400.

До­пу­стим, что d = 2, тогда b + с = 14, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 5 и 9, 6 и 8, 7 и 7. По­лу­чен­ные числа боль­ше 2400, по­это­му они не под­хо­дят.

До­пу­стим, что d = 4, тогда b + с = 12, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7, 6 и 6. Число 2394 не крат­но 36, а числа 2484, 2574 и 2664 боль­ше 2400, по­это­му

До­пу­стим, что d = 6, тогда b + с = 10, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7, 4 и 6, 5 и 5. Среди чисел 2196, 2286, 2376 толь­ко числа 2196 и 2376 де­лят­ся на 36  — это ис­ко­мые числа. Осталь­ные числа боль­ше 2400.

До­пу­стим, что d = 8, тогда b + с = 8, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 0 и 8, 1 и 7, 2 и 6, 3 и 5, 4 и 4. Среди чисел 2088, 2178, 2268, 2358 толь­ко числа 2088 и 2268 де­лят­ся на 36  — это ис­ко­мые числа.

Ответ: 2088, или 2196, или 2268, или 2376.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 12, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 4, и на 3. Это ав­то­ма­ти­че­ски озна­ча­ет, что по­след­няя цифра числа яв­ля­ет­ся чет­ным чис­лом, а сумма всех цифр крат­на 3.

Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. По усло­вию a  =  6. Так как каж­дая сле­ду­ю­щая цифра числа мень­ше преды­ду­щей, а по­след­няя цифра чет­ная, d  =  0 или d  =  2. Если d  =  2, то всем усло­ви­ям удо­вле­тво­ря­ет число 6432. Если d  =  0, то всем усло­ви­ям удо­вле­тво­ря­ют числа 6420 и 6540.

Ответ: 6432, 6420, 6540.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 18, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 9, и на 2. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 2 сле­ду­ет, что число долж­но быть чет­ным. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 9 сле­ду­ет, что сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 9.

Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. Рас­смот­рим слу­чаи, когда a  =  6 и a  =  7.

Пусть a  =  6. Тогда по­след­няя цифра может быть либо 2, либо 0 (из усло­вия, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра мень­ше преды­ду­щей). Если по­след­няя цифра 2, то сумма двух цифр со­став­ля­ет 8, зна­чит, что сумма двух остав­ших­ся цифр долж­на рав­нять­ся 10, что не­воз­мож­но по­до­брать из остав­ших­ся воз­мож­ных цифр 5, 4 или 3. Если по­след­няя цифра 0, то сумма двух остав­ших­ся цифр со­став­ля­ет или 3, под­хо­дя­щее число  — 6210, или 12, что не­воз­мож­но по­до­брать из остав­ших­ся воз­мож­ных цифр 5, 4, 3, 2 или 1.

Пусть a  =  7. Тогда по­след­няя цифра может быть либо 4, либо 2, либо 0 (из усло­вия, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра мень­ше преды­ду­щей). Если по­след­няя цифра 4, то сумма двух цифр со­став­ля­ет 11, зна­чит, что сумма двух остав­ших­ся цифр долж­на рав­нять­ся 7, что не­воз­мож­но, так как сумма остав­ших­ся цифр, 6 и 5, равна 11. Если по­след­няя цифра 2, то сумма двух остав­ших­ся цифр со­став­ля­ет 9, что воз­мож­но: под­хо­дя­щие числа  — 7542, 7632. Если по­след­няя цифра 0, то сумма двух остав­ших­ся цифр равна 11, что также воз­мож­но: под­хо­дя­щее число  — 7650.

Ответ: 6210, 7542, 7632, 7650.

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Най­ди­те четырёхзнач­ное число, боль­шее 2000, но мень­шее 4000, ко­то­рое де­лит­ся на 18 и каж­дая сле­ду­ю­щая цифра ко­то­ро­го боль­ше преды­ду­щей. В от­ве­те ука­жи­те какое-⁠ни­будь одно такое число.

Если число де­лит­ся на 18, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 9, и на 2. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 2 сле­ду­ет, что число долж­но быть чет­ным. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 9 сле­ду­ет, что сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 9.

Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. Рас­смот­рим слу­чаи, когда a  =  2 и a  =  3.

Пусть a  =  2. Тогда по­след­няя цифра может быть либо 6, либо 8 (из усло­вия, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра боль­ше преды­ду­щей). Если по­след­няя цифра 6, то сумма двух цифр со­став­ля­ет 8, зна­чит, что сумма двух остав­ших­ся цифр долж­на рав­нять­ся 10, что не­воз­мож­но по­до­брать из остав­ших­ся воз­мож­ных цифр 3, 4 или 5. Если по­след­няя цифра 8, то сумма двух остав­ших­ся цифр со­став­ля­ет 8, что воз­мож­но  — число 2358.

Пусть a  =  3 и тогда един­ствен­ным под­хо­дя­щим чис­лом может быть 3456, и оно удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям.

Пусть тогда сумма двух цифр равна 11. Чтобы число де­ли­лось на 9, сумма цифр числа долж­на рав­нять­ся 18, 27 и т. д. Чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щих всем усло­ви­ям, в дан­ном диа­па­зо­не нет.

Ответ: 2358 или 3456.

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Най­ди­те четырёхзнач­ное число, боль­шее 2000, но мень­шее 4000, ко­то­рое де­лит­ся на 18 и каж­дая сле­ду­ю­щая цифра ко­то­ро­го боль­ше преды­ду­щей. В от­ве­те ука­жи­те какое-⁠ни­будь одно такое число.

Если число де­лит­ся на 18, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 9, и на 2. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 2 сле­ду­ет, что число долж­но быть чет­ным. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 9 сле­ду­ет, что сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 9.

Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. Рас­смот­рим слу­чаи, когда a  =  2 и a  =  3.

Пусть a  =  2. Тогда по­след­няя цифра может быть либо 6, либо 8 (из усло­вия, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра боль­ше преды­ду­щей). Если по­след­няя цифра 6, то сумма двух цифр со­став­ля­ет 8, зна­чит, что сумма двух остав­ших­ся цифр долж­на рав­нять­ся 10, что не­воз­мож­но по­до­брать из остав­ших­ся воз­мож­ных цифр 3, 4 или 5. Если по­след­няя цифра 8, то сумма двух остав­ших­ся цифр со­став­ля­ет 8, что воз­мож­но  — число 2358.

Пусть a  =  3 и тогда един­ствен­ным под­хо­дя­щим чис­лом может быть 3456, и оно удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям.

Пусть тогда сумма двух цифр равна 11. Чтобы число де­ли­лось на 9, сумма цифр числа долж­на рав­нять­ся 18, 27 и т. д. Чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щих всем усло­ви­ям, в дан­ном диа­па­зо­не нет.

Ответ: 2358 или 3456.

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Най­ди­те четырёхзнач­ное число, боль­шее 2000, но мень­шее 4000, ко­то­рое де­лит­ся на 18 и каж­дая сле­ду­ю­щая цифра ко­то­ро­го боль­ше преды­ду­щей. В от­ве­те ука­жи­те какое-⁠ни­будь одно такое число.

Если число де­лит­ся на 18, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 9, и на 2. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 2 сле­ду­ет, что число долж­но быть чет­ным. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 9 сле­ду­ет, что сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 9.

Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. Рас­смот­рим слу­чаи, когда a  =  2 и a  =  3.

Пусть a  =  2. Тогда по­след­няя цифра может быть либо 6, либо 8 (из усло­вия, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра боль­ше преды­ду­щей). Если по­след­няя цифра 6, то сумма двух цифр со­став­ля­ет 8, зна­чит, что сумма двух остав­ших­ся цифр долж­на рав­нять­ся 10, что не­воз­мож­но по­до­брать из остав­ших­ся воз­мож­ных цифр 3, 4 или 5. Если по­след­няя цифра 8, то сумма двух остав­ших­ся цифр со­став­ля­ет 8, что воз­мож­но  — число 2358.

Пусть a  =  3 и тогда един­ствен­ным под­хо­дя­щим чис­лом может быть 3456, и оно удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям.

Пусть тогда сумма двух цифр равна 11. Чтобы число де­ли­лось на 9, сумма цифр числа долж­на рав­нять­ся 18, 27 и т. д. Чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щих всем усло­ви­ям, в дан­ном диа­па­зо­не нет.

Ответ: 2358 или 3456.