Раз­ло­жим число 25 на сла­га­е­мые: 25 = 9 + 9 + 7 = 9 + 8 + 8.

Квад­рат числа де­лит­ся на 16, зна­чит, само число де­лит­ся на 4. Это зна­чит, что оно как ми­ни­мум за­кан­чи­ва­ет­ся на чётную цифру. То есть пер­вый набор от­па­да­ет, так как в нём та­ко­вых нет. Из вто­ро­го мы можем со­ста­вить числа 988 и 898. Пер­вое число удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям за­да­чи.

Пусть число имеет вид Про­из­ве­де­ние цифр числа равно 12, то есть от­ку­да по­лу­ча­ем, что может быть на­бо­ром цифр: 1, 2, 2, 3; 1, 1, 3, 4. Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, сто­я­щих на нечётных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на чётных ме­стах. Наи­мень­шее число, удо­вле­тво­ря­ю­щее этому тре­бо­ва­нию и со­сто­я­щее из име­ю­щих­ся на­бо­ров цифр,  — 1232.

Ответ: 1232.

Число при де­ле­нии на 2 даёт оста­ток 1, сле­до­ва­тель­но, оно нечётное. При де­ле­нии на 3 число даёт оста­ток 2, то есть число имеет вид При де­ле­нии на 5 число даёт оста­ток 3, то есть число имеет вид то есть число может окан­чи­вать­ся либо на трой­ку, либо на восьмёрку. Число нечётное, сле­до­ва­тель­но, может окан­чи­вать­ся толь­ко на трой­ку. Учи­ты­вая, что число окан­чи­ва­ет­ся на 3: Пе­ре­би­рая зна­че­ния n, что при по­лу­ча­ем число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­ви­ям за­да­чи. Это число 173.

Ответ: 173.

Пусть число имеет вид

Тогда усло­вие за­пи­сы­ва­ет­ся так:

Под­ста­вив зна­че­ние z в тре­тье вы­ра­же­ние и пре­об­ра­зо­вав его, по­лу­чим, что

Под­хо­дит толь­ко пара

Таким об­ра­зом, усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет число 253.