Ре­ше­ние. Сред­ний рас­ход бен­зи­на за месяц со­ста­вил (6000 : 100) · 9  =  540 лит­ров. Умно­жим 540 на 20:

Зна­чит, за месяц так­сист по­тра­тил 10 800 руб­лей.

Ответ: 10 800.

Ре­ше­ние. От лег­ко­го к тя­же­ло­му: таб­лет­ка (Г  — 1), яйцо (А  — 3), ко­ляс­ка (Б  — 2) и бе­ге­мот (В  — 4). Окон­ча­тель­но по­лу­чим 3241.

Ответ: 3241.

Ре­ше­ние. Из диа­грам­мы видно, что наи­мень­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра со­став­ля­ет −14 °C (см. рис.).

Ответ: −14.

Ре­ше­ние. Под­став­ляя зна­че­ния F и a, по­лу­ча­ем: 8 от­ку­да

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность того, что стек­ло сде­ла­но на пер­вой фаб­ри­ке и оно бра­ко­ван­ное: 0,45 · 0,03  =  0,0135.

Ве­ро­ят­ность того, что стек­ло сде­ла­но на вто­рой фаб­ри­ке и оно бра­ко­ван­ное: 0,55 · 0,01  =  0,0055.

По­это­му по фор­му­ле пол­ной ве­ро­ят­но­сти ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но куп­лен­ное в ма­га­зи­не стек­ло ока­жет­ся бра­ко­ван­ным, равна 0,0135 + 0,0055  =  0,019.

Ответ: 0,019.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим три слу­чая.

На та­риф­ном плане «По­вре­мен­ный» еже­ме­сяч­ная плата будет скла­ды­вать­ся из або­нент­ской 135 руб. и платы за 650 мин. 650 · 0,3  =  195 руб. и будет со­став­лять 195 + 135  =  330 руб.

На та­риф­ном плане «Ком­би­ни­ро­ван­ный» еже­ме­сяч­ная плата будет скла­ды­вать­ся из або­нент­ской 255 руб. и платы за 200 мин. сверх та­ри­фа 200 · 0,28  =  56 руб. и будет со­став­лять 255 + 56  =  311 руб.

На та­риф­ном плане «Без­ли­мит­ный» еже­ме­сяч­ная плата будет равна 380 руб.

Сто­и­мость са­мо­го де­ше­во­го ва­ри­ан­та со­став­ля­ет 311 руб.

Ответ: 311.

Ре­ше­ние. Если функ­ция воз­рас­та­ет, то про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, и на­о­бо­рот.

На ин­тер­ва­ле про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на вна­ча­ле ин­тер­ва­ла и от­ри­ца­тель­на в конце, по­то­му что функ­ция вна­ча­ле воз­рас­та­ет, а потом убы­ва­ет.

На ин­тер­ва­ле про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на, по­то­му что функ­ция убы­ва­ет.

На ин­тер­ва­ле функ­ция от­ри­ца­тель­на в на­ча­ле ин­тер­ва­ла и по­ло­жи­тель­на в конце ин­тер­ва­ла.

На ин­тер­ва­ле про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, по­то­му что функ­ция воз­рас­та­ет.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие: А  — 2, Б  — 1, В  — 3, Г  — 4.

Ответ: 2134.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что ответ был бы вер­ным и в том слу­чае, если бы пункт 3 был сфор­му­ли­ро­ван сле­ду­ю­щим об­ра­зом: «про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на в на­ча­ле ин­тер­ва­ла и по­ло­жи­тель­на в конце ин­тер­ва­ла». Од­на­ко в за­да­нии речь идет имен­но о функ­ции. Ре­ко­мен­ду­ем чи­та­те­лям быть вни­ма­тель­ны­ми при ре­ше­нии ана­ло­гич­ных за­да­ний.

Ре­ше­ние. 1  — верно. Если сес­сия сдана на от­лич­но, то сес­сия сдана без троек, а отец все­гда вы­пол­ня­ет свои обе­ща­ния.

2  — не­вер­но. О том, что про­изой­дет, если сту­дент сдаст с трой­ка­ми, ни­че­го не ска­за­но. (Отец НЕ ска­зал «по­лу­чишь хоть одну трой­ку  — не ви­дать тебе но­ут­бу­ка».)

3  — верно. Если но­ут­бук не по­да­рен, то усло­вие для да­ре­ния не на­сту­пи­ло. Зна­чит, сес­сию сту­дент про­ва­лил. Если бы сту­дент сдал без троек, отец по­да­рил бы но­ут­бук.

4  — не­вер­но. Отец мог по­да­рить ему но­ут­бук за дру­гие за­слу­ги.

Таким об­ра­зом, вер­ны­ми яв­ля­ют­ся утвер­жде­ния 1 и 3.

Ответ: 13.

При­ме­ча­ние.

При­ве­дем ре­ше­ние этой за­да­че на ос­но­ве фор­маль­ной ло­ги­ки. Пусть утвер­жде­ние A  — «Отец по­да­рит сыну но­ут­бук», а утвер­жде­ние B  — «Сес­сия сдана без троек». В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи, из B сле­ду­ет А. Тогда из НЕ А сле­ду­ет НЕ В, то есть в слу­чае, если но­ут­бук не по­да­рен, то сес­сия не сдана без троек, то есть сдана с трой­ка­ми или не сдана со­всем. Если же усло­вие А вы­пол­не­но, то из этого ни­че­го не сле­ду­ет, то есть если но­ут­бук по­да­рен, то сес­сия может быть сдана как с трой­ка­ми, так и без них. Ана­ло­гич­но, если усло­вие В не вы­пол­не­но, то из этого ни­че­го не сле­ду­ет, то есть если сес­сия сдана с трой­ка­ми, то но­ут­бук может быть как по­да­рен, так и нет.

Для тех чи­та­те­лей, ко­то­рые не могут по­ве­рить в пра­виль­ность от­ве­та, рас­смот­рим ана­ло­гич­ную за­да­чу с гео­мет­ри­че­ски­ми утвер­жде­ни­я­ми. Пусть утвер­жде­ние A  — «Углы равны», а утвер­жде­ние B  — «Углы вер­ти­каль­ные». Из курса гео­мет­рии из­вест­но, что из B сле­ду­ет А, то есть вер­ти­каль­ные углы равны («если углы вер­ти­каль­ные, то они равны»). Тогда из НЕ А сле­ду­ет НЕ В, то есть если углы не равны, то они не вер­ти­каль­ные. Но если углы равны (усло­вие A вы­пол­не­но), то они могут быть как вер­ти­каль­ны­ми, так и нет. С дру­гой сто­ро­ны, если углы не яв­ля­ют­ся вер­ти­каль­ны­ми (усло­вие В не вы­пол­не­но), то они могут быть как равны, так и не равны.

За­ме­тим также, что в обы­ден­ной жизни обе­ща­ния с ис­поль­зо­ва­ни­ем слова «если» по­ни­ма­ют­ся в смыс­ле «тогда и толь­ко тогда», и фраза «куплю но­ут­бук, если сдашь сес­сию без троек» (или фраза «если бу­дешь себя хо­ро­шо вести, то раз­ре­шу по­смот­реть муль­ти­ки») по­ни­ма­ет­ся в смыс­ле «куплю но­ут­бук тогда и толь­ко тогда, если сдашь сес­сию без троек» («раз­ре­шу по­смот­реть муль­ти­ки в том и толь­ко в том слу­чае, если бу­дешь себя хо­ро­шо вести»). Од­на­ко во всех за­да­ни­ях ЕГЭ слово «если» по­ни­ма­ет­ся в смыс­ле про­сто­го сле­до­ва­ния.

Ре­ше­ние. Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ма­лень­ко­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ги­по­те­ну­за ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сто­ро­ной ис­ход­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка и пло­ща­ди ма­лень­ко­го квад­ра­та. По­это­му

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AEB и CDE, они имеют общий угол E и, сле­до­ва­тель­но, по­доб­ны по двум углам. Зна­чит, от­ку­да По­лу­ча­ем, что

Ответ: 17.

Ре­ше­ние. У мно­го­гран­ни­ка с боль­шим чис­лом вер­шин ко­ли­че­ство рёбер равно 9.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Вы­чис­лим:

Ответ: 2.

При­ве­дем ре­ше­ние Лизы Ни­ку­ли­ной.

Тре­уголь­ник AHC пря­мо­уголь­ный, AC  — ги­по­те­ну­за, угол ACH равен 30°. Катет, ле­жа­щий на­про­тив угла в 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, сле­до­ва­тель­но,

Ре­ше­ние. Объёмы шаров от­но­сят­ся как кубы от­но­ше­ний их ра­ди­у­сов. Ра­ди­ус боль­ше­го шара в 4 раза боль­ше ра­ди­у­са мень­ше­го, по­это­му их объёмы от­но­сят­ся как 

Ответ: 64.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Найдём от­но­ше­ние объёмов шаров:

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 702.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку акции пред­при­я­тия рас­пре­де­ле­ны между го­су­дар­ством и част­ны­ми ак­ци­о­не­ра­ми в от­но­ше­нии 3 : 5 со­от­вет­ствен­но, част­ным ак­ци­о­не­рам долж­но пойти на вы­пла­ту при­бы­ли за год. Тогда по­лу­ча­ем

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: −0,5.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­чим:

Ответ: −2.

Ре­ше­ние. Решим каж­дое из не­ра­венств ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

А)  Не­ра­вен­ство Решим урав­не­ние:

От­ме­тим най­ден­ные корни на чис­ло­вой пря­мой и рас­ста­вим знаки на по­лу­чив­ших­ся ин­тер­ва­лах:

Ре­ше­нию не­ра­вен­ства со­от­вет­ству­ет ва­ри­ант 1.

Б)  Не­ра­вен­ство Решим урав­не­ние:

От­ме­тим дан­ные ре­ше­ния на чис­ло­вой пря­мой и рас­ста­вим знаки на по­лу­чив­ших­ся ин­тер­ва­лах:

Ре­ше­нию не­ра­вен­ства со­от­вет­ству­ет ва­ри­ант 2.

В)  Не­ра­вен­ство Дробь не опре­де­ле­на при Кор­нем чис­ли­те­ля яв­ля­ет­ся От­ме­тим корни чис­ли­те­ля и зна­ме­на­те­ля на чис­ло­вой пря­мой, рас­ста­вим знаки на по­лу­чив­ших­ся ин­тер­ва­лах:

Ре­ше­нию не­ра­вен­ства со­от­вет­ству­ет ва­ри­ант 4.

Г)  Не­ра­вен­ство Дробь не опре­де­ле­на при Кор­нем чис­ли­те­ля яв­ля­ет­ся От­ме­тим корни чис­ли­те­ля и зна­ме­на­те­ля на чис­ло­вой пря­мой, рас­ста­вим знаки на по­лу­чив­ших­ся ин­тер­ва­лах:

Ре­ше­нию не­ра­вен­ства со­от­вет­ству­ет ва­ри­ант 3.

Ответ: 1243.

Ре­ше­ние. Число де­лит­ся на 5, зна­чит, его по­след­няя цифра или 0, или 5. Но так как при за­пи­си в об­рат­ном по­ряд­ке цифры также об­ра­зу­ют четырёхзнач­ное число, то эта цифра 5, ибо число не может на­чи­нать­ся с 0. Пусть число имеет вид Тогда усло­вие можно за­пи­сать так:

Вто­рое сла­га­е­мое в левой части де­лит­ся на 10. Зна­чит, за раз­ряд еди­ниц в сумме от­ве­ча­ет толь­ко пер­вое сла­га­е­мое. То есть оста­ток от де­ле­ния на 10 равен 8, от­ку­да Под­ста­вив по­лу­чен­ное зна­че­ние в урав­не­ние, по­лу­чим, что то есть Пе­ре­брав все пары b и c, ко­то­рые яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем этого ра­вен­ства, вы­пи­шем все числа, яв­ля­ю­щи­е­ся от­ве­том: 7065, 7175, 7285, 7395.

Ответ: 7065, или 7175, или 7285, или 7395.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что по усло­вию из пер­во­го числа вы­чи­та­ет­ся вто­рое, сле­до­ва­тель­но, ис­ход­ное число долж­но быть боль­ше, чем число, по­лу­чен­ное в ре­зуль­та­те за­пи­си его цифр в об­рат­ном по­ряд­ке. По­это­му, на­при­мер, число 3825 не под­хо­дит: для него ре­зуль­тат 1458 по­лу­ча­ет­ся, если из числа с циф­ра­ми, за­пи­сан­ны­ми в об­рат­ном по­ряд­ке, вы­честь ис­ход­ное число.

Ре­ше­ние. Пусть масса 30-⁠про­цент­но­го рас­тво­ра кис­ло­ты  — кг, а масса 60-⁠про­цент­но­го  — Если сме­шать 30-⁠про­цент­ный и 60-⁠про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вить 10 кг чи­стой воды, по­лу­чит­ся 36-⁠про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты: Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-⁠про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 41-⁠про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты: Решим по­лу­чен­ную си­сте­му урав­не­ний:

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Пусть Ни­ко­ла сде­лал сна­ча­ла x опе­ра­ций вто­ро­го типа, а затем y опе­ра­ций пер­во­го типа. Тогда имеем:

Тогда се­реб­ря­ных монет стало на боль­ше, то есть на 10 мень­ше.

При­ве­дем при­ме­ча­ние Марии Ва­си­льев­ны.

По­ря­док со­вер­ше­ния опе­ра­ций не важен. Важно толь­ко, что на­чать Ни­ко­ла дол­жен был с опе­ра­ции вто­ро­го типа, по­то­му что у него были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. Потом он мог де­лать опе­ра­ции пер­во­го и вто­ро­го типа в любом по­ряд­ке, но при этом опе­ра­ции пер­во­го типа  — толь­ко по мере по­яв­ле­ния у него зо­ло­тых монет.