Ре­ше­ние. Раз­де­лим 200 на 35:

Зна­чит, можно будет ку­пить 5 шо­ко­ла­док. Еще 2 будут даны в по­да­рок. Всего можно будет по­лу­чить 7 шо­ко­ла­док.

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Ча­сто­та вра­ще­ния ло­па­стей вен­ти­ля­то­ра самая боль­шая из пред­ло­жен­ных ве­ли­чин  — 50 об/⁠с. Ча­сто­та вра­ще­ния ми­нут­ной стрел­ки  — 24 об/⁠день. Ча­сто­та об­ра­ще­ния Земли во­круг своей оси  — 1 об/⁠день. Ча­сто­та об­ра­ще­ния Ве­не­ры во­круг Солн­ца  — 1,6 об/⁠год.

Ответ: 3412.

При­ме­ча­ние.

На­пом­ним, что ци­фер­блат стре­лоч­ных часов раз­де­лен на 12 ча­со­вых и 60 ми­нут­ных де­ле­ний. Ча­со­вая стрел­ка де­ла­ет один обо­рот за 12 часов, то есть со­вер­ша­ет два обо­ро­та в сутки. Ми­нут­ная стрел­ка де­ла­ет один обо­рот за 1 час, то есть со­вер­ша­ет 24 обо­ро­та в сутки.

Ре­ше­ние. Вла­де­лец ав­то­мо­би­ля пре­вы­сил ско­рость на 195 − 110  =  85 км/⁠ч. Штраф, ко­то­рый дол­жен за­пла­тить вла­де­лец ав­то­мо­би­ля со­став­ля­ет 5000 руб­лей.

Ответ: 5000.

Ре­ше­ние. Со­глас­но фор­му­ле, под­ста­вим дан­ные:

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. На каж­дой из че­ты­рех от­ме­чен­ных раз­ви­лок паук с ве­ро­ят­но­стью 0,5 может вы­брать или путь, ве­ду­щий к вы­хо­ду D, или дру­гой путь. Это не­за­ви­си­мые со­бы­тия, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния (паук дой­дет до вы­хо­да D) равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий. По­это­му ве­ро­ят­ность прий­ти к вы­хо­ду D равна (0,5)⁴  =  0,0625.

Ответ: 0,0625.

Ре­ше­ние. Би­ле­та толь­ко на ком­на­ту стра­ха нет, по­это­му не­об­хо­ди­мо при­об­ре­сти вто­рой билет в ре­зуль­та­те чего пер­вый и тре­тий би­ле­ты не нужны. Оста­ет­ся взять либо чет­вер­тый и ше­стой (750 руб­лей), либо про­сто пятый (700 руб­лей).

Ответ: 246 или 25.

Ре­ше­ние. Пусть угол, ко­то­рый со­став­ля­ет ка­са­тель­ная с по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем оси абс­цисс, равен α, а уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной равен k. Тогда:

α	k

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, про­ведённой в этой точке. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие: А  — 2, Б  — 1, В  — 4, Г  — 3.

Ответ: 2143.

Ре­ше­ние. 1.  Слоны ни­че­го не за­бы­ва­ют. Все осталь­ные могут как за­бы­вать, так и не за­бы­вать.

2.  То же самое, что и в пер­вом пунк­те.

3.  Не толь­ко слоны могут ни­че­го не за­бы­вать.

4.  Слоны ни­че­го не за­бы­ва­ют, по­это­му это верно.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим квад­ра­ты бук­ва­ми так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пе­ре­несём мыс­лен­но часть озера, на­хо­дя­щу­ю­ся в квад­ра­те D, в квад­рат А. Сумма этих пло­ща­дей мень­ше по­ло­ви­ны пло­ща­ди квад­ра­та. Пло­щадь части озера в квад­ра­те С при­мер­но по­ло­ви­на пло­ща­ди квад­ра­та, дру­гая по­ло­ви­на пу­стая  — пе­ре­не­сем в неё части озера из А и D вме­сте взя­тые. Этим квад­рат С будет за­пол­нен. Те­перь пе­ре­несём часть озера, ле­жа­щую ниже диа­го­на­ли квад­ра­та Е, на не­за­ня­тую часть в квад­ра­те F. Те­перь квад­рат F за­пол­нен почти пол­но­стью, а квад­рат Е за­пол­нен на­по­ло­ви­ну. Итак, озеро по­кры­ва­ет при­бли­зи­тель­но два пол­ных квад­ра­та С и F, почти пол­ный квад­рат В и по­ло­ви­ну квад­ра­та Е. Зна­чит, пло­щадь озера боль­ше 3 кв. км, но мень­ше 3,5 кв. км. Округ­ляя, по­лу­ча­ем 3 кв. км.

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние ре­дак­ции Решу ЕГЭ.

По­ни­мая не­об­хо­ди­мость уме­ний про­во­дить по­доб­ные оцен­ки и при­кид­ки в при­клад­ных на­у­ках, все же от­ме­тим, что при­ведённые выше рас­суж­де­ния не имеют ни­ка­ко­го от­но­ше­ния к ма­те­ма­ти­ке. По­че­му? По­то­му что нет до­ка­за­тельств. На­при­мер, того, что часть из Е дей­стви­тель­но по­ме­стит­ся в F. До­ка­за­тель­ство можно было бы про­ве­сти так: на­ло­жить карту на мил­ли­мет­ров­ку, найти ко­ли­че­ство квад­ра­ти­ков, в ко­то­рые по­па­ла фи­гу­ра, и точно уста­но­вить гра­ни­цы, в ко­то­рых лежит пло­щадь: от­бро­сив ча­стич­но за­пол­нен­ные квад­ра­ти­ки, по­лу­чим пло­щадь с не­до­стат­ком, учи­ты­вая все ча­стич­но за­пол­нен­ные квад­ра­ти­ки, най­дем пло­щадь с из­быт­ком. Но это путь не для эк­за­ме­на.

При­ме­ча­ние Д. Д. Гу­щи­на о при­ме­не­нии па­лет­ки для опре­де­ле­ния пло­ща­ди.

Чи­та­тель­ни­ца Ольга Ку­ле­шо­ва рас­ска­за­ла нам, что в на­чаль­ных клас­сах изу­ча­ют спо­соб на­хож­де­ния пло­ща­ди фи­гу­ры с по­мо­щью па­лет­ки (квад­рат­ной сетки). Пло­щадь фи­гу­ры счи­та­ет­ся рав­ной ко­ли­че­ству пол­но­стью за­пол­нен­ных кле­ток сетки плюс по­ло­ви­на ко­ли­че­ства не пол­но­стью за­пол­нен­ных кле­ток. Решая дан­ную за­да­чу таким спо­со­бом, най­дем, что ко­ли­че­ство пол­но­стью за­пол­нен­ных кле­ток равно 0, ко­ли­че­ство ча­стич­но за­пол­нен­ных кле­ток равно 6, сле­до­ва­тель­но, пло­щадь фи­гу­ры равна 0 + 6 : 2  =  3.

Об этом не­об­хо­ди­мо ска­зать сле­ду­ю­щее.

Для фигур слу­чай­ной формы, по­кры­тых боль­шим ко­ли­че­ством кле­ток, ука­зан­ное при­бли­же­ние пло­ща­ди не­ред­ко дает удо­вле­тво­ри­тель­ную точ­ность. Од­на­ко в ряде слу­ча­ев по­греш­ность ста­но­вит­ся не­при­ем­ле­мой.

Най­дем, к при­ме­ру, ука­зан­ным ме­то­дом пло­щадь изоб­ра­жен­ных на ри­сун­ке круга и пя­ти­уголь­ни­ка. Для круга сло­жим 5 целых кле­ток и по­ло­ви­ну от 16 ча­стич­но за­пол­нен­ных, вме­сте 13 кле­ток. Как не­труд­но про­ве­рить, ис­поль­зуя фор­му­лу для пло­ща­ди круга най­ден­ная по кле­точ­кам пло­щадь круга мало от­ли­ча­ет­ся от рас­чет­ной. Но най­дем те­перь пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка: к 6 целым клет­кам при­ба­вим по­ло­ви­ну от 9, по­лу­чим 10,5 или, округ­лен­но, 11 кле­ток. Од­на­ко в дей­стви­тель­но­сти пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка не 11 и даже не 10, а мень­ше 9 кле­ток. Ошиб­ка пре­вос­хо­дит 17%, а после округ­ле­ния  — даже 22%.

По всей ве­ро­ят­но­сти, точ­ной фор­му­лы для оцен­ки по­греш­но­сти ис­поль­зо­ва­ния квад­рат­ной па­лет­ки при оцен­ке пло­ща­ди не су­ще­ству­ет. Но ясно, что по­греш­ность может быть до­ста­точ­но ве­ли­ка, если все ча­стич­но за­пол­нен­ные клет­ки за­пол­не­ны более (либо менее) чем на­по­ло­ви­ну, или если по­кры­ва­ю­щих фи­гу­ру кле­ток слиш­ком мало.

В при­ве­ден­ном выше за­да­нии ЕГЭ пло­щадь по­кры­та всего ше­стью клет­ка­ми. В таких слу­ча­ях най­ден­ный ответ может по­лу­чить­ся вер­ным, но может ока­зать­ся и оши­боч­ным. По­это­му на эк­за­ме­не поль­зо­вать­ся ука­зан­ным ме­то­дом нель­зя. Од­на­ко метод можно усо­вер­шен­ство­вать. Об этом ниже.

По­дроб­нее про­чи­тать о при­бли­жен­ном опре­де­ле­нии пло­ща­дей можно, на­при­мер, в учеб­ном по­со­бии для выс­ших учеб­ных за­ве­де­ний Ин­же­нер­ная гео­де­зия.pdf.

При­ме­ча­ние Т. Н. Кра­вчен­ко о по­сле­до­ва­тель­ных при­бли­же­ни­ях при при­ме­не­нии па­лет­ки.

Ука­жем путь, ко­то­рым можно на­хо­дить все более точ­ное зна­че­ние пло­ща­ди, при­ме­няя па­лет­ки с умень­ша­ю­щим­ся шагом сетки. Ис­тин­ная пло­щадь фи­гу­ры не мень­ше пло­ща­ди пол­но­стью за­кра­шен­ных кле­ток. До­бав­ляя к ней по­ло­ви­ну пло­ща­ди ча­стич­но за­кра­шен­ных кле­ток, мы можем по­лу­чить из­бы­ток или не­до­ста­ток. Если все ча­стич­но за­пол­нен­ные клет­ки «почти пу­стые», мы по­лу­чим из­бы­ток, рав­ный по­ло­ви­не их сум­мар­ной пло­ща­ди. Если же все эти клет­ки «почти пол­ные», пло­щадь будет опре­де­ле­на с не­до­стат­ком, рав­ным по­ло­ви­не их сум­мар­ной пло­ща­ди. В обоих слу­ча­ях по­греш­ность пло­ща­ди не боль­ше где n  — ко­ли­че­ство ча­стич­но за­кра­шен­ных кле­ток, S  — пло­щадь одной клет­ки. Те­перь ясно, что можно по­пы­тать­ся умень­шить по­греш­ность, по­сле­до­ва­тель­но умень­шая шаг сетки. Про­де­мон­стри­ру­ем это на при­ме­ре нашей за­да­чи.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Из­на­чаль­но пло­щадь одной клет­ки равна 1. По пер­во­му ри­сун­ку видно, что озеро Ве­ли­кое рас­по­ло­же­но в 6 клет­ках, и ни одна из них не за­пол­не­на пол­но­стью. В пер­вом при­бли­же­нии пло­щадь озера равна По­греш­ность в этом слу­чае также равна 3. По­это­му не­об­хо­ди­мо умень­шить по­греш­ность.

Раз­де­лим каж­дую клет­ку по­по­лам по вер­ти­ка­ли и го­ри­зон­та­ли (см. рис. 2), то есть на 4 части. Пло­щадь каж­дой по­лу­чив­шей­ся клет­ки те­перь равна Озеро Ве­ли­кое за­ни­ма­ет 5 кле­ток це­ли­ком, и 14 кле­ток за­пол­не­ны не пол­но­стью. Сле­до­ва­тель­но, во вто­ром при­бли­же­нии пло­щадь озера со­став­ля­ет при этом по­греш­ность равна что нас также не устра­и­ва­ет.

На тре­тьем шаге снова раз­де­лим все клет­ки по­по­лам по вер­ти­ка­ли и го­ри­зон­та­ли, то есть на 4 части (см. рис. 3). Пло­щадь каж­дой по­лу­чив­шей­ся клет­ки будет равна Те­перь озеро Ве­ли­кое за­ни­ма­ет 36 кле­ток пол­но­стью, и еще 28 кле­ток за­пол­не­ны не пол­но­стью. Пло­щадь озера со­став­ля­ет

при этом по­греш­ность равна Сде­ла­ем еще одно раз­би­е­ние.

Снова раз­де­лим все клет­ки по­по­лам по вер­ти­ка­ли и го­ри­зон­та­ли. Пло­щадь каж­дой по­лу­чив­шей­ся клет­ки будет равна Те­перь озеро Ве­ли­кое за­ни­ма­ет 172 клет­ки пол­но­стью, и еще 52 клет­ки за­пол­не­ны ча­стич­но. Пло­щадь озера со­став­ля­ет

при этом по­греш­ность равна Таким об­ра­зом, пло­щадь озера боль­ше 2,5. Наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди равно Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся, если все ча­стич­но за­пол­нен­ные клет­ки за­пол­не­ны пол­но­стью. Но это не так, а по­то­му пло­щадь мень­ше 3,5. Тем самым стро­го до­ка­за­но, что округ­лен­ное до целых зна­че­ние пло­ща­ди равно 3.

Под­счи­ты­вать ко­ли­че­ство пол­но­стью и не пол­но­стью за­пол­нен­ных кле­ток может быть уто­ми­тель­но. Для об­лег­че­ния ра­бо­ты можно де­лить на части толь­ко те клет­ки, ко­то­рые за­пол­не­ны не пол­но­стью. По­ка­жем это ниже.

Рис. 5.

Рис. 6

Рис. 7

По пя­то­му ри­сун­ку 5 видно, что озеро не за­ни­ма­ет це­ли­ком ни одной клет­ки. Раз­де­лим каж­дую из ча­стич­но за­пол­нен­ных кле­ток на че­ты­ре части (см. рис. 6). Среди по­лу­чив­ших­ся ма­лень­ких кле­ток пол­но­стью за­пол­не­но 5 кле­ток (вы­де­ле­но синим), а еще не­сколь­ко кле­ток за­пол­не­ны не пол­но­стью.

Еще раз раз­де­лим каж­дую из ча­стич­но за­пол­нен­ных кле­ток на че­ты­ре части (см. рис. 7). Среди по­лу­чив­ших­ся ма­лень­ких кле­ток пол­но­стью за­пол­не­но 16 (вы­де­ле­но жел­тым), и еще 30 кле­ток за­пол­не­ны не пол­но­стью. Таким об­ра­зом, на тре­тьем шаге озеро за­ни­ма­ет: 5 целых кле­ток пло­ща­дью каж­дая; 16 целых кле­ток пло­ща­дью каж­дая и 30 ча­стич­но за­пол­нен­ных кле­ток пло­ща­дью каж­дая. Най­дем пло­щадь озера на этом шаге:

По­греш­ность опре­де­ля­ет­ся по­след­ним сла­га­е­мым, рав­ным 0,9375, то есть пло­щадь озера может ока­зать­ся и мень­ше 2,5, и боль­ше 3,5, а тогда округ­ле­ние до целых даст 2 или 4 со­от­вет­ствен­но. Не­об­хо­ди­мо даль­ше умень­шать шаг сетки.

Еще раз раз­де­лим каж­дую из ча­стич­но за­пол­нен­ных кле­ток на че­ты­ре части (см. по­след­ний ри­су­нок). Те­перь озеро за­ни­ма­ет: 5 целых кле­ток пло­ща­дью 16 целых кле­ток пло­ща­дью 29 целых кле­ток пло­ща­дью и 62 ча­стич­но за­пол­нен­ные клет­ки пло­ща­дью На­хо­дим пло­щадь озера:

По­греш­ность опре­де­ля­ет­ся по­след­ним сла­га­е­мым, рав­ным 0,484375. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь озера боль­ше 2,5, и округ­ле­ние до 2 не­воз­мож­но. Оцен­ка свер­ху дает 3,671875, то есть пло­щадь может ока­зать­ся боль­ше 3,5, а тогда по­на­до­бит­ся округ­ле­ние до 4. Так слу­чи­лось бы, если бы все 62 ча­стич­но за­пол­нен­ные на по­след­нем шаге клет­ки были бы за­пол­не­ны почти пол­но­стью. Но это не так. По­это­му на дан­ном шаге можно пред­по­ло­жить, что пло­щадь не пре­взой­дет 3,5, а по­то­му долж­на быть округ­ле­на до 3.

Вы­чис­ле­ние пло­ща­ди по фор­му­ле для ряда фигур дает силь­но за­вы­шен­ную по­греш­ность, по­это­му для боль­шин­ства эк­за­ме­на­ци­он­ных задач, в от­ли­чие от этой, на­хож­де­ние пло­ща­ди при­ме­не­ни­ем па­ле­ток с умень­ша­ю­щим­ся шагом сетки обыч­но дает хо­ро­ший ре­зуль­тат при од­но­крат­ном де­ле­нии ис­ход­ных кле­ток на 4 части по вер­ти­ка­ли и го­ри­зон­та­ли, то есть всего на 16 ча­стей. Но бы­ва­ет и не так, в за­да­че 523387 де­ле­ние на 4 клет­ки при­ве­дет к не­вер­но­му от­ве­ту.

Такой спо­соб рас­че­та может ока­зать­ся более тру­до­ем­ким, чем пред­ло­жен­ный выше ос­нов­ной спо­соб ре­ше­ния, од­на­ко он яв­ля­ет­ся пол­но­стью фор­ма­ли­зо­ван­ным и не тре­бу­ет твор­че­ских уси­лий.

Ре­ше­ние. Пусть длина ис­ко­мой сто­ро­ны равна Про­ведём от­ре­зок, па­рал­лель­ный го­ри­зон­таль­ной пря­мой, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, тогда   — катет по­лу­чив­ше­го­ся пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Сле­до­ва­тель­но, длина ис­ко­мой сто­ро­ны равна

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна пло­ща­ди по­верх­но­сти пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да с реб­ра­ми 3, 5, 5:

Ответ: 110.

Ре­ше­ние. Пло­ща­ди кру­гов от­но­сят­ся как квад­ра­ты их ра­ди­у­сов. Ра­ди­ус внеш­не­го круга равен 6, ра­ди­ус внут­рен­не­го равен 3. По­сколь­ку ра­ди­ус боль­ше­го круга вдвое боль­ше ра­ди­у­са наи­мень­ше­го круга, пло­щадь боль­ше­го круга вчет­ве­ро боль­ше пло­ща­ди мень­ше­го. Сле­до­ва­тель­но, она равна 4. Пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­дей кру­гов: 4 − 1  =  3.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Найдём пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды:

Те­перь можем найти объём пи­ра­ми­ды ABCD:

Ответ: 144.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 80,625.

Ре­ше­ние. Найдём ко­ли­че­ство про­цен­тов в одной части:

Найдём ко­ли­че­ство про­цен­тов го­ло­сов в двух ча­стях:

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку то По­сколь­ку (3 чет­верть), то

Ответ: −0,6.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 12,5.

Ре­ше­ние. Решим каж­дое из не­ра­венств.

А)  Кор­ня­ми квад­рат­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа Тогда ре­ше­ни­ем дан­но­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся про­ме­жу­ток

Б)  Кор­ня­ми квад­рат­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа Тогда ре­ше­ни­ем дан­но­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся про­ме­жу­ток

В)  Кор­ня­ми квад­рат­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа Тогда ре­ше­ни­ем дан­но­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся про­ме­жу­ток

Г)  Кор­ня­ми квад­рат­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа Тогда ре­ше­ни­ем дан­но­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся про­ме­жу­ток

Ответ: 3124.

Ре­ше­ние. Число имеет оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 5 и на 6. Сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 30, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше пяти. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид:

При ни одно из чисел не боль­ше 400.

При : 421, 422, 423, 424. Пер­вая слева цифра не яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр.

При : 451, 452, 453, 454. Число 453 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Также под­хо­дят числа 573 и 693.

Ответ: 453, или 573, или 693.

Ре­ше­ние. Если бы зар­пла­та мужа уве­ли­чи­лась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%, то есть зар­пла­та мужа со­став­ля­ет 67% до­хо­да семьи. Если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась втрое, общий доход семьи со­кра­тил­ся бы на 4%, то есть 2/⁠3 сти­пен­дии со­став­ля­ют 4% до­хо­да семьи, а вся сти­пен­дия до­че­ри со­став­ля­ет 6% до­хо­да семьи. Таким об­ра­зом, доход жены со­став­ля­ет 100% − 67% − 6%  =  27% до­хо­да семьи.

Ответ: 27.

Ре­ше­ние. Груз­дей мак­си­мум 16 (иначе можно было бы взять 17 груз­дей и усло­вие бы не вы­пол­ни­лось). Ры­жи­ков мак­си­мум 24 (иначе можно было бы взять 25 ры­жи­ков в на­ру­ше­ние усло­вия). Из­вест­но, что в кор­зи­не всего 40 гри­бов. По­это­му груз­дей ровно 16, а ры­жи­ков ровно 24.

Ответ: 24.