Если число де­лит­ся на 18, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 9, и на 2. Так как сумма цифр ис­ко­мо­го числа равна 18, то оно ав­то­ма­ти­че­ски будет де­лить­ся на 9. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 2 сле­ду­ет, что число долж­но быть чет­ным.

Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. Так как число 1000 < abcd < 1300, то a  =  1, а сумма b + c + d  =  17, и d долж­но быть обя­за­тель­но чет­ным. Рас­смот­рим все слу­чаи.

Пусть d = 0, тогда b + с = 17, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 8 и 9, 9 и 8. Числа 1980 и 1890 боль­ше 1300, сле­до­ва­тель­но, ни одно из этих чисел не под­хо­дит.

Пусть d = 2, тогда b + с = 15, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 6 и 9, 7 и 8, 8 и 7, 9 и 6. Числа 1692, 1782, 1872 и 1962 боль­ше 1300, сле­до­ва­тель­но, ни одно из этих чисел не под­хо­дит.

Пусть d = 4, тогда b + с = 13, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 9 и 4, 8 и 5, 7 и 6, 6 и 7, 5 и 8, 4 и 9. Числа 1944, 1854, 1764, 1674, 1584 и 1494 боль­ше 1300, сле­до­ва­тель­но, ни одно из этих чисел не под­хо­дит.

Пусть d = 6, тогда b + с = 11, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 9 и 2, 8 и 3, 7 и 4, 6 и 5, 5 и 6, 4 и 7, 3 и 8, 2 и 9. Среди чисел 1926, 1836, 1746, 1656, 1566, 1476, 1386 и 1296 толь­ко число 1296 крат­но 18 и мень­ше 1300, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число abcd  — 1296.

Пусть d = 8, тогда b + с = 9, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c: 0 и 9, 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5, 5 и 4, 6 и 3, 7 и 2, 8 и 1, 9 и 0. Среди чисел 1098, 1188, 1278, 1368, 1458, 1548, 1638, 1728, 1818 и 1908 толь­ко числа 1098, 1188 и 1278 крат­ны 18 и мень­ше 1300, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мые числа abcd  — 1188 и 1278.

Ответ: 1098, 1188, 1278 или 1296.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Если число де­лит­ся на 18, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 9, и на 2. Так как сумма цифр ис­ко­мо­го числа равна 18, то оно ав­то­ма­ти­че­ски будет де­лить­ся на 9. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 2 сле­ду­ет, что число долж­но быть чет­ным, то есть по­след­няя цифра долж­на быть чет­ной. Число долж­но быть боль­ше 1000, но мень­ше 1300, сле­до­ва­тель­но, оно долж­но на­чи­нать­ся на 10, 11 или 12.

Если число на­чи­на­ет­ся на 10, то две остав­ши­е­ся цифры в сумме долж­ны дать 17, что воз­мож­но толь­ко для ва­ри­ан­та 9 + 8, по­лу­чим число 1098.

Если число на­чи­на­ет­ся на 11, то остав­ши­е­ся две цифры в сумме долж­ны дать 16, что воз­мож­но толь­ко для ва­ри­ан­та 8 + 8, по­лу­чим число 1188.

Если число на­чи­на­ет­ся на 12, то остав­ши­е­ся две цифры в сумме долж­ны дать 15, что воз­мож­но для ва­ри­ан­тов 9 + 6 и 7 + 8, по­лу­чим числа 1296 и 1278.