Ре­ше­ние. Мор­ковь сто­и­ла Зна­чит, сдача со­ста­вит 36 руб­лей.

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. Пло­щадь рес­пуб­ли­ки Ка­ре­лия огром­на и впол­не может быть 180,5 тыс. кв. км., пло­щадь бад­мин­тон­ной пло­щад­ки около 81,7 кв. м., пло­щадь стра­ни­цы учеб­ни­ка ори­ен­ти­ро­воч­но 330 кв. см., а пло­щадь мо­не­ты на глаз около 300 кв. мм. По­лу­чим со­от­вет­ствие: Б  — 3, Г  — 1, А  — 2, В  — 4. Окон­ча­тель­но по­лу­чим 2341.

Ответ: 2341.

Ре­ше­ние. Из диа­грам­мы видно, что наи­боль­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра в пе­ри­од с сен­тяб­ря по де­кабрь со­став­ля­ла 12 °C (см. рис.).

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Под­став­ляя зна­че­ния υ⁰, t и a, по­лу­ча­ем:

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. В сред­нем из 1000 са­до­вых на­со­сов, по­сту­пив­ших в про­да­жу, 1000 − 5  =  995 не под­те­ка­ют. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что один слу­чай­но вы­бран­ный для кон­тро­ля насос не под­те­ка­ет, равна

Ответ: 0,995.

Ре­ше­ние. Масса пер­во­го че­мо­да­на пре­вы­ша­ет норму ба­га­жа.

Сумма трёх из­ме­ре­ний для вто­ро­го че­мо­да­на равна  см, масса удо­вле­тво­ря­ет нор­мам ба­га­жа, сле­до­ва­тель­но, вто­рой че­мо­дан можно сдать в багаж.

Сумма трёх из­ме­ре­ний для тре­тье­го че­мо­да­на равна  см, что пре­вы­ша­ет нормы ба­га­жа.

Масса чет­вер­то­го че­мо­да­на пре­вы­ша­ет норму ба­га­жа.

Масса пя­то­го че­мо­да­на пре­вы­ша­ет норму ба­га­жа.

Сумма трёх из­ме­ре­ний для ше­сто­го че­мо­да­на равна  см, масса удо­вле­тво­ря­ет нор­мам ба­га­жа, сле­до­ва­тель­но, ше­стой че­мо­дан можно сдать в багаж.

Ответ: 26.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дую из ха­рак­те­ри­стик.

1)  Функ­ция при­ни­ма­ет от­ри­ца­тель­ное зна­че­ние в каж­дой точке от­рез­ка [−1; 1]. Из пред­став­лен­ных функ­ций при­ни­ма­ет от­ри­ца­тель­ное зна­че­ние в каж­дой точке ука­зан­но­го от­рез­ка функ­ция Б.

2)  Функ­ция при­ни­ма­ет по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние в каж­дой точке от­рез­ка [−1; 1]. Из пред­став­лен­ных функ­ций при­ни­ма­ет по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние в каж­дой точке ука­зан­но­го от­рез­ка функ­ция В.

3)  Функ­ция убы­ва­ет на от­рез­ке [−1; 1]. Из пред­став­лен­ных функ­ций убы­ва­ет на ука­зан­ном от­рез­ке функ­ция А.

4)  Функ­ция воз­рас­та­ет на от­рез­ке [−1; 1]. Из пред­став­лен­ных функ­ций воз­рас­та­ет на ука­зан­ном от­рез­ке функ­ция Г.

Ответ: 3124.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пред­став­лен­ные утвер­жде­ния.

1.  В бас­кет­боль­ной ко­ман­де го­ро­да N обя­за­тель­но есть игрок, рост ко­то­ро­го равен 200 см  — не­вер­но, так как рост иг­ро­ков ко­леб­лет­ся от 180 до 195 см.

2.  В бас­кет­боль­ной ко­ман­де го­ро­да N нет иг­ро­ков с ро­стом 179 см  — верно, так как рост иг­ро­ков ко­леб­лет­ся от 180 до 195 см.

3.  Рост лю­бо­го бас­кет­бо­ли­ста этой ко­ман­ды мень­ше 195 см  — верно, так как рост каж­до­го из бас­кет­бо­ли­стов этой ко­ман­ды мень­ше 195 см.

4.  Раз­ни­ца в росте любых двух иг­ро­ков бас­кет­боль­ной ко­ман­ды го­ро­да N со­став­ля­ет более 15 см  — не­вер­но, так как в ко­ман­де при­сут­ству­ют иг­ро­ки от 180 до 195 см, при­чем не вклю­чая дан­ные ро­стов­ки.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го квад­ра­та, двух ма­лень­ких пря­мо­уголь­ни­ков и четырёх пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го четырёхуголь­ни­ка. По­это­му

При­ме­ча­ние.

Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка, диа­го­на­ли ко­то­ро­го пер­пен­ди­ку­ляр­ны, равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь равна 4.

Ре­ше­ние. Забор пред­став­ля­ет собой пря­мо­уголь­ник с от­сут­ству­ю­щим ку­соч­ком на одной из сто­рон. Пе­ри­метр дан­но­го пря­мо­уголь­ни­ка без учёта проёма: 2(70 + 25)  =  190 м. Учи­ты­вая длину проёма, по­лу­чим, что длина за­бо­ра: 190 − 4 = 186 м.

Ре­ше­ние. Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен раз­ни­це объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­дов со сто­ро­на­ми 5, 5, 4 и 1, 2, 5:

Ответ: 90.

Ре­ше­ние. Из­вест­но, что в рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции: Таким об­ра­зом, Сле­до­ва­тель­но, Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна Таким об­ра­зом,

Ответ: 49.

Ре­ше­ние. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной пи­ра­ми­ды равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на апо­фе­му. Апо­фе­му най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра как катет пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ги­по­те­ну­за ко­то­ро­го  — бо­ко­вое ребро, а дру­гой катет  — по­ло­ви­на сто­ро­ны ос­но­ва­ния: Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти

Ответ: 360.

Ре­ше­ние. Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: −1,3.

Ре­ше­ние. Цена на фут­бол­ку была сни­же­на на 500 − 390  =  110 руб­лей. Раз­де­лим 110 на 500:

Зна­чит, цена на фут­бол­ку была сни­же­на на 22%.

Ответ: 22.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: − 1.

Ре­ше­ние. От­ме­тим, что Тогда:

А)  mn

Б)  m + n

В)  

Г)  

Ответ: 3412.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 125, то оно долж­но де­лить­ся и на 25, а зна­чит, окан­чи­вать­ся на 25, 50, 75 и 00. Толь­ко 75 со­сто­ит из раз­лич­ных нечётных цифр. Сле­до­ва­тель­но, нужно по­до­брать такое четырёхзнач­ное число, ко­то­рое будет окан­чи­вать­ся на 75 и все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и нечётны. Среди чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щих этим усло­ви­ям, на 125 де­лят­ся числа 1375 и 9375.

Ответ: 1375, 9375.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Если число де­лит­ся на 125, то оно долж­но окан­чи­вать­ся на 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 или 875. Толь­ко для 375 все цифры раз­лич­ны и не­чет­ны. Сле­до­ва­тель­но, число долж­но окан­чи­вать­ся на 375, тогда пер­вой циф­рой может быть 1 или 9, по­лу­чим числа 1375 и 9375.

Ре­ше­ние. Ско­рость дви­же­ния ми­нут­ной стрел­ки 12 де­ле­ний/⁠час (под одним де­ле­ни­ем здесь под­ра­зу­ме­ва­ет­ся рас­сто­я­ние между со­сед­ни­ми циф­ра­ми на ци­фер­бла­те часов), а ча­со­вой  — 1 де­ле­ние/⁠час. До чет­вер­той встре­чи ми­нут­ной и ча­со­вой стре­лок ми­нут­ная долж­на сна­ча­ла 3 раза «обо­гнать» ча­со­вую, то есть прой­ти 3 круга по 12 де­ле­ний. Пусть после этого до чет­вер­той встре­чи ча­со­вая стрел­ка прой­дет L де­ле­ний. Тогда общий путь ми­нут­ной стрел­ки скла­ды­ва­ет­ся из най­ден­ных 36 де­ле­ний, ещё 8 из­на­чаль­но раз­де­ля­ю­щих их де­ле­ний (по­сколь­ку часы по­ка­зы­ва­ют 8 часов) и по­след­них L де­ле­ний. При­рав­ня­ем время дви­же­ния для ча­со­вой и ми­нут­ной стре­лок:

Ча­со­вая стрел­ка прой­дет 4 де­ле­ния, что со­от­вет­ству­ет 4 часам, то есть 240 ми­ну­там.

Ответ: 240.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ясно, что в пер­вый раз стрел­ки встре­тят­ся между 8 и 9 ча­са­ми, вто­рой раз  — между 9 и 10 ча­са­ми, тре­тий  — между 10 и 11, чет­вер­тый  — между 11 и 12 ча­са­ми, то есть ровно в 12 часов. Таким об­ра­зом, они встре­тят­ся ровно через 4 часа, что со­став­ля­ет 240 минут.

По прось­бам чи­та­те­лей по­ме­ща­ем общее ре­ше­ние.

Ско­рость вра­ще­ния ча­со­вой стрел­ки равна 0,5 гра­ду­са в ми­ну­ту, а ми­нут­ной  — 6 гра­ду­сов в ми­ну­ту. По­это­му, когда часы по­ка­зы­ва­ют время h часов m минут, ча­со­вая стрел­ка по­вер­ну­та на 30h + 0,5m гра­ду­сов, а ми­нут­ная  — на 6m гра­ду­сов от­но­си­тель­но 12-⁠ча­со­во­го де­ле­ния.

Пусть в пер­вый раз стрел­ки встре­тят­ся через t₁ минут. Тогда если ми­нут­ная стрел­ка еще не опе­ре­жа­ла ча­со­вую в те­че­ние те­ку­ще­го часа, то 6m + 6t₁  =  30h + 0,5m + 0,5t₁, т. е. t₁  =  (60h − 11m)/11 (*). В про­ти­во­по­лож­ном слу­чае по­лу­ча­ем урав­не­ние 6m + 6t₁  =  30h + 0,5m + 0,5t₁ + 360, от­ку­да t₁  =  (60h − 11m + 720)/11 (**).

Пусть во вто­рой раз стрел­ки встре­тят­ся через t₂ минут после пер­во­го, тогда 0,5t₂  =  6t₂  − 360, от­ку­да t₂ = 720/11 (***). Это же верно для каж­до­го сле­ду­ю­ще­го обо­ро­та.

По­это­му для встре­чи с но­ме­ром n из (*) и (**) с уче­том (***) имеем со­от­вет­ствен­но: t_n  =  (60h − 11m + 720(n − 1))/11 или t_n  =  (60h − 11m + 720n)/11.

Ре­ше­ние. Че­ты­ре стра­ны по­ста­ви­ли 4 · 5  =  20 под­пи­сей. А остав­ши­е­ся шесть стран по­ста­ви­ли 6 · 3  =  18 под­пи­сей. Ясно, что до­го­во­ров в два раза мень­ше, чем общее ко­ли­че­ство под­пи­сей, то есть всего до­го­во­ров было 

Ответ: 19.

При­ме­ча­ние.

Не­ис­ку­шен­ный чи­та­тель может пред­ло­жить не­пра­виль­ное ре­ше­ние: 4 стра­ны под­пи­са­ли до­го­вор с пятью стра­на­ми, всего 20 до­го­во­ров; 6 стран с ещё тремя стра­на­ми  — ещё 18 до­го­во­ров. Итого 38 до­го­во­ров. Ошиб­ка в дан­ном рас­суж­де­нии со­сто­ит в сле­ду­ю­щем: на­бо­ры 4 + 5 и 6 + 3 за­ви­си­мы: «три стра­ны» из вто­ро­го на­бо­ра  — это какие-⁠то из стран, уже учтен­ных в пер­вом на­бо­ре.

От­ме­тим также, что при не­ко­то­рых чис­ло­вых дан­ных усло­вие за­да­чи не­вы­пол­ни­мо, од­на­ко про­ве­рять кор­рект­ность усло­вий на эк­за­ме­не не тре­бу­ет­ся.