Ре­ше­ние. Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: −4,9.

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся свой­ства­ми сте­пе­ней:

Ответ: 512.

Ре­ше­ние. Чис­лен­ность детей в го­ро­де N со­став­ля­ет 200 000 · 0,15  =  30 000. Чис­лен­ность взрос­ло­го на­се­ле­ния 200 000 − 30 000  =  170 000 че­ло­век. Из них не ра­бо­та­ет 170 000 · 0,45  =  76 500 че­ло­век. Зна­чит, ра­бо­та­ет 170 000 − 76 500  =  93 500 че­ло­век.

Ответ: 93 500.

Ре­ше­ние. Под­ста­вим зна­че­ния в фор­му­лу и вы­чис­лим:

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. Поль­зу­ясь свой­ства­ми сте­пе­ни и ос­нов­ным ло­га­риф­ми­че­ским тож­де­ством, по­лу­ча­ем:

Ре­ше­ние. Раз­де­лим 100 на 14,6:

Сле­до­ва­тель­но, на 100 руб­лей можно при­об­ре­сти 6 ба­но­чек йо­гур­та.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Найдём ко­рень урав­не­ния:

Ответ: 22,4.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, при­ве­ден­ные на ри­сун­ке. Здесь от­ре­зок AC  — плечи «жу­рав­ля» до опус­ка­ния, от­ре­зок BD  — после, от­ре­зок AH  — вы­со­та, на ко­то­рую под­нял­ся конец ко­рот­ко­го плеча, от­ре­зок CK  — вы­со­та, на ко­то­рую опу­стил­ся конец длин­но­го. В тре­уголь­ни­ках AOB и COD углы AOB и COD равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, равны и углы при ос­но­ва­ни­ях:

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AOB и COD по­доб­ны по двум углам, то есть

При пе­ре­се­че­нии пря­мых AB и CD се­ку­щей BD углы, обо­зна­чен­ные на ри­сун­ке циф­ра­ми 1 и 2, яв­ля­ют­ся на­крест ле­жа­щи­ми и рав­ны­ми, сле­до­ва­тель­но, пря­мые AB и CD па­рал­лель­ны. Сто­ро­ны углов 3 и 4 па­рал­лель­ны друг другу, сле­до­ва­тель­но, эти углы равны.

Тре­уголь­ни­ки AHB и CDK  — пря­мо­уголь­ные, их ост­рые углы равны, сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны, от­ку­да

Ответ: 2.

При­ме­ча­ние.

Можно при­ве­сти не­сколь­ко иное до­ка­за­тель­ство по­до­бия тре­уголь­ни­ков AHB и CDK. На при­ве­ден­ной ниже кар­тин­ке есть два ма­лень­ких тре­уголь­ни­ка AHM и DKL, они пря­мо­уголь­ные и как на­крест ле­жа­щие, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

Затем, можно за­ме­тить, что у тре­уголь­ни­ков AHM и AHB со­от­вет­ствен­ные углы равны друг другу, по­то­му что их сто­ро­ны па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. Ана­ло­гич­но для тре­уголь­ни­ков CDK и CKL. Из трех пар по­до­бий этих тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки AHB и CKD по­доб­ны.

Ре­ше­ние. От лег­ко­го к тя­же­ло­му: таб­лет­ка (Г  — 1), яйцо (А  — 3), ко­ляс­ка (Б  — 2) и бе­ге­мот (В  — 4). Окон­ча­тель­но по­лу­чим 3241.

Ответ: 3241.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим эк­ви­ва­лент­ную за­да­чу. Пред­ста­вим, что Петя вынул из кар­ма­на все мо­не­ты, а потом слу­чай­ным об­ра­зом по­ло­жил пя­ти­руб­ле­вую мо­не­ту в какой-⁠то кар­ман. Для дру­гой пя­ти­руб­ле­вой мо­не­ты в кар­ма­нах оста­лось 5  мест, из них в пу­стом кар­ма­не  — 3  места. По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,6.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Чтобы пя­ти­руб­ле­вые мо­не­ты ока­за­лись в раз­ных кар­ма­нах, Петя дол­жен взять из кар­ма­на одну пя­ти­руб­ле­вую и две де­ся­ти­руб­ле­вые мо­не­ты. Это можно сде­лать тремя спо­со­ба­ми: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Эти со­бы­тия не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что Петя взял пя­ти­руб­ле­вую мо­не­ту, затем де­ся­ти­руб­ле­вую, и затем еще одну де­ся­ти­руб­ле­вую (в ука­зан­ном по­ряд­ке), равна

По­сколь­ку Петя мог до­стать пя­ти­руб­ле­вую мо­не­ту не толь­ко пер­вой, но и вто­рой или тре­тьей, ве­ро­ят­ность до­стать набор из одной пя­ти­руб­ле­вой и двух де­ся­ти­руб­ле­вых монет в 3 раза боль­ше. Таким об­ра­зом, она равна 0,6.

Ответ: 0,6.

При­ве­дем ре­ше­ние при по­мо­щи фор­мул ком­би­на­то­ри­ки.

Ко­ли­че­ство спо­со­бов взять 3 мо­не­ты из 6, чтобы пе­ре­ло­жить их в дру­гой кар­ман, равно Ко­ли­че­ство спо­со­бов вы­брать 1 пя­ти­руб­ле­вую мо­не­ту из 2 пя­ти­руб­ле­вых монет и взять вме­сте с ней еще 2 де­ся­ти­руб­ле­вых мо­не­ты из име­ю­щих­ся 4 де­ся­ти­руб­ле­вых монет по пра­ви­лу про­из­ве­де­ния равно По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность того, что пя­ти­руб­ле­вые мо­не­ты лежат в раз­ных кар­ма­нах, равна

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что наи­мень­шей цена была 6 марта (см. рис.).

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

В Бел­го­ро­де сто­и­мость 1 ба­то­на пше­нич­но­го хлеба, 2 л мо­ло­ка, 2 кг сыра со­ста­вит

В Ека­те­рин­бур­ге сто­и­мость 1 ба­то­на пше­нич­но­го хлеба, 2 л мо­ло­ка, 2 кг сыра со­ста­вит

В Омске сто­и­мость сто­и­мость 1 ба­то­на пше­нич­но­го хлеба, 2 л мо­ло­ка, 2 кг сыра со­ста­вит со­ста­вит

Таким об­ра­зом, самый дешёвый набор про­дук­тов можно ку­пить в Бел­го­ро­де по цене 467 руб.

Ре­ше­ние. Пло­щадь по­верх­но­сти дан­ной де­та­ли - есть сумма пло­ща­ди по­верх­но­сти двух мно­го­гран­ни­ков: со сто­ро­на­ми 1, 2, 5 и со сто­ро­на­ми 2, 2, 2 за вы­че­том 2 пло­ща­дей пря­мо­уголь­ни­ков со сто­ро­на­ми 2, 2 (так как дан­ная пло­щадь учи­ты­ва­ет­ся два раза при сло­же­нии пло­ща­дей мно­го­гран­ни­ков, а, как видно из ри­сун­ка, дан­ных пло­ща­дей в ито­го­вой де­та­ли нет).

По­лу­ча­ем:

Ответ: 50.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дую из ха­рак­те­ри­стик.

1.  Функ­ция при­ни­ма­ет от­ри­ца­тель­ное зна­че­ние в каж­дой точке от­рез­ка [−1; 1]. Из пред­став­лен­ных функ­ций при­ни­ма­ет от­ри­ца­тель­ное зна­че­ние в каж­дой точке ука­зан­но­го от­рез­ка функ­ция А.

2.  Функ­ция воз­рас­та­ет на от­рез­ке [−1; 1]. Из пред­став­лен­ных функ­ций воз­рас­та­ет на ука­зан­ном от­рез­ке функ­ция Г.

3.  Функ­ция при­ни­ма­ет по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние в каж­дой точке от­рез­ка [−1; 1]. Из пред­став­лен­ных функ­ций при­ни­ма­ет по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние в каж­дой точке ука­зан­но­го от­рез­ка функ­ция В.

4.  Функ­ция убы­ва­ет на от­рез­ке [−1; 1]. Из пред­став­лен­ных функ­ций убы­ва­ет на ука­зан­ном от­рез­ке функ­ция Б.

Ответ: 1432.

Ре­ше­ние. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен  окруж­но­сти, то есть 

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. Объём ци­лин­дра на­хо­дит­ся по фор­му­ле:

Найдём объём пер­во­го ци­лин­дра:

Найдём объём вто­ро­го ци­лин­дра:

Найдём от­но­ше­ние объёма вто­ро­го ци­лин­дра к объёму пер­во­го:

Ответ: 10,5.

Ре­ше­ние. Решим не­ра­вен­ства.

А)  

Б)  

В)  

Г)  

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие: А  — 3, Б  — 1, В  — 2, Г  — 4.

Ответ: 3124.

Ре­ше­ние. 1.  Утвер­жде­ние о том, что де­во­чек чаще всего на­зы­ва­ли Мария озна­ча­ет, что де­во­чек, ко­то­рых на­зы­ва­ли дру­ги­ми име­на­ми мень­ше, сле­до­ва­тель­но, пер­вое утвер­жде­ние верно. Пер­вое утвер­жде­ние сле­ду­ет из при­ведённых дан­ных.

2.  Вто­рое утвер­жде­ние не сле­ду­ет из при­ведённых дан­ных.

3.  Если маль­чи­ков чаще всего на­зы­ва­ли Ан­дре­я­ми, то, сле­до­ва­тель­но, ро­дил­ся по край­ней мере один маль­чик, ко­то­ро­го на­зва­ли Ан­дре­ем. Тре­тье утвер­жде­ние сле­ду­ет из при­ведённых дан­ных.

4.  Четвёртое утвер­жде­ние не сле­ду­ет из при­ведённых дан­ных, по­сколь­ку не­воз­мож­но ска­зать, сколь­ко ро­див­ших­ся маль­чи­ков на­зва­ли Ан­дре­я­ми, а сколь­ко де­во­чек  — Ма­ри­я­ми.

Сле­до­ва­тель­но, вер­ны­ми яв­ля­ют­ся утвер­жде­ния 1 и 3.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Если хотя бы одна цифра в за­пи­си числа  — нуль, то про­из­ве­де­ние цифр равно 0, и тогда их сумма равна 1. Един­ствен­ное такое четырёхзнач­ное число  — 1000, но оно не крат­но 19. По­это­му нулей среди цифр нет. От­сю­да сле­ду­ет, что все цифры не мень­ше 1 и их сумма не мень­ше четырёх, а зна­чит, про­из­ве­де­ние цифр не мень­ше трёх. Чтобы про­из­ве­де­ние было не мень­ше трёх, хотя бы одна из цифр долж­на быть боль­ше 1. Рас­смот­рим такие числа в по­ряд­ке воз­рас­та­ния суммы их цифр.

Если сумма цифр равна 5, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной двой­кой и тремя еди­ни­ца­ми (это числа 1112, 1121, 1211, 2111). Про­из­ве­де­ние цифр равно 2, по­это­му они не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию.

Если сумма цифр равна 6, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной трой­кой и тремя еди­ни­ца­ми или двумя двой­ка­ми и двумя еди­ни­ца­ми (это числа 1113, 1131, 1311, 3111, 1122, 1212, ...). Про­из­ве­де­ние цифр равно 3 или 4 со­от­вет­ствен­но, по­это­му такие числа не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию.

Если сумма цифр равна 7, то про­из­ве­де­ние долж­но быть равно 6. Это вы­пол­не­но для чисел, за­пи­сы­ва­е­мых трой­кой, двой­кой и двумя еди­ни­ца­ми. По­сколь­ку число 3211 крат­но 19, оно и яв­ля­ет­ся ис­ко­мым.

Ответ: 3211.

При­ме­ча­ние.

Четырёхзнач­ное число, об­ла­да­ю­щее тре­бу­е­мы­ми свой­ства­ми, един­ствен­но. По­ка­жем это, при­ве­дя дру­гое ре­ше­ние.

При­ведём ре­ше­ние Дмит­рия Му­хи­на (Москва).

Пусть a, b, c, d  — цифры числа и пусть а самая боль­шая из них (по­ря­док цифр не важен). По­ка­жем, что про­из­ве­де­ние мень­ших цифр не боль­ше четырёх. Дей­стви­тель­но, из ра­вен­ства a + b + c + d  =  1 + abcd по­лу­ча­ем 4a ≥ abcd + 1. Деля на наи­боль­шую цифру a, по­лу­ча­ем, что bcd < 4.

Рас­смот­рим те­перь сле­ду­ю­щие слу­чаи.

1.  Пусть среди чисел b, c, d есть нуль, тогда по­сколь­ку a + b + c + d  =  1, это число 1000, но оно на 19 не де­лит­ся. Итак, все три мень­шие цифры числа от­лич­ны от нуля.

2.  Пусть все три мень­шие цифры равны еди­ни­це, тогда a + 3  =  a + 1. Этот слу­чай не­воз­мо­жен.

3.  Пусть мень­шие цифры  — это две еди­ни­цы и двой­ка. Тогда a + 4  =  2a + 1, от­ку­да a  =  3. Пе­ре­би­рая 12 чисел, со­став­лен­ных из цифр 1, 1, 2, 3, на­хо­дим, что из них крат­но 19 толь­ко число 3211. Оно и яв­ля­ет­ся от­ве­том.

4.  Пусть мень­шие цифры  — это две еди­ни­цы и трой­ка. Тогда a + 5  =  3a + 1. От­сю­да a  =  2, но тогда a не наи­боль­шая цифра. Про­ти­во­ре­чие.

По­сколь­ку bcd < 4, дру­гих ва­ри­ан­тов нет. Ис­ко­мое число един­ствен­но, оно равно 3211.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку в пер­вых 7 подъ­ез­дах не мень­ше 462 квар­тир, в каж­дом подъ­ез­де не мень­ше 462 : 7  =   66 квар­тир. Сле­до­ва­тель­но, на каж­дом из 7 эта­жей в подъ­ез­де не мень­ше 9 квар­тир.

Пусть на каж­дой лест­нич­ной пло­щад­ке по 9 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах всего 9 · 7 · 7  =  441 квар­ти­ра, и квар­ти­ра 462 ока­жет­ся в вось­мом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 10 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах 10 · 7 · 7  =  490 квар­тир, а в пер­вых шести  — 420. Сле­до­ва­тель­но, квар­ти­ра 462 на­хо­дит­ся в седь­мом подъ­ез­де. Она в нем 42-я по счету, по­сколь­ку на этаже по 10 квар­тир, она рас­по­ло­же­на на пятом этаже.

Если бы на каж­дой пло­щад­ке было по 11 квар­тир, то в пер­вых шести подъ­ез­дах ока­за­лось бы 11 · 7 · 6  =  462 квар­ти­ры, то есть 462 квар­ти­ра в ше­стом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Тем самым, Саша живёт на пятом этаже.

Ответ: 5.

При­ве­дем ре­ше­ние Марии Ва­си­льев­ны.

По­сколь­ку в пер­вых 7 подъ­ез­дах не мень­ше 462 квар­тир, в каж­дом подъ­ез­де не мень­ше 462 : 7  =   66 квар­тир. Дом се­ми­этаж­ный, на каж­дом этаже оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство квар­тир, сле­до­ва­тель­но, число квар­тир в подъ­ез­де долж­но быть крат­но 7.

Про­ве­рим числа, не мень­шие 66 и крат­ные 7.

Пусть в подъ­ез­де 70 квар­тир, тогда на каж­дом этаже 10 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах 10 · 7 · 7  =  490 квар­тир, а в пер­вых шести  — 420. Сле­до­ва­тель­но, квар­ти­ра 462 на­хо­дит­ся в седь­мом подъ­ез­де. Она в нем 42-ая по счету, по­сколь­ку на этаже по 10 квар­тир, она рас­по­ло­же­на на пятом этаже.

Убе­дим­ся, что дру­гие ва­ри­ан­ты не­воз­мож­ны. Если в подъ­ез­де 77 квар­тир или боль­ше, то в пер­вых шести подъ­ез­дах ока­за­лось бы 77 · 6  =  462 квар­ти­ры или боль­ше, то есть 462 квар­ти­ра не будет на­хо­дить­ся в седь­мом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Сле­до­ва­тель­но, Саша живет на пятом этаже.