математика базовый уровень
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французcкий язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 510695

Найдите четырёхзначное на­ту­раль­ное число, мень­шее 1360, ко­то­рое де­лит­ся на каж­дую свою цифру и все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и не равны нулю. В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Пусть - ис­ко­мое число ( - число тысяч, - число сотен, - число десятков, - число единиц) . По усло­вию . Кроме того, . Про­ана­ли­зи­ру­ем теперь то, что ис­ко­мое число де­лит­ся на каж­дую свою цифру.

Если ис­ко­мое число со­дер­жит цифру 5, то эта цифра долж­на стоять на 4-м месте. Это про­сто понять из того, что при­знак делимости на 5 - это 0, или 5 на конце числа. Если цифра 5 будет сто­ять где-нибудь не на по­след­нем месте, то тогда, со­глас­но признаку де­ли­мо­сти 5, еще одна 5 будет сто­ять в конце числа, а это про­ти­во­ре­чит условию задачи.

Первая цифра - единица. Это оче­вид­но из того, что ис­ко­мое число мень­ше 1360.

На вто­ром месте могут сто­ять цифры 1,2,3. Но число 1 уже было, по­это­му на 2-м месте могут сто­ять цифры 2 и 3.

Если на вто­ром месте цифра 2, то число долж­но делиться на 2, т.е. чет­вер­том месте обя­за­тель­но должно сто­ять четная цифра - 4,6,8.

Если число окан­чи­ва­ет­ся на 4, то по­след­ние две цифры числа долж­ны делиться на 4: 14 (не может быть), 24 (не может быть), 34 (не может быть), 44 (не может быть), 54 (не может быть), 64 (тогда число долж­но делиться на 3; при­знак делимости 3 - сумма цифр де­лит­ся на 3, по­это­му проверим по­лу­чив­ше­е­ся число 1264: 1+2+6+4=13 - не подходит), 74 (не может быть), 84 (число долж­но будет де­лить­ся на 8, то есть три по­след­ние цифры числа долж­ны составлять число, ко­то­рое делится на 8: 284 не де­лит­ся на 8 без остатка), 94 (не может быть)

Если число окан­чи­ва­ет­ся на 6, то сумма цифр числа долж­на делиться на 3. У нас есть сумма трех цифр: 1+2+6=9. Таким образом, на тре­тьем месте может сто­ять цифра 3, и 9 (обе цифры подходят, по­сколь­ку сумма цифр в этом слу­чае будет делиться, как на 3 и 6, так на 3 и 9. Таким образом, мы нашли числа 1236, 1296.

Если число окан­чи­ва­ет­ся на 8, то по­след­ние три цифры числа долж­ны делиться на 8. Мы имеем число в общем виде 2х8, где х - число десятков. 248 де­лит­ся на 8, а также по­след­ние две цифры де­лят­ся на 4. Таким образом, число 1248 - одно из ис­ко­мых чисел.

Если на вто­ром месте цифра 3, то сумма цифр числа долж­на делиться на 3. Сумма пер­вых двух цифр: 1+3=4. Тогда сумма всех 4 цифр может быть мак­си­мум 21. Рас­смот­рим варианты:

4+x+y=21 (x=8, y=9 не подходят, так как число долж­но быть мень­ше 1360)

4+x+y=18 (x+y=14: x=5,y=9 - не подходит, так как если число 5 будет сто­ять на конце, то ис­ко­мое число будет боль­ше 1360, x=6,y=8 - не подходит, x=7,y=7 - не подходит)

4+x+y=15 (x+y=11: x=2,y=9 - не подходит, x=3,y=8 - не подходит, x=4,y=7 - не подходит, x=5,y=6 - не подходит)

4+x+y=12 (x+y=8: x=7,y=1 - не подходит, x=2,y=6 - число 1326 де­лит­ся на каж­дую из своих цифр, x=3,y=5 - не подходит, x=4,y=4 - не подходит)

4+x+y=9 (x+y=5: x=4,y=1 - не подходит, x=3, y=2 - не подходит)

4+x+y=6 (x+y=2: x=1,y=1 - не подходит)

4+x+y=3 (x+y=1 - не возможно, в связи с тем, что ни одна из цифр нулю не равняется.

Таким образом, это еще одно най­ден­ное число - 1326

Ответ: 1236, 1296, 1248, 1326