Ре­ше­ние. Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. Если число де­лит­ся на 24, то оно также де­лит­ся на 3 и на 8. По­сколь­ку сумма цифр ис­ко­мо­го числа равна 21, то оно ав­то­ма­ти­че­ски будет де­лить­ся на 3. Число де­лит­ся на 8 тогда и толь­ко тогда, когда три его по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, ко­то­рое де­лит­ся на 8. По­сколь­ку число abcd < 2000, то a  =  1, а сумма b + c + d  =  20 и d долж­но быть обя­за­тель­но чет­ным. Рас­смот­рим все слу­чаи.

До­пу­стим, что d  =  0, тогда b + с  =  20, что не­воз­мож­но в силу

До­пу­стим, что d  =  2, тогда b + с  =  18, от­ку­да сле­ду­ет, что b  =  c  =  9. Число 992 де­лит­ся на 8, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число abcd  — 1992.

До­пу­стим, что d  =  4, тогда b + с  =  16, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 7 и 9, 8 и 8. Среди чисел 794, 974, 884 ни одно не крат­но 8, по­это­му

До­пу­стим, что d  =  6, тогда b + с  =  14, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 5 и 9, 6 и 8, 7 и 7. Среди чисел 596, 956, 686, 868, 776 толь­ко число 776 крат­но 8, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число abcd  — 1776.

До­пу­стим, что d  =  8, тогда b + с  =  12, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7, 6 и 6. Среди чисел 398, 938, 488, 848, 578, 758, 668 толь­ко числа 488, 848 крат­ны 8, од­на­ко по­лу­чен­ное число 1488 не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию abcd > 1500, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число abcd  — 1848.

Ответ: 1776, или 1848, или 1992.

Ре­ше­ние. Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. Если число де­лит­ся на 36, то оно также де­лит­ся на 4 и на 9. Так как сумма цифр ис­ко­мо­го числа равна 27, то оно ав­то­ма­ти­че­ски будет де­лить­ся на 9. Число де­лит­ся на 4 тогда и толь­ко тогда, когда две его по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, ко­то­рое де­лит­ся на 4. Так как число abcd < 6000, то a  =  5, а сумма b + c + d  =  22, и d долж­но быть обя­за­тель­но чет­ным. Рас­смот­рим все слу­чаи.

До­пу­стим, что d = 0, тогда b + с = 22, что не­воз­мож­но в силу

До­пу­стим, что d = 2, тогда b + с = 20, что не­воз­мож­но в силу

До­пу­стим, что d = 4, тогда b + с = 18, от­ку­да сле­ду­ет, что b  =  c  =  9. Число 94 не крат­но 4, сле­до­ва­тель­но, не крат­но 36.

До­пу­стим, что d = 6, тогда b + с = 16, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 7 и 9, 8 и 8. Среди чисел 96, 76, 86 числа 96 и 76 крат­ны 4, по­это­му ис­ко­мое число abcd может быть равно 5796 и 5976.

До­пу­стим, что d = 8, тогда b + с = 14, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 5 и 9, 6 и 8, 7 и 7. Среди чисел 58, 98, 68, 88, 78 толь­ко числа 68, 88 крат­ны 4, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число abcd может быть равно 5868, 5688.

Ответ: 5688, или 5796, или 5868, или 5976.

Ре­ше­ние. Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. Если число де­лит­ся на 24, то оно также де­лит­ся на 3 и на 8. Так как сумма цифр ис­ко­мо­го числа равна 24, то оно ав­то­ма­ти­че­ски будет де­лить­ся на 3. Число де­лит­ся на 8 тогда и толь­ко тогда, когда три его по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, ко­то­рое де­лит­ся на 8. Так как число abcd < 2000, то a  =  1, а сумма b + c + d  =  23, и d долж­но быть обя­за­тель­но чет­ным. Рас­смот­рим все слу­чаи.

До­пу­стим, что d = 0, тогда b + с = 23, что не­воз­мож­но в силу

До­пу­стим, что d = 2, тогда b + с = 21, что не­воз­мож­но в силу

До­пу­стим, что d = 4, тогда b + с = 19, что не­воз­мож­но в силу

До­пу­стим, что d = 6, тогда b + с = 17, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 8 и 9. Среди чисел 896, 986 толь­ко число 896 крат­но 8, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число abcd  — 1896.

До­пу­стим, что d = 8, тогда b + с = 15, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 6 и 9, 7 и 8. Среди чисел 698, 968, 788, 878 толь­ко число 968 крат­но 8, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число abcd  — 1968.

Ответ: 1896 или 1968.

Ре­ше­ние. Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. Если число де­лит­ся на 60, то оно также де­лит­ся на 3 и на 20. Так как сумма цифр ис­ко­мо­го числа равна 12, то оно ав­то­ма­ти­че­ски будет де­лить­ся на 3. Число де­лит­ся на 20 тогда и толь­ко тогда, когда число окан­чи­ва­ет­ся на ноль, а пред­по­след­няя цифра чет­ная. Так как число abcd < 3000, то a  =  2, а сумма b + c + d  =  10, и d долж­но быть обя­за­тель­но равно нулю, с  — обя­за­тель­но чет­ное. Рас­смот­рим все слу­чаи.

До­пу­стим, что с = 0, тогда b = 10, что не­воз­мож­но в силу

До­пу­стим, что с = 2, тогда b = 8, от­ку­да сле­ду­ет, что abcd = 2820  — ис­ко­мое число.

До­пу­стим, что с = 4, тогда b = 6, от­ку­да сле­ду­ет, что abcd = 2640  — ис­ко­мое число.

До­пу­стим, что с = 6, тогда b = 4, от­ку­да сле­ду­ет, что abcd = 2460  — ис­ко­мое число.

До­пу­стим, что с = 8, тогда b =2, от­ку­да сле­ду­ет, что abcd = 2280  — ис­ко­мое число.

Ответ: 2280, или 2460, или 2640, или 2820.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 18, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 9, и на 2. Так как сумма цифр ис­ко­мо­го числа равна 18, то оно ав­то­ма­ти­че­ски будет де­лить­ся на 9. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 2 сле­ду­ет, что число долж­но быть чет­ным.

Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. Так как число 1000 < abcd < 1300, то a  =  1, а сумма b + c + d  =  17, и d долж­но быть обя­за­тель­но чет­ным. Рас­смот­рим все слу­чаи.

Пусть d = 0, тогда b + с = 17, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 8 и 9, 9 и 8. Числа 1980 и 1890 боль­ше 1300, сле­до­ва­тель­но, ни одно из этих чисел не под­хо­дит.

Пусть d = 2, тогда b + с = 15, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 6 и 9, 7 и 8, 8 и 7, 9 и 6. Числа 1692, 1782, 1872 и 1962 боль­ше 1300, сле­до­ва­тель­но, ни одно из этих чисел не под­хо­дит.

Пусть d = 4, тогда b + с = 13, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 9 и 4, 8 и 5, 7 и 6, 6 и 7, 5 и 8, 4 и 9. Числа 1944, 1854, 1764, 1674, 1584 и 1494 боль­ше 1300, сле­до­ва­тель­но, ни одно из этих чисел не под­хо­дит.

Пусть d = 6, тогда b + с = 11, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 9 и 2, 8 и 3, 7 и 4, 6 и 5, 5 и 6, 4 и 7, 3 и 8, 2 и 9. Среди чисел 1926, 1836, 1746, 1656, 1566, 1476, 1386 и 1296 толь­ко число 1296 крат­но 18 и мень­ше 1300, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число abcd  — 1296.

Пусть d = 8, тогда b + с = 9, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 0 и 9, 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5, 5 и 4, 6 и 3, 7 и 2, 8 и 1, 9 и 0. Среди чисел 1098, 1188, 1278, 1368, 1458, 1548, 1638, 1728, 1818 и 1908 толь­ко числа 1098, 1188 и 1278 крат­ны 18 и мень­ше 1300, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мые числа abcd  — 1188 и 1278.

Ответ: 1098, 1188, 1278 или 1296.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Если число де­лит­ся на 18, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 9, и на 2. Так как сумма цифр ис­ко­мо­го числа равна 18, то оно ав­то­ма­ти­че­ски будет де­лить­ся на 9. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 2 сле­ду­ет, что число долж­но быть чет­ным, то есть по­след­няя цифра долж­на быть чет­ной. Число долж­но быть боль­ше 1000, но мень­ше 1300, сле­до­ва­тель­но, оно долж­но на­чи­нать­ся на 10, 11 или 12.

Если число на­чи­на­ет­ся на 10, то две остав­ши­е­ся цифры в сумме долж­ны дать 17, что воз­мож­но толь­ко для ва­ри­ан­та 9 + 8, по­лу­чим число 1098.

Если число на­чи­на­ет­ся на 11, то остав­ши­е­ся две цифры в сумме долж­ны дать 16, что воз­мож­но толь­ко для ва­ри­ан­та 8 + 8, по­лу­чим число 1188.

Если число на­чи­на­ет­ся на 12, то остав­ши­е­ся две цифры в сумме долж­ны дать 15, что воз­мож­но для ва­ри­ан­тов 9 + 6 и 7 + 8, по­лу­чим числа 1296 и 1278.

Ре­ше­ние. Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. Если число де­лит­ся на 24, то оно также де­лит­ся на 3 и на 8. Так как сумма цифр ис­ко­мо­го числа равна 24, то оно ав­то­ма­ти­че­ски будет де­лить­ся на 3. Число де­лит­ся на 8 тогда и толь­ко тогда, когда три его по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, ко­то­рое де­лит­ся на 8. Так как число 3500 < abcd < 4000, то a  =  3, а сумма b + c + d  =  21, и d долж­но быть обя­за­тель­но чет­ным. Рас­смот­рим все слу­чаи.

До­пу­стим, что d = 0, тогда b + с = 21, что не­воз­мож­но в силу

До­пу­стим, что d = 2, тогда b + с = 19, что не­воз­мож­но в силу

До­пу­стим, что d = 4, тогда b + с = 17, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 8 и 9. Среди чисел 894, 984 толь­ко число 984 крат­но 8, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число abcd  — 3984.

До­пу­стим, что d = 6, тогда b + с = 15, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 6 и 9, 7 и 8. Среди чисел 696, 966, 786 и 876 толь­ко число 696 крат­но 8, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число abcd  — 3696.

До­пу­стим, что d = 8, тогда b + с = 13, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7. Среди чисел 498, 948, 588, 858, 678, 768 толь­ко число 768 крат­но 8, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число abcd  — 3768.

Ответ: 3696 или 3984 или 3768.