PDF-версии: 
Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 19, сумма цифр которого
Решение. Если хотя бы одна цифра в записи числа — нуль, то произведение цифр равно 0, и тогда их сумма равна 1. Единственное такое четырёхзначное число — 1000, но оно не кратно 19. Поэтому нулей среди цифр нет. Отсюда следует, что все цифры не меньше 1 и их сумма не меньше четырёх, а значит, произведение цифр не меньше трёх. Чтобы произведение было не меньше трёх, хотя бы одна из цифр должна быть больше 1. Рассмотрим такие числа в порядке возрастания суммы их цифр.
Если сумма цифр равна 5, то число записывается одной двойкой и тремя единицами (это числа 1112, 1121, 1211, 2111). Произведение цифр равно 2, поэтому они не удовлетворяют условию.
Если сумма цифр равна 6, то число записывается одной тройкой и тремя единицами или двумя двойками и двумя единицами (это числа 1113, 1131, 1311, 3111, 1122, 1212, ...). Произведение цифр равно 3 или 4 соответственно, поэтому такие числа не удовлетворяют условию.
Если сумма цифр равна 7, то произведение должно быть равно 6. Это выполнено для чисел, записываемых тройкой, двойкой и двумя единицами. Поскольку число 3211 кратно 19, оно и является искомым.
Ответ: 3211.
Примечание.
Четырёхзначное число, обладающее требуемыми свойствами, единственно. Покажем это, приведя другое решение.
Приведём решение Дмитрия Мухина (Москва).
Пусть a, b, c, d — цифры числа и пусть а самая большая из них (порядок цифр не важен). Покажем, что произведение меньших цифр не больше четырёх. Действительно, из равенства a + b + c + d = 1 + abcd получаем 4a ≥ abcd + 1. Деля на наибольшую цифру a, получаем, что bcd < 4.
Рассмотрим теперь следующие случаи.
1. Пусть среди чисел b, c, d есть нуль, тогда поскольку a + b + c + d = 1, это число 1000, но оно
2. Пусть все три меньшие цифры равны единице, тогда a + 3 = a + 1. Этот случай невозможен.
3. Пусть меньшие цифры — это две единицы и двойка. Тогда a + 4 = 2a + 1, откуда a = 3. Перебирая 12 чисел, составленных из цифр 1, 1, 2, 3, находим, что из них кратно 19 только число 3211. Оно и является ответом.
4. Пусть меньшие цифры — это две единицы и тройка. Тогда a + 5 = 3a + 1. Отсюда a = 2, но тогда a не наибольшая цифра. Противоречие.
Поскольку bcd < 4, других вариантов нет. Искомое число единственно, оно равно 3211.