Ре­ше­ние. Пе­ри­метр ком­на­ты равен 2,3 + 4,1 + 2,3 + 4,1  =  12,8 м. По­сколь­ку 12,8 : 1,6  =  8, для оклей­ки ком­на­ты до­ста­точ­но 8 ру­ло­нов обоев.

Ответ: 8.

При­ме­ча­ние.

В дей­стви­тель­но­сти ком­на­ты имеют двери и окна, раз­ме­ры ко­то­рых не­об­хо­ди­мо при­ни­мать во вни­ма­ние.

Ре­ше­ние. Упо­ря­до­чим от боль­ше­го к мень­ше­му: объем воды воды в Азов­ском море огро­мен и впол­не может быть 256 км³, объем гру­зо­во­го от­се­ка транс­порт­но­го са­мо­ле­та  — около 150 м³, объем ящика с ин­стру­мен­та­ми  — ори­ен­ти­ро­воч­но 76 л, объем бу­тыл­ки рас­ти­тель­но­го масла  — обыч­но литр. По­лу­чи­ли со­от­вет­ствие: А  — 4, Б  — 3, В  — 1, Г  — 2. Окон­ча­тель­но по­лу­чим: 4312.

Ответ: 4312.

Ре­ше­ние. Для того, чтобы кру­тя­щий мо­мент был не мень­ше 120 Н · м число обо­ро­тов дви­га­те­ля в ми­ну­ту n долж­но быть не мень­ше 2000 и не боль­ше 5000 (см. гра­фик). По­это­му ис­ко­мая наи­мень­шая ско­рость опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле υ = 0,036 · 2000  =  72 км/⁠ч.

Ответ: 72.

Ре­ше­ние. Под­ста­вим в фор­му­лу из­вест­ные зна­че­ния ве­ли­чин:

Ответ: 3,2.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся в пер­вом ав­то­ма­те, равна 1 − 0,3  =  0,7. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся во вто­ром ав­то­ма­те, равна 1 − 0,3  =  0,7. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся хотя бы в одном ав­то­ма­те, равна 1 − 0,12  =  0,88. По­сколь­ку P(A + B)  =  P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88  =  0,7 + 0,7 − х, от­ку­да ис­ко­мая ве­ро­ят­ность х  =  0,52.

Ответ: 0,52.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Рас­смот­рим со­бы­тия:

Тогда

По усло­вию P(A)  =  P(B)  =  0,3; P(A·B)  =  0,12. Со­бы­тия A и B сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность суммы двух сов­мест­ных со­бы­тий равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния:

Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 1 − 0,48  =  0,52.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что со­бы­тия А и В не яв­ля­ют­ся не­за­ви­си­мы­ми. Дей­стви­тель­но, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий была бы равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P(A·B)  =  0,3·0,3  =  0,09, од­на­ко по усло­вию эта ве­ро­ят­ность равна 0,12.

Ре­ше­ние. Пер­вые экс­кур­сии на­чи­на­ют­ся в 9:00, а по­след­ние за­кан­чи­ва­ют­ся в 19:00. Зна­чит, у ту­ри­ста всего 10 часов. Если он вы­бе­рет ше­стую экс­кур­сию, то на тре­тью экс­кур­сию вре­ме­ни уже не хва­тит, а вот если вы­бе­рет пятую, то впол­не успе­ва­ет и на первую. Таким об­ра­зом, 5 и 1 (9:00–15:00  — экс­кур­сия 5, 15:00–19:00  — экс­кур­сия 1).

При вы­бо­ре чет­вер­той успе­ва­ет толь­ко на вто­рую. Таким об­ра­зом, 2 и 4 (на­при­мер, 9:00–13:00  — экс­кур­сия 2, 14:00–19:00  — экс­кур­сия 4). При вы­бо­ре тре­тьей по­смот­реть три до­сто­при­ме­ча­тель­но­сти никак не успе­ет.

Ответ: 51, или 24, или 42.

Ре­ше­ние. Если функ­ция воз­рас­та­ет, то про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на и на­о­бо­рот.

На ин­тер­ва­ле зна­че­ния функ­ции по­ло­жи­тель­ны в каж­дой точке ин­тер­ва­ла.

На ин­тер­ва­ле зна­че­ния про­из­вод­ной функ­ции от­ри­ца­тель­ны в каж­дой точке ин­тер­ва­ла.

На ин­тер­ва­ле зна­че­ния функ­ции от­ри­ца­тель­ны в каж­дой точке ин­тер­ва­ла.

На ин­тер­ва­ле зна­че­ния про­из­вод­ной функ­ции по­ло­жи­тель­ны в каж­дой точке ин­тер­ва­ла.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие: А  — 1, Б  — 4, В  — 3, Г  — 2.

Ответ: 1432.

Ре­ше­ние. 1.  Штраф можно по­лу­чить не толь­ко за про­езд на крас­ный свет.

2.  Воз­мож­но, вы про­еха­ли на крас­ный свет, но ин­спек­то­ра рядом не было.

3.  Оштра­фо­вать могут не толь­ко за про­езд на крас­ный свет.

4.  Если вы про­еха­ли на крас­ный свет и ин­спек­тор это за­ме­тил, то вас не­ми­ну­е­мо оштра­фу­ют, не­за­ви­си­мо от того, пристёгнуты вы или нет.

Таким об­ра­зом, вер­ным яв­ля­ет­ся утвер­жде­ние 4.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Уча­сток, изоб­ра­жен­ный на плане, пред­став­ля­ет собой па­рал­ле­ло­грамм. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию его ос­но­ва­ния на вы­со­ту. Таким об­ра­зом, пло­щадь участ­ка равна 7 · 5  =  35 м².

Ответ: 35.

Ре­ше­ние. Пло­щадь каж­до­го из участ­ков равна 35 · 40  =  1400 кв. м, а пло­щадь пруда равна 20 · 14  =  280 кв. м. На каж­дом участ­ке на­хо­дит­ся по­ло­ви­на пруда, за­ни­мая 140 кв. м. По­это­му пло­щадь остав­шей­ся части каж­до­го из участ­ков равна 1400 − 140  =  1260 кв. м.

Ответ: 1260.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пло­щадь участ­ка каж­до­го са­до­во­да 35 · 40  =  1400 кв. м. Пло­щадь двух участ­ков 1400 · 2  =  2800 кв. м. Пло­щадь пруда 20 · 14  =  280 кв. м. Тогда остав­ша­я­ся пло­щадь двух участ­ков 2800 − 280  =  2520 кв. м. Пло­щадь остав­ше­го­ся участ­ка каж­до­го са­до­во­да 2520 : 2  =  1260 кв. м.

Ре­ше­ние. Мень­ший конус по­до­бен боль­ше­му с ко­эф­фи­ци­ен­том 0,5. Объ­е­мы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му объем боль­ше­го ко­ну­са в 8 раз боль­ше объ­е­ма мень­ше­го ко­ну­са, он равен 560 мл. Сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо до­лить 560 − 70  =  490 мл жид­ко­сти.

Ответ: 490.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой: Со­глас­но усло­вию: Тогда:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Тре­уголь­ни­ки ABC и МВК имеют общий угол B, по­это­му пло­ща­ди этих тре­уголь­ни­ков от­но­сят­ся как про­из­ве­де­ния сто­рон, за­клю­ча­ю­щих этот угол:

Ответ: 2,5.

Ре­ше­ние. Найдём пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды:

Те­перь можем найти объём пи­ра­ми­ды DABC:

Ответ: 55.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним дей­ствия в зна­ме­на­те­ле:

Раз­де­лим чис­ли­тель ис­ход­ной дроби на най­ден­ный зна­ме­на­тель:

Ре­ше­ние. Чис­лен­ность детей в го­ро­де N со­став­ля­ет 200 000 · 0,15  =  30 000. Чис­лен­ность взрос­ло­го на­се­ле­ния 200 000 − 30 000  =  170 000 че­ло­век. Из них не ра­бо­та­ет 170 000 · 0,45  =  76 500 че­ло­век. Зна­чит, ра­бо­та­ет 170 000 − 76 500  =  93 500 че­ло­век.

Ответ: 93 500.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 27.

Ре­ше­ние. Найдём ко­рень урав­не­ния:

Ответ: 22,4.

Ре­ше­ние. Решим каж­дое из не­ра­венств ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

А)  Не­ра­вен­ство Решим урав­не­ние:

От­ме­тим най­ден­ные корни на чис­ло­вой пря­мой и рас­ста­вим знаки на по­лу­чив­ших­ся ин­тер­ва­лах:

Ре­ше­нию не­ра­вен­ства со­от­вет­ству­ет ва­ри­ант 1.

Б)  Не­ра­вен­ство Решим урав­не­ние:

От­ме­тим дан­ные ре­ше­ния на чис­ло­вой пря­мой и рас­ста­вим знаки на по­лу­чив­ших­ся ин­тер­ва­лах:

Ре­ше­нию не­ра­вен­ства со­от­вет­ству­ет ва­ри­ант 2.

В)  Не­ра­вен­ство Дробь не опре­де­ле­на при Кор­нем чис­ли­те­ля яв­ля­ет­ся От­ме­тим корни чис­ли­те­ля и зна­ме­на­те­ля на чис­ло­вой пря­мой, рас­ста­вим знаки на по­лу­чив­ших­ся ин­тер­ва­лах:

Ре­ше­нию не­ра­вен­ства со­от­вет­ству­ет ва­ри­ант 4.

Г)  Не­ра­вен­ство Дробь не опре­де­ле­на при Кор­нем чис­ли­те­ля яв­ля­ет­ся От­ме­тим корни чис­ли­те­ля и зна­ме­на­те­ля на чис­ло­вой пря­мой, рас­ста­вим знаки на по­лу­чив­ших­ся ин­тер­ва­лах:

Ре­ше­нию не­ра­вен­ства со­от­вет­ству­ет ва­ри­ант 3.

Ответ: 1243.

Ре­ше­ние. Число де­лит­ся на 5, зна­чит, его по­след­няя цифра или 0, или 5. Но так как при за­пи­си в об­рат­ном по­ряд­ке цифры также об­ра­зу­ют четырёхзнач­ное число, то эта цифра 5, ибо число не может на­чи­нать­ся с 0. Пусть число имеет вид Тогда усло­вие можно за­пи­сать так:

Вто­рое сла­га­е­мое в левой части де­лит­ся на 10. Зна­чит, за раз­ряд еди­ниц в сумме от­ве­ча­ет толь­ко пер­вое сла­га­е­мое. То есть оста­ток от де­ле­ния на 10 равен 8, от­ку­да Под­ста­вив по­лу­чен­ное зна­че­ние в урав­не­ние, по­лу­чим, что то есть Пе­ре­брав все пары b и c, ко­то­рые яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем этого ра­вен­ства, вы­пи­шем все числа, яв­ля­ю­щи­е­ся от­ве­том: 7065, 7175, 7285, 7395.

Ответ: 7065, или 7175, или 7285, или 7395.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что по усло­вию из пер­во­го числа вы­чи­та­ет­ся вто­рое, сле­до­ва­тель­но, ис­ход­ное число долж­но быть боль­ше, чем число, по­лу­чен­ное в ре­зуль­та­те за­пи­си его цифр в об­рат­ном по­ряд­ке. По­это­му, на­при­мер, число 3825 не под­хо­дит: для него ре­зуль­тат 1458 по­лу­ча­ет­ся, если из числа с циф­ра­ми, за­пи­сан­ны­ми в об­рат­ном по­ряд­ке, вы­честь ис­ход­ное число.

Ре­ше­ние. Пусть цена хо­ло­диль­ни­ка еже­год­но сни­жа­лась на p про­цен­тов в год. Тогда за два года она сни­зи­лась на от­ку­да имеем:

Ответ: 11.

Ре­ше­ние. Если рас­пи­лить палку по крас­ным ли­ни­ям, то по­лу­чит­ся 15 кус­ков, сле­до­ва­тель­но, линий  — 14. Если рас­пи­лить палку по жел­тым  — 5 кус­ков, сле­до­ва­тель­но, линий  — 4. Если рас­пи­лить по зе­ле­ным  — 7 кус­ков, линий  — 6. Всего линий: 14 + 4 + 6  =  24 линии, сле­до­ва­тель­но, кус­ков будет 25.

При­ме­ча­ние.

В усло­вии под­ра­зу­ме­ва­ет­ся, что линии раз­ных цве­тов не могут сов­па­дать.