Ре­ше­ние. По мо­ду­лю 6 и 11 число имеет оди­на­ко­вые остат­ки, сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 66, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше шести. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид:

При по­лу­ча­ем: 67, 68, 69, 70, 71. Все эти числа не яв­ля­ют­ся трёхзнач­ны­ми.

При по­лу­ча­ем: 133, 134, 135, 136, 137. Число 135 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: 135.

Ре­ше­ние. По мо­ду­лю 4 и 15 число имеет оди­на­ко­вые остат­ки, сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 60, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше че­ты­рех. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид:

При по­лу­ча­ем: 61, 62, 63. Все эти числа не яв­ля­ют­ся трёхзнач­ны­ми.

При по­лу­ча­ем: 121, 122, 123. Число 123 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: 123, 543, 963.

Ре­ше­ние. Найдём все трёхзнач­ные числа, боль­шие пя­ти­сот, такие, что сред­няя цифра равна сред­не­му ариф­ме­ти­че­ско­му край­них. Пусть пер­вая цифра числа 5, тогда если по­след­няя цифра чётная, то сред­няя  — не целое число. Сле­до­ва­тель­но, по­след­няя цифра долж­на быть нечётной, тогда это 1, 3, 5, 7 или 9. Сред­нюю цифру на­хо­дим как сред­нее ариф­ме­ти­че­ское край­них. По­лу­ча­ем: 531, 543, 555, 567, 579.

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, на­хо­дим остав­ши­е­ся трёхзнач­ные числа, об­ла­да­ю­щие этим свой­ством: 630, 642, 654, 666, 678, 741, 753, 777, 789, 840, 852, 864, 876, 888, 951, 963, 975, 987, 999.

Опре­де­лим, какие из най­ден­ных чисел дают оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 5 и на 6. Это числа 543 (оста­ток 3), 630 (оста­ток 0), 753 (оста­ток 3), 840 (оста­ток 0), 963 (оста­ток 3).

Не­ну­ле­вые рав­ные остат­ки дают числа 543, 753, 963.

Ре­ше­ние. Число даёт оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 5 и 8. Зна­чит, оно даёт такой же оста­ток и по мо­ду­лю 40. То есть число имеет вид Пер­вая цифра не мень­ше 5. Пер­вая и по­след­няя цифры в сумме дают чётное число. Раз­ность числа и p де­лит­ся на 40, то есть число, об­ра­зо­ван­ное пер­вы­ми двумя циф­ра­ми, де­лит­ся на 4. Те­перь можно вы­пи­сать все числа, ко­то­рые под­хо­дят под эти усло­вия: 642, 963.

Ре­ше­ние. Если число даёт оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 4 и на 15, то оно даёт такой же оста­ток и при де­ле­нии на 60. То есть те­перь мы знаем, что на наше число имеет вид То есть раз­ность на­ше­го числа и p долж­на де­лить­ся на 60, то есть число, об­ра­зо­ван­ное пер­вы­ми двумя циф­ра­ми, долж­но де­лить­ся на 6. А если число де­лит­ся на 6, то оно также де­лит­ся на 2 и на 3. А это зна­чит, что по­след­няя его цифра чётная, а сумма цифр де­лит­ся на 3. Из усло­вия на сред­нее ариф­ме­ти­че­ское также сле­ду­ет, что сумма пер­вой и по­след­ней цифры в ис­ход­ном числе чётная. Пе­ре­берём по­след­нюю и вто­рую цифры, а по ним од­но­знач­но вос­ста­но­вим первую и по­лу­чим числа: 123, 543, 963.

Ре­ше­ние. Число имеет оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 8 и на 5, сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 40, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше пяти. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид:

При Ни одно из чисел не боль­ше 500

При : 521, 522, 523, 524. Сред­няя цифра не яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр

При : 641, 642, 643, 644. Число 642 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

При : 961, 962, 963, 964. Число 963 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ре­ше­ние. Число имеет оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 4 и на 15, сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 60, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше 4. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид:

При Ни одно из чисел не трех­знач­ное

При : 121, 122, 123. Число 123 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи

При : 181, 182, 183. Сред­няя цифра не яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр

При : 541, 542, 543. Число 543 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи

При : 961, 962, 963. Число 963 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи

Ответ: 123, 543, 963

Ре­ше­ние. Найдём все трёхзнач­ные числа, боль­шие пя­ти­сот, такие, что сред­няя цифра равна сред­не­му ариф­ме­ти­че­ско­му край­них. Пусть пер­вая цифра числа 5, тогда если по­след­няя цифра чётная, то сред­няя  — не целое число. Сле­до­ва­тель­но, по­след­няя цифра долж­на быть нечётной, тогда это 1, 3, 5, 7 или 9. Сред­нюю цифру на­хо­дим как сред­нее ариф­ме­ти­че­ское край­них. По­лу­ча­ем: 531, 543, 555, 567, 579.

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, на­хо­дим остав­ши­е­ся трёхзнач­ные числа, об­ла­да­ю­щие этим свой­ством: 630, 642, 654, 666, 678, 741, 753, 777, 789, 840, 852, 864, 876, 888, 951, 963, 975, 987, 999.

Опре­де­лим, какие из най­ден­ных чисел дают оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 8 и на 5. Это числа 642 (оста­ток 2), 840 (оста­ток 0), 963 (оста­ток 3).

Не­ну­ле­вые рав­ные остат­ки дают числа 642, 963.

Ответ: 642 или 963.

Ре­ше­ние. Найдём все трёхзнач­ные числа, боль­шие пя­ти­сот, такие, что сред­няя цифра равна сред­не­му ариф­ме­ти­че­ско­му край­них. Пусть пер­вая цифра числа 5, тогда если по­след­няя цифра чётная, то сред­няя  — не целое число. Сле­до­ва­тель­но, по­след­няя цифра долж­на быть нечётной, тогда это 1, 3, 5, 7 или 9. Сред­нюю цифру на­хо­дим как сред­нее ариф­ме­ти­че­ское край­них. По­лу­ча­ем: 531, 543, 555, 567, 579.

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, на­хо­дим остав­ши­е­ся трёхзнач­ные числа, об­ла­да­ю­щие этим свой­ством: 630, 642, 654, 666, 678, 741, 753, 777, 789, 840, 852, 864, 876, 888, 951, 963, 975, 987, 999.

Опре­де­лим, какие из най­ден­ных чисел дают оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 6 и на 5. Это числа 543 (оста­ток 3), 753 (оста­ток 3), 963 (оста­ток 3).

Не­ну­ле­вые рав­ные остат­ки дают числа 543, 753, 963.

Ответ: 543, или 753, или 963.

Ре­ше­ние. Найдём все трёхзнач­ные числа, мень­шие пя­ти­сот, такие, что по­след­няя цифра равна сред­не­му ариф­ме­ти­че­ско­му край­них. Пусть пер­вая цифра числа 1, тогда если вто­рая цифра чётная, то по­след­няя  — не целое число. Сле­до­ва­тель­но, сред­няя цифра долж­на быть нечётной, тогда это 1, 3, 5, 7 или 9. По­след­нюю цифру на­хо­дим как сред­нее ариф­ме­ти­че­ское край­них. По­лу­ча­ем: 111, 132, 153, 174, 195.

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, на­хо­дим остав­ши­е­ся трёхзнач­ные числа, об­ла­да­ю­щие этим свой­ством: 201, 222, 243, 264, 285, 312, 333, 354, 375, 396, 402, 423, 444, 465, 486.

От­бро­сив числа, крат­ные 6 или 5, по­лу­чим набор из чисел 111, 153, 201, 243, 333 и 423. Из этих шести рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки при де­ле­нии и на 5, и на 6, имеют: 153, 243, 333, 423. Все они дают в остат­ке от де­ле­ния 3.

Ответ: 153, или 243, или 333, или 423.

Ре­ше­ние. Число имеет оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 4 и на 15, сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 60, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше 4. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид: 60n + 1, 60n + 2, 60n + 3.

Вы­пи­шем все трёхзнач­ные числа, по­след­няя цифра ко­то­рых яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух пер­вых, и пред­ста­вим их в виде где

Те­перь видно все под­хо­дя­щие нам ва­ри­ан­ты. Это числа 243, 423 и 603; все они дают оста­ток 3 при де­ле­нии и на 4, и на 15.

Ответ: 243, 423, 603.