Если число де­лит­ся на 45, то оно также де­лит­ся на 5 и на 9. Если число де­лит­ся на 5, то его по­след­нюю цифра равна 0 или 5, а если число де­лит­ся на 9, то и сумма его цифр тоже де­лит­ся на 9. Пусть наше число имеет вид abcd, тогда усло­вие можно за­пи­сать вот так:

Бла­го­да­ря пер­во­му не­ра­вен­ству, сумма цифр может иметь всего 4 зна­че­ния: 9, 18, 27 и 36. Так как сумма не может быть равна 36. Также d не может рав­нять­ся 0, так как тогда бы про­из­ве­де­ние рав­ня­лось 0, а этого быть не может. Зна­чит,

Если сумма равна 9, то про­из­ве­де­ние равно Тогда а осталь­ные цифры при­ни­ма­ют зна­че­ния из на­бо­ра 1, 1, 2.

Если сумма равна 18, то про­из­ве­де­ние равно 19, что яв­ля­ет­ся про­стым чис­лом, то есть его нель­зя раз­ло­жить на про­из­ве­де­ние чисел мень­ших 10.

Если сумма равна 27, то про­из­ве­де­ние равно 5 не вхо­дит в раз­ло­же­ние, про­ти­во­ре­чие.

Итого имеем числа: 1125, 1215, 2115.

Ответ: 1125 или 1215, или 2115.