Ре­ше­ние. Олег за­пла­тил руб­лей за 2 ки­ло­грам­ма мор­ко­ви. Зна­чит, он дол­жен по­лу­чить руб­лей сдачи.

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Упо­ря­до­чим ве­ли­чи­ны по убы­ва­нию раз­ме­ров: озеро, бас­сейн, ящик, пакет; 23 615,39 куб. км, 600 куб. м, 72 л, 1 л. От­сю­да на­хо­дим со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми: А—2, Б—1, В—4, Г—3.

Ре­ше­ние. На диа­грам­ме видно, что наи­боль­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра в пе­ри­од с ян­ва­ря по май 1999 года была в мае и со­став­ля­ла 12 гра­ду­сов Цель­сия.

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Вы­ра­зим m и под­ста­вим зна­че­ния в фор­му­лу:

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Всего в се­ми­на­ре при­ни­ма­ет уча­стие 3 + 3 + 4  =  10 уче­ных, зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что уче­ный, ко­то­рый вы­сту­па­ет вось­мым, ока­жет­ся из Рос­сии, равна 3 : 10  =  0,3.

Ответ: 0,3.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим все слу­чаи.

Ско­рость ин­тер­не­та Васи со­став­ля­ет  Мб/⁠с.

Ско­рость ин­тер­не­та Пети со­став­ля­ет  Мб/⁠с.

Ско­рость ин­тер­не­та Миши со­став­ля­ет  Мб/⁠с.

По­сколь­ку с наи­боль­шей ско­ро­стью может ска­чать файл Миша. На ска­чи­ва­ние 665 Мб ему по­на­до­бит­ся

Ответ: 560.

Ре­ше­ние. А)  1–7 ян­ва­ря: из гра­фи­ка видно, что во вто­рой по­ло­ви­не не­де­ли сред­не­су­точ­ная тем­пе­ра­ту­ра не из­ме­ня­лась  — ва­ри­ант 2.

Б)  8–14 ян­ва­ря: из гра­фи­ка видно, что сред­не­су­точ­ная тем­пе­ра­ту­ра до­стиг­ла ме­сяч­но­го мак­си­му­ма (1 ° C)  — ва­ри­ант 4.

В)  15–21 ян­ва­ря: из гра­фи­ка видно, что сред­не­су­точ­ная тем­пе­ра­ту­ра до­стиг­ла ме­сяч­но­го ми­ни­му­ма (−15 ° C)  — ва­ри­ант 3.

Г)  22–28 ян­ва­ря: из гра­фи­ка видно, что в конце не­де­ли на­блю­дал­ся рост сред­не­су­точ­ной тем­пе­ра­ту­ры  — ва­ри­ант 1.

Ответ: 2431.

Ре­ше­ние. К < М < А.

1.  Не­вер­но, воз­мож­на си­ту­а­ция, когда де­воч­ка стар­ше Кати на один год, а Маша стар­ше Кати на два года.

2.  Верно, так как все осталь­ные стар­ше неё.

3.  Верно, по­сколь­ку Маша стар­ше Кати на два года.

4.  Не­вер­но, Катя  — самая млад­шая из ука­зан­ных де­во­чек, а Алиса  — самая стар­шая.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тра­пе­ции равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го квад­ра­та, ма­лень­ко­го квад­ра­та и трех пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го четырёхуголь­ни­ка. По­это­му

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Пло­щадь квад­ра­та равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, по­это­му пло­щадь во­лье­ра равна 12 · 12  =  144 кв. м. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины на ши­ри­ну, по­это­му пло­щадь участ­ка равна 30 · 20  =  600 кв. м. Таким об­ра­зом, пло­щадь остав­шей­ся части участ­ка равна 600 − 144  =  456 кв. м.

Ответ: 456.

Ре­ше­ние. Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен сумме объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­дов с реб­ра­ми 3, 3, 4 и 1, 1, 4:

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке углы при ос­но­ва­нии равны, по­это­му угол CAB равен углу CBA и равен 27°. Рас­смот­рим тре­уголь­ник ABH, он пря­мо­уголь­ный, сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90°, от­ку­да ∠BAH  =  90° − 27°  =  63°. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол CAH равен 63° − 27°  =  36°.

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. С по­мо­щью тео­ре­мы Пи­фа­го­ра найдём вы­со­ту грани пи­ра­ми­ды (h₁):

Также с по­мо­щью тео­ре­мы Пи­фа­го­ра найдём вы­со­ту пи­ра­ми­ды (h₂):

Найдём пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды:

Найдём объём пи­ра­ми­ды:

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: −4,9.

Ре­ше­ние. Скид­ка на по­куп­ку со­ста­вит 200 · 0,05  =  10 руб­лей. Зна­чит, дер­жа­тель дис­конт­ной карты за­пла­тит за книгу 200 − 10  =  190 руб­лей.

Ответ: 190.

Ре­ше­ние.

Ответ: 49.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 8,75.

Ре­ше­ние. Учи­ты­ва­ем ОДЗ для ло­га­риф­ма во всех слу­ча­ях:

А) сле­до­ва­тель­но, ва­ри­ант 2.

Б) сле­до­ва­тель­но, ва­ри­ант 4.

В) сле­до­ва­тель­но, ва­ри­ант 3.

Г) сле­до­ва­тель­но, ва­ри­ант 1.

Ответ: 2431.

Ре­ше­ние. Пусть число A имеет вид Если то сумма цифр в новом числе будет на 6 боль­ше, чем в ис­ход­ном. Пусть A де­лит­ся на 12, тогда то есть число не де­лит­ся на 12. Ана­ло­гич­но, если число де­лит­ся на 12, то число A не де­лит­ся на 12. Зна­чит, Рас­смот­рим три слу­чая.

1.   Число имеет вид: сумма цифр числа на 3 мень­ше суммы цифр числа

2.   Число имеет вид: сумма цифр числа на 12 мень­ше суммы цифр числа

3.   Число имеет вид: сумма цифр числа на 21 мень­ше суммы цифр числа

Ясно, что усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа, рас­смот­рен­ные в пунк­те 2. Под­берём число A так, чтобы сумма его цифр де­ли­лась на 12. Наи­мень­шее воз­мож­ное A, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­ви­ям за­да­чи,  — 699. Дей­стви­тель­но, сумма его цифр 6 + 9 + 9  =  24 де­лит­ся на 12; число (А + 6) равно 699 + 6  =  705, его сумма цифр 7 + 5  =  12 также де­лит­ся на 12.

Ответ: 699.

При­ме­ча­ние.

Об­ра­тим вни­ма­ние чи­та­те­лей на то, что на 12 долж­на де­лить­ся сумма цифр числа A, а также сумма цифр числа (А + 6). Сами числа A и (А + 6) при этом могут быть не крат­ны 12.

Ре­ше­ние. Пусть км/ч  — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу пер­вым, тогда ско­рость вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста  — Пер­вый ве­ло­си­пе­дист при­был к фи­ни­шу на 1 час рань­ше вто­ро­го, от­сю­да имеем:

Зна­чит, пер­вым фи­ни­ши­ро­вал ве­ло­си­пе­дист, дви­гав­ший­ся со ско­ро­стью 16 км/⁠ч.

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. Пусть α — ве­ли­чи­на наи­мень­ше­го угла, β — ве­ли­чи­на сред­не­го угла, тогда 2α — ве­ли­чи­на наи­боль­ше­го угла. Пол­ный угол равен 360°, сле­до­ва­тель­но, от­ку­да Сред­ний угол дол­жен быть боль­ше мень­ше­го угла и мень­ше боль­ше­го, то есть:

Угол α при­ни­ма­ет толь­ко зна­че­ния, из­ме­ря­е­мые целым чис­лом гра­ду­сов. В диа­па­зо­не от 72 до 90 гра­ду­сов таких зна­че­ний 17 (не вклю­чая 72 и 90 гра­ду­сов). Сле­до­ва­тель­но, угол β тоже может при­ни­мать 17 зна­че­ний.

Ответ: 17.