Ре­ше­ние. Чтобы число де­ли­лось на 24, оно долж­но де­лить­ся на 3 и на 8.

Число де­лит­ся на 8, если три его по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, де­ля­ще­е­ся на 8. Ис­ко­мое число за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко ну­ля­ми и еди­ни­ца­ми, зна­чит, оно за­кан­чи­ва­ет­ся на 000.

Число де­лит­ся на 3, если его сумма цифр числа де­лит­ся на 3. По­сколь­ку три по­след­ние цифры числа  — нули, пер­вые три долж­ны быть еди­ни­ца­ми.

Таким об­ра­зом, един­ствен­ное число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию за­да­чи,  — это число 111 000.

Ответ: 111 000.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 5 и на 9, то это число де­лит­ся и на 45.Вспом­ним при­зна­ки де­ли­мо­сти на 5  — число де­лит­ся на 5 тогда и толь­ко тогда, когда по­след­няя цифра де­лит­ся на 5 (то есть равна 0 или 5). Вспом­ним при­знак де­ли­мо­сти на 9  — число де­лит­ся на 9 тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр де­лит­ся на 9. От­сю­да сле­ду­ет, что по­след­няя цифра числа  — 5, а сумма цифр долж­на быть: 9, 18, 27... Сумма цифр в нашем числе не может быть равна 9, но может быть равна 18. По­это­му усло­вию удо­вле­тво­ря­ют все числа, за­пи­сы­ва­е­мые тремя еди­ни­ца­ми и тремя пятёрками, на по­след­нем месте в за­пи­си ко­то­рых стоит пять: 111555, 151515, ... Наи­боль­шим из них яв­ля­ет­ся число 551115.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 24, то оно также де­лит­ся на 3 и на 8.

Число де­лит­ся на 8 тогда и толь­ко тогда, когда три его по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, ко­то­рое де­лит­ся на 8. Пе­ре­брав трёхзнач­ные числа из 1 и 2, по­лу­чим, что толь­ко 112 де­лит­ся на 8. Это число об­ра­зу­ет по­след­ние три цифры ис­ко­мо­го числа.

Число де­лит­ся на 3 тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр де­лит­ся на 3. По­след­ние три цифры 112 дают к сумме 4. Рас­смот­рим пер­вые три цифры. Их сумма может быть от 3 до 6. Усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет сумма цифр, рав­ная 5. Троек с дан­ной сум­мой цифр три: 122, 212, 221.

Таким об­ра­зом, под­хо­дят числа: 122112, 212112, 221112.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 24, то оно де­лит­ся на 3 и на 8.

Если число де­лит­ся на 8, то число, об­ра­зо­ван­ное по­след­ни­ми его тремя циф­ра­ми, тоже де­лит­ся на 8. Трёхзнач­ных чисел из 0 и 2, де­ля­щих­ся на 8, два: 000 и 200. Это окон­ча­ния ис­ход­но­го числа.

Если число де­лит­ся на 3, то сумма его цифр тоже де­лит­ся на 3.

000 даёт к сумме 0, то есть сумма пер­вых цифр долж­на рав­нять­ся 6, то есть это 222.

200 даёт к сумме 2, то есть сумма пер­вых цифр долж­на рав­нять­ся 4, то есть 220 или 202 (022 не может быть, так как это пер­вые цифры, а пер­вая цифра в числе не может рав­нять­ся 0).

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа: 220200, 202200, 222000.

Ответ: 220200, 202200, 222000.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 72, то но де­лит­ся на 8 и на 9.

Если число де­лит­ся на 8, то число, об­ра­зо­ван­ное по­след­ни­ми его тремя циф­ра­ми, тоже де­лит­ся на 8. Ше­сти­знач­ных чисел из 1 и 2, де­ля­щи­е­ся на 8 долж­ны за­кан­чи­вать­ся трой­кой цифр 112.

Если число де­лит­ся на 9, то сумма его цифр тоже де­лит­ся на 9.

112 даёт к сумме 4, то есть сумма пер­вых цифр долж­на рав­нять­ся 5, то есть долж­на со­сто­ять из пе­ре­ста­но­вок двух двоек и еди­ни­цы.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа: 122112, 212112, 221112.

Ответ: 122112, 212112 или 221112.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 5 и на 11, то это число де­лит­ся и на 55.Вспом­ним при­зна­ки де­ли­мо­сти на 5  — число де­лит­ся на 5 тогда и толь­ко тогда, когда по­след­няя цифра де­лит­ся на 5 (то есть равна 0 или 5). От­сю­да сле­ду­ет, что по­след­няя цифра числа  — 5. Вспом­ним при­знак де­ли­мо­сти на 11  — число де­лит­ся на 11 тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр на чётных ме­стах равна сумме его цифр, сто­я­щих на нечётных ме­стах, или от­ли­ча­ет­ся от неё на 11. От­сю­да сле­ду­ет, что за­пись числа долж­на со­дер­жать чет­ное число еди­ниц, при­чем ко­ли­че­ство еди­ниц, сто­я­щее на чет­ных ме­стах, долж­но быть равно ко­ли­че­ству еди­ниц, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах. Усло­вию удо­вле­тво­ря­ют числа, за­пи­сы­ва­е­мые че­тырь­мя еди­ни­ца­ми и двумя пятёрками либо че­тырь­мя пя­тер­ка­ми и двумя еди­ни­ца­ми, на по­след­нем месте в за­пи­си ко­то­рых стоит пять: 115555, 155155, 511555, 515515, 551155, 555115, 111155, 115115, 511115.

Ответ: 115555, 155155, 511555, 515515, 551155, 555115, 111155, 115115, 511115.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 90, то но де­лит­ся на 9 и на 10.

Вспом­ним при­зна­ки де­ли­мо­сти на 10  — число де­лит­ся на 10 тогда и толь­ко тогда, когда кон­ча­ет­ся чис­лом 0. Вспом­ним при­знак де­ли­мо­сти на 9  — число де­лит­ся на 9 тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр де­лит­ся на 9. От­сю­да сле­ду­ет, что по­след­няя цифра числа  — 0, а сумма цифр долж­на быть: 9, 18, 27... Сумма цифр в нашем числе не может быть равна 9, но может быть равна 18. По­это­му усло­вию удо­вле­тво­ря­ют все числа, за­пи­сы­ва­е­мые тремя шестёрками и тремя ну­ля­ми, на по­след­нем месте в за­пи­си ко­то­рых стоит ноль: 666000, 660600, 660060, 606600, 606060, 600660.

Ответ: 666000, 660600, 660060, 606600, 606060, 600660.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 30, то но де­лит­ся на 3 и на 10.

Вспом­ним при­зна­ки де­ли­мо­сти на 10  — число де­лит­ся на 10 тогда и толь­ко тогда, когда кон­ча­ет­ся чис­лом 0. Вспом­ним при­знак де­ли­мо­сти на 3  — число де­лит­ся на 3 тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр де­лит­ся на 3. От­сю­да сле­ду­ет, что по­след­няя цифра числа  — 0, а сумма цифр долж­на быть: 3, 6, 9... Сумма цифр в нашем числе не может быть равна 3, но может быть равна 6. По­это­му усло­вию удо­вле­тво­ря­ют все числа, за­пи­сы­ва­е­мые тремя двой­ка­ми и тремя ну­ля­ми, на по­след­нем месте в за­пи­си ко­то­рых стоит ноль: 222000, 220200, 220020, 202200, 202020, 200220.

Ответ: 222000, 220200, 220020, 202200, 202020, 200220.

Ре­ше­ние. Чтобы число де­ли­лось на 24, оно долж­но де­лить­ся на 3 и на 8.

Число де­лит­ся на 8, если три его по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, де­ля­ще­е­ся на 8. Ис­ко­мое число за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко еди­ни­ца­ми и двой­ка­ми, зна­чит, оно за­кан­чи­ва­ет­ся на 112.

Число де­лит­ся на 3, если его сумма цифр числа де­лит­ся на 3. По­сколь­ку три по­след­ние цифры числа дают в сумме 4, пер­вые три долж­ны да­вать в сумме 2 или 5.

Таким об­ра­зом, числа, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию за­да­чи,  — это числа 212 112, 122 112 и 221 112.

Ответ: 212 112, 122 112 или 221 112..

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 90, то но де­лит­ся на 9 и на 10.

Вспом­ним при­зна­ки де­ли­мо­сти на 10  — число де­лит­ся на 10 тогда и толь­ко тогда, когда кон­ча­ет­ся чис­лом 0. Вспом­ним при­знак де­ли­мо­сти на 9  — число де­лит­ся на 9 тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр де­лит­ся на 9. От­сю­да сле­ду­ет, что по­след­няя цифра числа  — 0, а сумма цифр долж­на быть: 9, 18, 27... По­это­му усло­вию удо­вле­тво­ря­ют все числа, за­пи­сы­ва­е­мые тремя трой­ка­ми и тремя ну­ля­ми, на по­след­нем месте в за­пи­си ко­то­рых стоит ноль: 333000, 330300, 330030, 303300, 303030, 300330.

Ответ: 333000, 330300, 330030, 303300, 303030, 300330.