Решение. Если число делится на 18, то оно делится одновременно и на 9, и на 2. Так как сумма цифр искомого числа равна 18, то оно автоматически будет делиться на 9. Из признака делимости на 2 следует, что число должно быть четным.
Представим искомое число в виде abcd. Так как число 1000 < abcd < 1300, то a = 1, а сумма b + c + d = 17, и d должно быть обязательно четным. Рассмотрим все случаи.
Пусть d = 0, тогда b + с = 17, откуда следует, что возможны следующие комбинации b и c: 8 и 9, 9 и 8. Числа 1980 и 1890 больше 1300, следовательно, ни одно из этих чисел не подходит.
Пусть d = 2, тогда b + с = 15, откуда следует, что возможны следующие комбинации b и c: 6 и 9, 7 и 8, 8 и 7, 9 и 6. Числа 1692, 1782, 1872 и 1962 больше 1300, следовательно, ни одно из этих чисел не подходит.
Пусть d = 4, тогда b + с = 13, откуда следует, что возможны следующие комбинации b и c: 9 и 4, 8 и 5, 7 и 6, 6 и 7, 5 и 8, 4 и 9. Числа 1944, 1854, 1764, 1674, 1584 и 1494 больше 1300, следовательно, ни одно из этих чисел не подходит.
Пусть d = 6, тогда b + с = 11, откуда следует, что возможны следующие комбинации b и c: 9 и 2, 8 и 3, 7 и 4, 6 и 5, 5 и 6, 4 и 7, 3 и 8, 2 и 9. Среди чисел 1926, 1836, 1746, 1656, 1566, 1476, 1386 и 1296 только число 1296 кратно 18 и меньше 1300, следовательно, искомое число abcd — 1296.
Пусть d = 8, тогда b + с = 9, откуда следует, что возможны следующие комбинации b и c: 0 и 9, 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5, 5 и 4, 6 и 3, 7 и 2, 8 и 1, 9 и 0. Среди чисел 1098, 1188, 1278, 1368, 1458, 1548, 1638, 1728, 1818 и 1908 только числа 1098, 1188 и 1278 кратны 18 и меньше 1300, следовательно, искомые числа abcd — 1188 и 1278.
Ответ: 1098, 1188, 1278 или 1296.
Приведем другое решение.
Если число делится на 18, то оно делится одновременно и на 9, и на 2. Так как сумма цифр искомого числа равна 18, то оно автоматически будет делиться на 9. Из признака делимости на 2 следует, что число должно быть четным, то есть последняя цифра должна быть четной. Число должно быть больше 1000, но меньше 1300, следовательно, оно должно начинаться на 10, 11 или 12.
Если число начинается на 10, то две оставшиеся цифры в сумме должны дать 17, что возможно только для варианта 9 + 8, получим число 1098.
Если число начинается на 11, то оставшиеся две цифры в сумме должны дать 16, что возможно только для варианта 8 + 8, получим число 1188.
Если число начинается на 12, то оставшиеся две цифры в сумме должны дать 15, что возможно для вариантов 9 + 6 и 7 + 8, получим числа 1296 и 1278.
