Приведите пример трёхзначного натурального числа большего 500, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.
Найдём все трёхзначные числа, большие пятисот, такие, что средняя цифра равна среднему арифметическому крайних. Пусть первая цифра числа 5, тогда если последняя цифра чётная, то средняя — не целое число. Следовательно, последняя цифра должна быть нечётной, тогда это 1, 3, 5, 7 или 9. Среднюю цифру находим как среднее арифметическое крайних. Получаем: 531, 543, 555, 567, 579.
Рассуждая аналогично, находим оставшиеся трёхзначные числа, обладающие этим свойством: 630, 642, 654, 666, 678, 741, 753, 777, 789, 840, 852, 864, 876, 888, 951, 963, 975, 987, 999.
Определим, какие из найденных чисел дают одинаковые остатки при делении на 5 и на 6. Это числа 543 (остаток 3), 630 (остаток 0), 753 (остаток 3), 840 (остаток 0), 963 (остаток 3).
Ненулевые равные остатки дают числа 543, 753, 963.
Почему нет чисел 630 и 840? Они трёхзначные и большее 500, у обоих средняя цифра является средним арифметическим крайних цифр, оба делятся на 5 и на 6 без остатков.
Потому и не подходят, что без остатков.
Уточните, пожалуйста, разве остаток не должен быть одинаковым в обоих случаях? Здесь остатки разные:
543:5 = 108,6
543:6 = 90,5
Знаки после запятой это не остатки.