Ре­ше­ние. По­счи­та­ем, на сколь­ко руб­лей сни­зи­лась цена те­ле­фо­на:

По­счи­та­ем, сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет дан­ная сумма от пер­во­на­чаль­ной цены:

Ответ: 35

Ре­ше­ние. Упо­ря­до­чим от мед­лен­но­го к быст­ро­му. Ясно, что улит­ка самая мед­лен­ная, че­ло­век быст­рее улит­ки, ав­то­мо­биль еще быст­рее, а ско­рость звука  — наи­боль­шая из ско­ро­стей в спис­ке. По­лу­чим со­от­вет­ствие: В  — 1, Б  — 4, А  — 2, Г  — 3.

Ответ: 2413.

Ре­ше­ние. Из таб­ли­цы видно, что луч­ший ре­зуль­тат по­ка­зал Ме­ли­хов (52,5 м), а вто­рое место занял Теп­ли­цын с луч­шим ре­зуль­та­том 52 метра.

Ответ: 52.

Ре­ше­ние. Вы­ра­зим n и под­ста­вим зна­че­ния в фор­му­лу:

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Воз­мож­но­сти по­яв­ле­ния числа в пер­вом и вто­ром брос­ке не за­ви­сят друг от друга. Ве­ро­ят­ность того, что на иг­раль­ной кости вы­па­дет число мень­ше либо рав­ное трём: 1 – 0,5  =  0,5. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что оба раза вы­па­ло число мень­ше либо рав­ное трём, равна 0,5 · 0,5  =  0,25. Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность того, что хотя бы раз вы­па­дет число, боль­шее трёх, равна 1 – 0,25  =  0,75.

Ответ: 0,75.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

При дву­крат­ном бро­са­нии иг­раль­ной кости воз­мож­но 6²  =  36 ва­ри­ан­тов вы­па­де­ния очков. Вы­пи­шем под­хо­дя­щие ва­ри­ан­ты, когда хотя бы один раз вы­па­да­ет число, боль­шее трёх (вна­ча­ле будем за­пи­сы­вать число очков при пер­вом брос­ке, затем при вто­ром, без раз­де­ли­тель­ных зна­ков между ними):

Ве­ро­ят­ность равна

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

При про­да­же ди­ва­на «Коала» по цене 15 000 руб. доход са­ло­на со­ста­вит 15 0000,05  =  750 руб.

При про­да­же ди­ва­на «Не­ва­ляш­ка» по цене 28 000 руб. доход са­ло­на со­ста­вит 28 0000,03  =  840 руб.

При про­да­же ди­ва­на «Винни-Пух» по цене 17 000 руб. доход са­ло­на со­ста­вит 17 0000,06  =  1020 руб.

При про­да­же ди­ва­на «Об­ло­мов» по цене 23 000 руб. доход са­ло­на со­ста­вит 23 0000,04  =  920 руб.

По­это­му для са­ло­на наи­бо­лее вы­год­на про­да­жа ди­ва­на «Винни-Пух» фирмы «Бета», доход от ко­то­рой со­ста­вит 1020 руб­лей.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дую из ха­рак­те­ри­стик.

1)  На от­рез­ке [–1; 1] функ­ция убы­ва­ет. Убы­ва­ю­щая функ­ция на гра­фи­ке Б

2)  На от­рез­ке [–1; 1] функ­ция имеет точку мак­си­му­ма. Точку мак­си­му­ма имеет функ­ция А.

3)  На от­рез­ке [–1; 1] функ­ция имеет точку ми­ни­му­ма. Точку ми­ни­му­ма имеет функ­ция Г.

4)  На от­рез­ке [–1; 1] функ­ция воз­рас­та­ет. Воз­рас­та­ю­щая функ­ция на гра­фи­ке В.

Ответ: 2143.

Ре­ше­ние. 1.  «Все де­ре­вья вы­де­ля­ют кис­ло­род»: берёза  — де­ре­во, сле­до­ва­тель­но, она вы­де­ля­ет кис­ло­род.

2.  Не всё, что вы­де­ля­ет кис­ло­род,  — де­ре­во, тем более берёза.

3.  Дей­стви­тель­но, если какое-то рас­те­ние вы­де­ля­ет кис­ло­род, оно может ока­зать­ся берёзой.

4.  Все под­сол­ну­хи вы­де­ля­ют кис­ло­род, сле­до­ва­тель­но, рас­те­ние, не вы­де­ля­ю­щее кис­ло­род, не может яв­лять­ся под­сол­ну­хом.

Таким об­ра­зом, из при­ве­ден­ных дан­ных сле­ду­ют утвер­жде­ния 1, 3 и 4.

Ответ: 134.

При­ме­ча­ние.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель за­ме­тит, что тер­мин «рас­те­ния» в усло­вии не рас­шиф­ро­ван, а по­то­му можно счи­тать, что в утвер­жде­нии 3 го­во­рит­ся не­из­вест­но о чем. А зна­чит, это утвер­жде­ние не сле­ду­ет из при­ведённых дан­ных, по­это­му ответ 14 тоже дол­жен быть учтен как вер­ный. В пунк­те 4 также ис­поль­зу­ет­ся не­рас­шиф­ро­ван­ное по­ня­тие «рас­те­ния», но в дан­ном слу­чае не важно, что оно обо­зна­ча­ет, по­сколь­ку ни­ка­кой объ­ект, не вы­де­ля­ю­щий кис­ло­род, не может яв­лять­ся под­сол­ну­хом.

Ре­ше­ние. Фи­гу­ра со­сто­ит из квад­ра­та со сто­ро­ной  м и пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми и  м. Пло­щадь всей фи­гу­ры равна:  

Ответ: 11.

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AEB и CDE, они имеют общий угол E и, сле­до­ва­тель­но, по­доб­ны по двум углам. Зна­чит, от­ку­да Таким об­ра­зом, BD  =  5 − 1  =  4.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. В се­че­нии по­лу­ча­ет­ся четырёхуголь­ник. У одной отсечённой фи­гу­ры 15 рёбер и 7 гра­ней, у вто­рой  — 9 рёбер и 5 гра­ней. Сле­до­ва­тель­но, у ис­ко­мой фи­гу­ры 7 гра­ней.

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Из точки M можно про­ве­сти пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую По­лу­чим, что тре­уголь­ни­ки AMK и ABM имеют общую вы­со­ту, зна­чит, их пло­ща­ди от­но­сят­ся как длины ос­но­ва­ний:

Ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ка, то есть пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ABM и MBC, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. C по­мо­щью тео­ре­мы Пи­фа­го­ра найдём CC₁:

Найдём пло­щадь ос­но­ва­ния пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Найдём объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 126.

Ре­ше­ние. Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 2,75.

Ре­ше­ние. В одной таб­лет­ке ле­кар­ства со­дер­жит­ся 20 · 0,05  =  1 мг ак­тив­но­го ве­ще­ства. Су­точ­ная норма ак­тив­но­го ве­ще­ства для ре­бен­ка весом 5 кг со­ста­вит: 1,4 · 5  =  7 мг. Зна­чит, ре­бен­ку сле­ду­ет дать 7 таб­ле­ток.

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Решим квад­рат­ное урав­не­ние:

Ответ: −8.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что об­ласть до­пу­сти­мых зна­че­ний, в каж­дом не­ра­вен­стве: Ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма боль­ше еди­ни­цы, по­это­му при пе­ре­хо­де от ло­га­риф­ми­че­ско­го не­ра­вен­ства к под­ло­га­риф­ми­че­ско­му вы­ра­же­нию знак ме­нять­ся не будет.

А)  

Б)  

В)  

Г)  

Ответ: 4123.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 27, тогда оно де­лит­ся на 9. Число де­лит­ся на 9 тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр де­лит­ся на 9. Сле­до­ва­тель­но, сумма цифр по­лу­чив­ше­го­ся числа долж­на де­лит­ся на 9. Од­на­ко если число де­лит­ся на 9, то оно не­обя­за­тель­но де­лит­ся на 27, по­это­му по­тре­бу­ет­ся про­вер­ка.

Сумма цифр числа 123 456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Чтобы сумма цифр по­лу­чив­ше­го­ся числа была равна 9, вы­черк­нем цифры, да­ю­щие в сумме 12: 6, 5 и 1. По­лу­чим число 234, оно не де­лит­ся на 27. Тогда вы­черк­нем 2, 4 и 6, по­лу­чим 135  — де­лит­ся на 27.

Ответ: 135.

При­ме­ча­ние о един­ствен­но­сти от­ве­та.

Пе­ре­би­рая все воз­мож­ные вы­чер­ки­ва­ния и не меняя по­ря­док цифр, по­сколь­ку по усло­вию цифры можно толь­ко вы­чер­ки­вать, но не ме­нять ме­ста­ми, можно найти все числа, ко­то­рые можно по­лу­чить из ис­ход­но­го:

—  на­чи­на­ю­щи­е­ся с 1: 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156;

—  на­чи­на­ю­щи­е­ся с 2: 234, 235, 236, 245, 246, 256;

—  на­чи­на­ю­щи­е­ся с 3: 345, 346, 356;

—  на­чи­на­ю­щи­е­ся с 4: 456.

Не­по­сред­ствен­ной про­вер­кой можно убе­дить­ся, что из най­ден­ных чисел на 27 де­лит­ся толь­ко число 135. Дру­гих ва­ри­ан­тов нет.

Ре­ше­ние. Ви­но­град со­дер­жит 10% пи­та­тель­но­го ве­ще­ства, а изюм  — 95%. По­это­му 20 кг изюма со­дер­жат  кг пи­та­тель­но­го ве­ще­ства. Таким об­ра­зом, для по­лу­че­ния 20 кг изюма тре­бу­ет­ся  кг ви­но­гра­да.

Ответ: 190.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что куз­не­чик может ока­зать­ся толь­ко в точ­ках с чётными ко­ор­ди­на­та­ми, по­сколь­ку число прыж­ков, ко­то­рое он де­ла­ет,  — чётно. Мак­си­маль­но куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках, мо­дуль ко­то­рых не пре­вы­ша­ет шести. Таким об­ра­зом, куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках: −6, −4, −2, 0, 2, 4 и 6; всего 7 точек.

Ответ: 7.