Ре­ше­ние. Число имеет оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 5 и на 6. Сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 30, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше пяти. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид:

При ни одно из чисел не боль­ше 400.

При : 421, 422, 423, 424. Пер­вая слева цифра не яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр.

При : 451, 452, 453, 454. Число 453 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Также под­хо­дят числа 573 и 693.

Ответ: 453, или 573, или 693.

Ре­ше­ние. По мо­ду­лю 5 и 8 число имеет оди­на­ко­вые остат­ки. Оно будет иметь тот же оста­ток и при де­ле­нии на 40. Этот оста­ток боль­ше нуля и мень­ше пяти. Пусть наше число имеет вид тогда имеем:

За­ме­тим, также, что ис­ко­мое число долж­но быть чётным. Пе­ре­берём все ва­ри­ан­ты, их че­ты­ре: 564, 684.

Ответ: 564; 684.

Ре­ше­ние. Если число даёт оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 4 и на 15, то оно даёт такой же оста­ток и при де­ле­нии на 60. То есть те­перь мы знаем, что на наше число имеет вид То есть раз­ность на­ше­го числа и p долж­на де­лить­ся на 60, то есть число, об­ра­зо­ван­ное пер­вы­ми двумя циф­ра­ми, долж­но де­лить­ся на 6. А если число де­лит­ся на 6, то оно также де­лит­ся на 2 и на 3. А это зна­чит, что по­след­няя его цифра чётная, а сумма цифр де­лит­ся на 3. А из усло­вия на сред­нее ариф­ме­ти­че­ское сле­ду­ет, что сумма этих цифр также чётная. Под все эти усло­вия под­хо­дят числа 24, 42 и 60. А со­от­вет­ству­ю­щие им ис­ход­ные числа будут равны 243, 423 и 603.

Ре­ше­ние. Если число даёт оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 4 и на 15, то оно даёт такой же оста­ток и при де­ле­нии на 60. То есть те­перь мы знаем, что на наше число имеет вид То есть раз­ность на­ше­го числа и p долж­на де­лить­ся на 60, то есть число, об­ра­зо­ван­ное пер­вы­ми двумя циф­ра­ми, долж­но де­лить­ся на 6. А если число де­лит­ся на 6, то оно также де­лит­ся на 2 и на 3. А это зна­чит, что по­след­няя его цифра чётная, а сумма цифр де­лит­ся на 3. А из усло­вия на сред­нее ариф­ме­ти­че­ское сле­ду­ет, что сумма этих цифр также чётная. Под все эти усло­вия под­хо­дят числа 24, 42 и 60. А со­от­вет­ству­ю­щие им ис­ход­ные числа будут равны 243, 423 и 603.

Ре­ше­ние. Число имеет оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на и а, сле­до­ва­тель­но, при де­ле­нии этого числа на в остат­ке тоже будет Таким об­ра­зом, число имеет вид:

При Ни одно из чисел не боль­ше 600

При : 601. Цифры в за­пи­си слева на­пра­во не рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния.

При : 661. Цифры в за­пи­си слева на­пра­во не рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния.

При : 721.

Также под­хо­дят числа 841 и 961.

Ответ: 721 или 841 или 961

Ре­ше­ние. Число имеет оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 4, 5 и 6, а сле­до­ва­тель­но, при де­ле­нии этого числа на 60, в остат­ке тоже будет 2. Таким об­ра­зом, число имеет вид:

При : 62.

При : 122. При­сут­ству­ет нечётное число.

Также под­хо­дят числа 242, 422, 482, 602, 662 и 842.

Ответ: 242 или 422 или 482 или 602 или 662 или 842.

Ре­ше­ние. Число имеет оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 3, 4 и 5, а, сле­до­ва­тель­но, при де­ле­нии этого числа на 60, в остат­ке тоже будет 2. Таким об­ра­зом, число имеет вид:

При : все числа мень­ше 500.

При : 542. Три раз­лич­ные цифры.

При : 602. Три раз­лич­ные цифры.

При : 662.

Также под­хо­дит число 722.

Ответ: 662 или 722.

Ре­ше­ние. Число имеет оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на и а, сле­до­ва­тель­но, при де­ле­нии этого числа на в остат­ке тоже будет Таким об­ра­зом, число имеет вид:

При : 107. Три раз­лич­ные цифры.

При : 212.

Также под­хо­дят числа 422 и 737.

Ответ: 212 или 422 или 737.