Ре­ше­ние. За пер­вый день улит­ка под­ни­мет­ся на 3 м и опу­стит­ся на 2 м. То есть к на­ча­лу сле­ду­ю­ще­го дня она ока­жет­ся на вы­со­те 1 м. На сле­ду­ю­щий день улит­ка вновь про­ползёт 3 м и за ночь опу­стит­ся на 2 м. Таким об­ра­зом, через семь дней и семь ночей улит­ка ока­жет­ся на вы­со­те 7 м, и за вось­мой день под­ни­мет­ся до вер­ши­ны де­ре­ва на вы­со­ту 10 м.

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Если рас­пи­лить палку по крас­ным ли­ни­ям, то по­лу­чит­ся 15 кус­ков, сле­до­ва­тель­но, линий  — 14. Если рас­пи­лить палку по жел­тым  — 5 кус­ков, сле­до­ва­тель­но, линий  — 4. Если рас­пи­лить по зе­ле­ным  — 7 кус­ков, линий  — 6. Всего линий: 14 + 4 + 6  =  24 линии, сле­до­ва­тель­но, кус­ков будет 25.

При­ме­ча­ние.

В усло­вии под­ра­зу­ме­ва­ет­ся, что линии раз­ных цве­тов не могут сов­па­дать.

Ре­ше­ние. Груз­дей мак­си­мум 16 (иначе можно было бы взять 17 груз­дей и усло­вие бы не вы­пол­ни­лось). Ры­жи­ков мак­си­мум 24 (иначе можно было бы взять 25 ры­жи­ков в на­ру­ше­ние усло­вия). Из­вест­но, что в кор­зи­не всего 40 гри­бов. По­это­му груз­дей ровно 16, а ры­жи­ков ровно 24.

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Две­на­дцать па­рал­ле­лей раз­де­ли­ли гло­бус на 13 ча­стей, сле­до­ва­тель­но, 13 · 22  =  286  — на столь­ко ча­стей раз­де­лят гло­бус 12 па­рал­ле­лей и 22 ме­ри­ди­а­на.

Ответ: 286.

Ре­ше­ние. Рас­по­ло­жим А, В, C, D вдоль коль­це­вой до­ро­ги по оче­ре­ди так, чтобы рас­сто­я­ния со­от­вет­ство­ва­ли дан­ным в усло­вии. Всё хо­ро­шо, кроме рас­сто­я­ния между D и A. Чтобы оно было таким, каким нужно, по­дви­нем D и по­ста­вим между B и A нуж­ным об­ра­зом. Тогда между B и C будет 15 км.

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. Пусть Ни­ко­ла сде­лал сна­ча­ла x опе­ра­ций вто­ро­го типа, а затем y опе­ра­ций пер­во­го типа. Тогда имеем:

Тогда се­реб­ря­ных монет стало на боль­ше, то есть на 10 мень­ше.

При­ве­дем при­ме­ча­ние Марии Ва­си­льев­ны.

По­ря­док со­вер­ше­ния опе­ра­ций не важен. Важно толь­ко, что на­чать Ни­ко­ла дол­жен был с опе­ра­ции вто­ро­го типа, по­то­му что у него были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. Потом он мог де­лать опе­ра­ции пер­во­го и вто­ро­го типа в любом по­ряд­ке, но при этом опе­ра­ции пер­во­го типа  — толь­ко по мере по­яв­ле­ния у него зо­ло­тых монет.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку в пер­вых 7 подъ­ез­дах не мень­ше 462 квар­тир, в каж­дом подъ­ез­де не мень­ше 462 : 7  =   66 квар­тир. Сле­до­ва­тель­но, на каж­дом из 7 эта­жей в подъ­ез­де не мень­ше 9 квар­тир.

Пусть на каж­дой лест­нич­ной пло­щад­ке по 9 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах всего 9 · 7 · 7  =  441 квар­ти­ра, и квар­ти­ра 462 ока­жет­ся в вось­мом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 10 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах 10 · 7 · 7  =  490 квар­тир, а в пер­вых шести  — 420. Сле­до­ва­тель­но, квар­ти­ра 462 на­хо­дит­ся в седь­мом подъ­ез­де. Она в нем 42-я по счету, по­сколь­ку на этаже по 10 квар­тир, она рас­по­ло­же­на на пятом этаже.

Если бы на каж­дой пло­щад­ке было по 11 квар­тир, то в пер­вых шести подъ­ез­дах ока­за­лось бы 11 · 7 · 6  =  462 квар­ти­ры, то есть 462 квар­ти­ра в ше­стом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Тем самым, Саша живёт на пятом этаже.

Ответ: 5.

При­ве­дем ре­ше­ние Марии Ва­си­льев­ны.

По­сколь­ку в пер­вых 7 подъ­ез­дах не мень­ше 462 квар­тир, в каж­дом подъ­ез­де не мень­ше 462 : 7  =   66 квар­тир. Дом се­ми­этаж­ный, на каж­дом этаже оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство квар­тир, сле­до­ва­тель­но, число квар­тир в подъ­ез­де долж­но быть крат­но 7.

Про­ве­рим числа, не мень­шие 66 и крат­ные 7.

Пусть в подъ­ез­де 70 квар­тир, тогда на каж­дом этаже 10 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах 10 · 7 · 7  =  490 квар­тир, а в пер­вых шести  — 420. Сле­до­ва­тель­но, квар­ти­ра 462 на­хо­дит­ся в седь­мом подъ­ез­де. Она в нем 42-ая по счету, по­сколь­ку на этаже по 10 квар­тир, она рас­по­ло­же­на на пятом этаже.

Убе­дим­ся, что дру­гие ва­ри­ан­ты не­воз­мож­ны. Если в подъ­ез­де 77 квар­тир или боль­ше, то в пер­вых шести подъ­ез­дах ока­за­лось бы 77 · 6  =  462 квар­ти­ры или боль­ше, то есть 462 квар­ти­ра не будет на­хо­дить­ся в седь­мом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Сле­до­ва­тель­но, Саша живет на пятом этаже.

Ре­ше­ние. Число квар­тир, эта­жей и подъ­ез­дов может быть толь­ко целым чис­лом. За­ме­тим, что число 110 де­лит­ся на 2, 5 и 11. Сле­до­ва­тель­но, в доме долж­но быть 2 подъ­ез­да, 5 квар­тир на этаже и 11 эта­жей.

Ответ: 11.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что куз­не­чик может ока­зать­ся толь­ко в точ­ках с чётными ко­ор­ди­на­та­ми, по­сколь­ку число прыж­ков, ко­то­рое он де­ла­ет,  — чётно. Мак­си­маль­но куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках, мо­дуль ко­то­рых не пре­вы­ша­ет шести. Таким об­ра­зом, куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках: −6, −4, −2, 0, 2, 4 и 6; всего 7 точек.

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. За день улит­ка за­ползёт на 4 метра, а за ночь  — сползёт на 3 метра. Итого за сутки она за­ползёт на метр. За ше­сте­ро суток она под­ни­мет­ся на вы­со­ту шести мет­ров. И днём сле­ду­ю­ще­го, седь­мо­го дня она ока­жет­ся на вер­ши­не де­ре­ва.

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­ность цен за метр  — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с пер­вым чле­ном и раз­но­стью Сумма пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле В нашем слу­чае имеем:

Таким об­ра­зом, цена ра­бо­ты со­став­ля­ет 117 700 руб­лей.

Ответ: 117 700.

Ре­ше­ние. Пусть уче­ник дал x пра­виль­ных от­ве­тов, y не­пра­виль­ных от­ве­тов и на z во­про­сов не от­ве­тил. Тогда

За каж­дый пра­виль­ный ответ он по­лу­чал 7, за не­пра­виль­ный (−10), за не­осве­щен­ный во­прос  — 0 очков. По­это­му:

От­сю­да имеем:

Так как число де­лит­ся на 7, то и 10y де­лит­ся на 7. Рас­смот­рим два слу­чая.

Если тогда то есть Тогда из пер­во­го урав­не­ния:

Если тогда то есть ко­ли­че­ство пра­виль­но от­ве­чен­ных во­про­сов Это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Таким об­ра­зом, уче­ник пра­виль­но от­ве­тил на 16 во­про­сов.

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. Пусть сто­и­мость бу­тыл­ки x, сто­и­мость кваса за литр y. Имеем си­сте­му урав­не­ний:

Тогда бу­тыл­ка кваса объёмом 1,5 литра будет сто­ить 6 + 30 · 1,5  =  51 рубль.

Ответ: 51.

Ре­ше­ние. Уг­ло­вые клет­ки имеют по 2 со­се­да, таких кле­ток в таб­ли­це 4, зна­чит, всего пар 2 · 4  =  8. Край­ние клет­ки (не уг­ло­вые) имеют по 3 пары, таких кле­ток 16, зна­чит, всего пар 16 · 3  =  48. Все осталь­ные клет­ки имеют по 4 пары, таких кле­ток 36 − 4 − 16  =  16, то есть 64 пары. Всего имеем пар 8 + 48 + 64  =  120. В при­ве­ден­ных рас­че­тах все пары взяты два­жды (так как учи­ты­ва­лись все клет­ки). Таким об­ра­зом, уни­каль­ных пар 120 : 2  =  60. По­это­му пар бе­ло­го цвета 60 − 30 − 16  =  14.

Ответ: 14.

Ре­ше­ние. От каж­до­го стол­ба от­хо­дит по 4 про­во­да, сле­до­ва­тель­но, всего будет со­еди­не­ний. За­ме­тим, что каж­дые два стол­ба свя­за­ны одни про­во­дом, по­это­му между этими де­ся­тью стол­ба­ми будет про­тя­ну­то всего про­во­дов.

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Из числа 328 можно со­ста­вить числа 382, 238, 283, 832, 823. Числа 238 и 283 не под­хо­дят, по­сколь­ку они мень­ше числа 328. Номер пер­вой стра­ни­цы после вы­пав­ших ли­стов дол­жен быть нечётным, по­сколь­ку номер по­след­ней стра­ни­цы перед вы­пав­ши­ми ли­ста­ми чётный. Сле­до­ва­тель­но, нам под­хо­дит толь­ко число 823. Вы­чтем из числа 823 одну стра­ни­цу, по­сколь­ку стра­ни­ца 823 не вы­па­ла, а яв­ля­ет­ся пер­вой стра­ни­цей после вы­пав­ших ли­стов. Те­перь можно найти ко­ли­че­ство вы­пав­ших ли­стов:

Ответ: 247.

Ре­ше­ние. Коля сыг­рал 21 пар­тию, сле­до­ва­тель­но, всего было сыг­ра­но не менее 21 пар­тий. Из каж­дых двух пар­тий под­ряд Миша участ­во­вал хотя бы в одной, зна­чит, пар­тий было не более пар­тии. Сле­до­ва­тель­но, всего была сыг­ра­на 21 пар­тия, Коля играл в каж­дой из них. В 10 пар­ти­ях он встре­чал­ся с Мишей, а в остав­ших­ся 11 пар­ти­ях  — с Лёшей.

Ответ: 11.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим через x рас­сто­я­ние от на­ча­ла ленты до синей по­лос­ки, через y  — рас­сто­я­ние от синей по­лос­ки до крас­ной по­лос­ки, через z  — от крас­ной по­лос­ки до конца ленты. Из усло­вия, что если раз­ре­зать ленту по крас­ной по­лос­ке, то одна часть будет на 30 см длин­нее дру­гой по­лу­чим урав­не­ние Из усло­вия что если раз­ре­зать ленту по синей по­лос­ке, то одна часть будет на 50 см длин­нее дру­гой по­лу­чим урав­не­ние Решим си­сте­му урав­не­ний:

Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние между крас­ной и синей по­лос­ка­ми равно 40 см.

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. Каж­дый по­пе­реч­ный рас­пил до­бав­ля­ет один кусок к уже име­ю­щим­ся, сле­до­ва­тель­но, из­на­чаль­но было 16 − 11  =  5 досок.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Раз­ло­жим число 690 на мно­жи­те­ли так, чтобы по­лу­чив­ши­е­ся мно­жи­те­ли со­сто­я­ли толь­ко из чисел 2, 3, 4, 5 или чисел, в де­ся­тич­ной за­пи­си ко­то­рых есть толь­ко цифры 2, 3, 4, 5, и общее ко­ли­че­ство цифр в про­из­ве­де­нии было равно пяти: 690  =  2 · 5 · 23 · 3. Сле­до­ва­тель­но, учи­тель по­ста­вил Пете от­мет­ки 2, 5, 2, 3 и 3. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих оце­нок:

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. В квар­ти­ре могут жить один, два или три че­ло­ве­ка. В квар­ти­рах с 1-⁠й по 12-⁠ю вклю­чи­тель­но живёт сум­мар­но 14 че­ло­век, сле­до­ва­тель­но, в 10 квар­ти­рах живёт по од­но­му че­ло­ве­ку, а в остав­ших­ся двух квар­ти­рах живёт сум­мар­но 4 че­ло­ве­ка. В квар­ти­рах с 11-⁠й по 15-⁠ю вклю­чи­тель­но живёт сум­мар­но 13 че­ло­век, сле­до­ва­тель­но, в трёх квар­ти­рах живёт по три че­ло­ве­ка, а в остав­ших­ся двух живёт сум­мар­но 4 че­ло­ве­ка. Рас­смот­рен­ные мно­же­ства квар­тир пе­ре­се­ка­ют­ся по квар­ти­рам 11 и 12, зна­чит, имен­но в квар­ти­рах 11 и 12 в сумме живёт 4 че­ло­ве­ка. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что всего в доме живёт 10 · 1 + 4 + 3 · 3  =  23 че­ло­век.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. Че­ты­ре стра­ны по­ста­ви­ли 4 · 5  =  20 под­пи­сей. А остав­ши­е­ся шесть стран по­ста­ви­ли 6 · 3  =  18 под­пи­сей. Ясно, что до­го­во­ров в два раза мень­ше, чем общее ко­ли­че­ство под­пи­сей, то есть всего до­го­во­ров было 

Ответ: 19.

При­ме­ча­ние.

Не­ис­ку­шен­ный чи­та­тель может пред­ло­жить не­пра­виль­ное ре­ше­ние: 4 стра­ны под­пи­са­ли до­го­вор с пятью стра­на­ми, всего 20 до­го­во­ров; 6 стран с ещё тремя стра­на­ми  — ещё 18 до­го­во­ров. Итого 38 до­го­во­ров. Ошиб­ка в дан­ном рас­суж­де­нии со­сто­ит в сле­ду­ю­щем: на­бо­ры 4 + 5 и 6 + 3 за­ви­си­мы: «три стра­ны» из вто­ро­го на­бо­ра  — это какие-⁠то из стран, уже учтен­ных в пер­вом на­бо­ре.

От­ме­тим также, что при не­ко­то­рых чис­ло­вых дан­ных усло­вие за­да­чи не­вы­пол­ни­мо, од­на­ко про­ве­рять кор­рект­ность усло­вий на эк­за­ме­не не тре­бу­ет­ся.

Ре­ше­ние. За один обмен ко­ли­че­ство фишек у Пети умень­ша­ет­ся на 10 − 3  =  7 штук. Сле­до­ва­тель­но, Петя со­вер­шил (100 − 65) : 7  =  5 об­ме­нов.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Маша и Мед­ведь съели ва­ре­нья по­ров­ну, сле­до­ва­тель­но, Маша по­тра­ти­ла на по­еда­ние ва­ре­нья в три раза боль­ше вре­ме­ни, чем Мед­ведь. Всё то время пока Маша ела ва­ре­нье, Мед­ведь ел пе­че­нье, причём в три раза быст­рее, чем ест пе­че­нье Маша, то есть Мед­ведь съел в 3 · 3  =  9 раз боль­ше пе­че­нья. Пусть x  — ко­ли­че­ство пе­че­ний, ко­то­рое съела Маша, тогда по­лу­ча­ем урав­не­ние: x + 9x  =  120, от­ку­да x  =  12. Зна­чит, Мед­ведь съел 12 · 9  =  108 пе­че­ний.

Ответ: 108.

Ре­ше­ние. Вы­яс­ним от­но­си­тель­ное рас­по­ло­же­ние ваз с ро­за­ми. Будем обо­зна­чать вазу пер­вой бук­вой ее цвета. Воз­мож­ны 6 ва­ри­ан­тов: С−Б−О, С−О−Б, Б−С−О, Б−О−С, О−Б−С и О−С−Б. По­сколь­ку слева от синей вазы и спра­ва от белой вазы есть цветы, ва­ри­ан­ты, на­чи­на­ю­щи­е­ся с С или за­кан­чи­ва­ю­щи­е­ся Б, не под­хо­дят. Оста­ют­ся три воз­мож­но­сти: Б−С−О, Б−О−С и О−Б−С.

Кроме того, не под­хо­дит ва­ри­ант, когда синяя ваза стоит пра­вее белой: в этом слу­чае спра­ва от белой вазы боль­ше 11 роз. Оста­ет­ся един­ствен­ный ва­ри­ант Б−О−С. Будем также обо­зна­чать ко­ли­че­ство роз в вазе со­от­вет­ству­ю­щей бук­вой. Тогда по­лу­чим си­сте­му урав­не­ний:

Таким об­ра­зом, в оран­же­вой вазе 3 розы.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Маша и Мед­ведь съели ва­ре­нья по­ров­ну, сле­до­ва­тель­но, Маша по­тра­ти­ла на по­еда­ние ва­ре­нья в три раза боль­ше вре­ме­ни, чем Мед­ведь. Всё то время пока Маша ела ва­ре­нье, Мед­ведь ел пе­че­нье, причём в три раза быст­рее, чем ест пе­че­нье Маша, то есть Мед­ведь съел в 3 · 3  =  9 раз боль­ше пе­че­нья. Пусть x  — ко­ли­че­ство пе­че­ний, ко­то­рое съела Маша, тогда по­лу­ча­ем урав­не­ние: x + 9x  =  160, от­ку­да x  =  16. Зна­чит, Мед­ведь съел 16 · 9  =  144 пе­че­ний.

Ответ: 144.

Ре­ше­ние. В квар­ти­ре могут жить один, два, три или че­ты­ре че­ло­ве­ка. В квар­ти­рах с 1-⁠й по 12-⁠ю вклю­чи­тель­но живёт сум­мар­но 14 че­ло­век, сле­до­ва­тель­но, в 10 квар­ти­рах живёт по од­но­му че­ло­ве­ку, а в остав­ших­ся двух квар­ти­рах живёт сум­мар­но 4 че­ло­ве­ка. В квар­ти­рах с 11-⁠й по 14-⁠ю вклю­чи­тель­но живёт сум­мар­но 12 че­ло­век, сле­до­ва­тель­но, в двух квар­ти­рах живёт по два че­ло­ве­ка, а в остав­ших­ся живёт сум­мар­но 8 че­ло­век. Рас­смот­рен­ные мно­же­ства квар­тир пе­ре­се­ка­ют­ся по квар­ти­рам 11 и 12, зна­чит, имен­но в квар­ти­рах 11 и 12 в сумме живёт 4 че­ло­ве­ка. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что всего в доме живёт 10 · 1 + 4 + 4 · 2  =  22 че­ло­ве­ка.

Ответ: 22.