Ре­ше­ние. По­сколь­ку на 10 че­ло­век сле­ду­ет взять 0,1 фунта чер­но­сли­ва, на од­но­го че­ло­ве­ка сле­ду­ет взять 0,01 фунта чер­но­сли­ва. Тогда на трех че­ло­век по­тре­бу­ет­ся 0,03 фунта чер­но­сли­ва, что со­став­ля­ет 0,03 · 0,4  =  0,012 кг, или 12 грам­мов.

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Пло­щадь рес­пуб­ли­ки Ка­ре­лия огром­на и впол­не может быть 180,5 тыс. кв. км., пло­щадь бад­мин­тон­ной пло­щад­ки около 81,7 кв. м., пло­щадь стра­ни­цы учеб­ни­ка ори­ен­ти­ро­воч­но 330 кв. см., а пло­щадь мо­не­ты на глаз около 300 кв. мм. По­лу­чим со­от­вет­ствие: Б  — 3, Г  — 1, А  — 2, В  — 4. Окон­ча­тель­но по­лу­чим 2341.

Ответ: 2341.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что сила на­тя­же­ния до­сти­га­ет 150 кгс при угле на­кло­на 45 гра­ду­сов.

Ответ: 45.

Ре­ше­ние. Вы­ра­зим из дан­ной фор­му­лы :

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

Ответ: 0,8.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим «1» ту сто­ро­ну мо­не­ты, ко­то­рая от­ве­ча­ет за вы­иг­рыш жре­бия «Фи­зи­ком», дру­гую сто­ро­ну мо­не­ты обо­зна­чим «0». Тогда бла­го­при­ят­ных ком­би­на­ций три  — 110, 101, 011, а всего ком­би­на­ций 2³  =  8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Таким об­ра­зом, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Ответ: 0,375.

Ре­ше­ние. Общая пло­щадь стек­ла равна 48 · 0,25  =  12 м². Рас­смот­рим раз­лич­ные ва­ри­ан­ты.

Сто­и­мость за­ка­за в фирме А скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти стек­ла 420 · 12  =  5040 руб. и сто­и­мо­сти его резки и шли­фов­ки 75 48  =  3600 руб. и равна 8640 руб.

Сто­и­мость за­ка­за в фирме Б скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти стек­ла 440 · 12  =  5280 руб. и сто­и­мо­сти его резки и шли­фов­ки 65 · 48  =  3120 руб. и равна 8400 руб.

Сто­и­мость за­ка­за в фирме В скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти стек­ла 470 · 12  =  5640 руб. и сто­и­мо­сти его резки и шли­фов­ки 55 · 48  =  2640 руб. и равна 8280 руб.

Сто­и­мость са­мо­го де­ше­во­го за­ка­за со­ста­вит 8280 руб­лей.

Ответ: 8280.

Ре­ше­ние. Если функ­ция воз­рас­та­ет, то про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на и на­о­бо­рот.

На ин­тер­ва­ле зна­че­ния функ­ции по­ло­жи­тель­ны в каж­дой точке ин­тер­ва­ла.

На ин­тер­ва­ле зна­че­ния про­из­вод­ной функ­ции от­ри­ца­тель­ны в каж­дой точке ин­тер­ва­ла.

На ин­тер­ва­ле зна­че­ния функ­ции от­ри­ца­тель­ны в каж­дой точке ин­тер­ва­ла.

На ин­тер­ва­ле зна­че­ния про­из­вод­ной функ­ции по­ло­жи­тель­ны в каж­дой точке ин­тер­ва­ла.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие: А  — 1, Б  — 4, В  — 3, Г  — 2.

Ответ: 1432.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1.  Верно со­глас­но усло­вию.

2.  Верно со­глас­но усло­вию.

3.  Не­вер­но, по­сколь­ку в доме Маши мень­ше эта­жей, чем в доме Стаса, а в доме Ксюши боль­ше эта­жей, чем в доме Стаса, сле­до­ва­тель­но, три этих дома имеют раз­ное ко­ли­че­ство эта­жей, что опро­вер­га­ет утвер­жде­ние о том, что среди че­ты­рех домов есть три дома с оди­на­ко­вым ко­ли­че­ством эта­жей.

4.  Не­вер­но, по­сколь­ку в доме Нади боль­ше эта­жей, чем в доме Маши, сле­до­ва­тель­но, дом Нади не яв­ля­ет­ся самым ма­ло­этаж­ным среди всех домов.

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту. По­это­му

Ответ: 17,5.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что дан­ная кон­струк­ция пред­став­ля­ет собой тра­пе­цию, а столб  — сред­няя линия дан­ной тра­пе­ции. Длина сред­ней линии тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний:

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Объем де­та­ли равен объ­е­му вы­тес­нен­ной ею жид­ко­сти. После по­гру­же­ния де­та­ли в воду объём стал равен 12 · 1,5  =  18 лит­ров, по­это­му объём де­та­ли равен 18 − 12 = 6 л = 6000 см³.

Ответ: 6000.

Ре­ше­ние. Сред­няя линия в тре­уголь­ни­ке равно по­ло­ви­не сто­ро­ны, ко­то­рой она па­рал­лель­на. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шая сред­няя линия па­рал­лель­на ги­по­те­ну­зе и равна её по­ло­ви­не. Длина ги­по­те­ну­зы равна: Зна­чит, наи­боль­шая сред­няя линия тре­уголь­ник равна 5.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Объём ко­ну­са вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле от­ку­да

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним дей­ствия:

Ответ: 4,3.

Ре­ше­ние. Цена на фут­бол­ку была сни­же­на на 800 − 680  =  120 руб­лей. Раз­де­лим 120 на 800:

Зна­чит, цена на фут­бол­ку была сни­же­на на 15%.

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 80.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние.   — это число мень­ше 1 при­бли­зи­тель­но. Оце­ним осталь­ные числа:

1)   сле­до­ва­тель­но, это точка D;

2)   сле­до­ва­тель­но, это точка А;

3)   сле­до­ва­тель­но, это точка С;

4)   сле­до­ва­тель­но, это точка В.

Ответ: 2431.

Ре­ше­ние. Если хотя бы одна цифра в за­пи­си числа  — нуль, то про­из­ве­де­ние цифр равно 0, и тогда их сумма равна 1. Един­ствен­ное такое четырёхзнач­ное число  — 1000, но оно не крат­но 19. По­это­му нулей среди цифр нет. От­сю­да сле­ду­ет, что все цифры не мень­ше 1 и их сумма не мень­ше четырёх, а зна­чит, про­из­ве­де­ние цифр не мень­ше трёх. Чтобы про­из­ве­де­ние было не мень­ше трёх, хотя бы одна из цифр долж­на быть боль­ше 1. Рас­смот­рим такие числа в по­ряд­ке воз­рас­та­ния суммы их цифр.

Если сумма цифр равна 5, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной двой­кой и тремя еди­ни­ца­ми (это числа 1112, 1121, 1211, 2111). Про­из­ве­де­ние цифр равно 2, по­это­му они не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию.

Если сумма цифр равна 6, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной трой­кой и тремя еди­ни­ца­ми или двумя двой­ка­ми и двумя еди­ни­ца­ми (это числа 1113, 1131, 1311, 3111, 1122, 1212, ...). Про­из­ве­де­ние цифр равно 3 или 4 со­от­вет­ствен­но, по­это­му такие числа не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию.

Если сумма цифр равна 7, то про­из­ве­де­ние долж­но быть равно 6. Это вы­пол­не­но для чисел, за­пи­сы­ва­е­мых трой­кой, двой­кой и двумя еди­ни­ца­ми. По­сколь­ку число 3211 крат­но 19, оно и яв­ля­ет­ся ис­ко­мым.

Ответ: 3211.

При­ме­ча­ние.

Четырёхзнач­ное число, об­ла­да­ю­щее тре­бу­е­мы­ми свой­ства­ми, един­ствен­но. По­ка­жем это, при­ве­дя дру­гое ре­ше­ние.

При­ведём ре­ше­ние Дмит­рия Му­хи­на (Москва).

Пусть a, b, c, d  — цифры числа и пусть а самая боль­шая из них (по­ря­док цифр не важен). По­ка­жем, что про­из­ве­де­ние мень­ших цифр не боль­ше четырёх. Дей­стви­тель­но, из ра­вен­ства a + b + c + d  =  1 + abcd по­лу­ча­ем 4a ≥ abcd + 1. Деля на наи­боль­шую цифру a, по­лу­ча­ем, что bcd < 4.

Рас­смот­рим те­перь сле­ду­ю­щие слу­чаи.

1.  Пусть среди чисел b, c, d есть нуль, тогда по­сколь­ку a + b + c + d  =  1, это число 1000, но оно на 19 не де­лит­ся. Итак, все три мень­шие цифры числа от­лич­ны от нуля.

2.  Пусть все три мень­шие цифры равны еди­ни­це, тогда a + 3  =  a + 1. Этот слу­чай не­воз­мо­жен.

3.  Пусть мень­шие цифры  — это две еди­ни­цы и двой­ка. Тогда a + 4  =  2a + 1, от­ку­да a  =  3. Пе­ре­би­рая 12 чисел, со­став­лен­ных из цифр 1, 1, 2, 3, на­хо­дим, что из них крат­но 19 толь­ко число 3211. Оно и яв­ля­ет­ся от­ве­том.

4.  Пусть мень­шие цифры  — это две еди­ни­цы и трой­ка. Тогда a + 5  =  3a + 1. От­сю­да a  =  2, но тогда a не наи­боль­шая цифра. Про­ти­во­ре­чие.

По­сколь­ку bcd < 4, дру­гих ва­ри­ан­тов нет. Ис­ко­мое число един­ствен­но, оно равно 3211.

Ре­ше­ние. Пусть масса пер­во­го спла­ва кг, а масса вто­ро­го  —  кг. Тогда мас­со­вое со­дер­жа­ние ни­ке­ля в пер­вом и вто­ром спла­вах и со­от­вет­ствен­но. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 200 кг, со­дер­жа­щий 25% ни­ке­ля. По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Таким об­ра­зом, пер­вый сплав легче вто­ро­го на 100 ки­ло­грам­мов.

Ответ: 100.

Ре­ше­ние. В квар­ти­ре могут жить один, два, три или че­ты­ре че­ло­ве­ка. В квар­ти­рах с 1-⁠й по 12-⁠ю вклю­чи­тель­но живёт сум­мар­но 14 че­ло­век, сле­до­ва­тель­но, в 10 квар­ти­рах живёт по од­но­му че­ло­ве­ку, а в остав­ших­ся двух квар­ти­рах живёт сум­мар­но 4 че­ло­ве­ка. В квар­ти­рах с 11-⁠й по 14-⁠ю вклю­чи­тель­но живёт сум­мар­но 12 че­ло­век, сле­до­ва­тель­но, в двух квар­ти­рах живёт по два че­ло­ве­ка, а в остав­ших­ся живёт сум­мар­но 8 че­ло­век. Рас­смот­рен­ные мно­же­ства квар­тир пе­ре­се­ка­ют­ся по квар­ти­рам 11 и 12, зна­чит, имен­но в квар­ти­рах 11 и 12 в сумме живёт 4 че­ло­ве­ка. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что всего в доме живёт 10 · 1 + 4 + 4 · 2  =  22 че­ло­ве­ка.

Ответ: 22.