При де­ле­нии на 4 число даёт в остат­ке 3, сле­до­ва­тель­но, оно нечётное. По­сколь­ку число при де­ле­нии на 5 даёт в остат­ке 3, то оно может окан­чи­вать­ся на 3 или на 8. Таким об­ра­зом, число обя­за­тель­но долж­но за­кан­чи­вать­ся циф­рой 3. Под­бо­ром на­хо­дим, что усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа 963, 843.

Ответ: 843 или 963.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Число имеет оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 4, 5 и 6, а зна­чит, будет иметь тот же оста­ток при де­ле­нии на наи­мень­шее общее крат­ное этих чисел  — число 60. Таким об­ра­зом, число имеет вид где Пе­ре­би­рая k, по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щие семь трёхзнач­ных чисел: 603, 663, 723, 783, 843, 903, 963. Вы­бе­рем из них те, цифры ко­то­рых рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния, это числа 843 и 963 (в числе 663 есть оди­на­ко­вые цифры, по­это­му нель­зя ска­зать, что они рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния).

Если число имеет оди­на­ко­вые остат­ки по каким-то мо­ду­лям, то оно имеет такой же оста­ток по мо­ду­лю, яв­ля­ю­ще­му­ся НОК этих мо­ду­лей. То есть в дан­ном слу­чае по мо­ду­лю 105. Тогда наше число Пе­ре­берём все воз­мож­ные ва­ри­ан­ты: 106, 211, 316, 421, 526, 631, 736, 841, 946. Усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа 421, 631 и 841.

Ответ: 421; 631; 841.

Если число имеет оди­на­ко­вые остат­ки по каким-то мо­ду­лям, то оно имеет такой же оста­ток по мо­ду­лю, яв­ля­ю­ще­му­ся НОК этих мо­ду­лей. В дан­ном слу­чае по мо­ду­лю 60. Тогда наше число где Пе­ре­берём все воз­мож­ные ва­ри­ан­ты, по­лу­чим 15 трех­знач­ных чисел: 121, 181, 241, 301, 361, 421, 481, 541, 601, 661, 721, 781, 841, 901 и 961. Усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа 421, 541, 721, 841 и 961.

Ответ: 421; 541; 721; 841; 961.

При де­ле­нии на 5 число даёт в остат­ке 2, сле­до­ва­тель­но, оно долж­но окан­чи­вать­ся на 2 или 7. Цифры в за­пи­си числа долж­ны быть чет­ные, сле­до­ва­тель­но, число долж­но окан­чи­вать­ся циф­рой 2. Число при де­ле­нии на 3 даёт в остат­ке 2, тогда и сумма его цифр при де­ле­нии на 3 дает в остат­ке 2. Сле­до­ва­тель­но, сумма двух остав­ших­ся цифр числа долж­на быть крат­на трем. Такую сумму можно по­лу­чить из чет­ных цифр как 6 + 0, 2 + 4, 4 + 8 или 6 + 6. По­лу­ча­ем, что усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа 602, 242, 422, 482, 842.

Ответ: 602, 242, 422, 482, 842, 662.

Если число даёт рав­ные остат­ки при де­ле­нии и на 5, и на 9, можно сразу рас­смат­ри­вать оста­ток от де­ле­ния на НОК этих чисел, а имен­но на 45. Ис­ко­мое число имеет вид 45k + 1. За­ме­тим, что усло­вию за­да­чи не могут удо­вле­тво­рять числа, на­чи­на­ю­щи­е­ся на 1 или 2. Рас­смот­рим все числа из­бран­но­го вида, не мень­шие 300:

Цифры в за­пи­си рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния слева на­пра­во у чисел 541, 631 и 721.

Ответ: 541, 631 или 721.