Ра­ди­ус впи­сан­ной в мно­го­уголь­ник окруж­но­сти равен от­но­ше­нию его пло­ща­ди к по­лу­пе­ри­мет­ру. Пусть пло­щадь равна S, пе­ри­метр равен P, ра­ди­ус окруж­но­сти равен R. Тогда

Ответ: 30.

Рас­смот­рим рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник AOB (см. рис.). В этом тре­уголь­ни­ке

Ответ: 2.

Пусть О  — центр пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, тогда ра­ди­ус впи­сан­ной в ше­сти­уголь­ник окруж­но­сти яв­ля­ет­ся вы­со­той рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка АОВ, сто­ро­ны ко­то­ро­го ОА и ОВ  — ра­ди­у­сы опи­сан­ной окруж­но­сти. По­это­му

Ответ: 1,5.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Диа­метр впи­сан­ной окруж­но­сти равен рас­сто­я­нию между сто­ро­на­ми ED и АВ, то есть длине AE. Угол между сто­ро­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен 120°. Пусть FН  — вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AFE, тогда FН  — его ме­ди­а­на и бис­сек­три­са, от­ку­да Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Угол между сто­ро­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен Диа­метр впи­сан­ной окруж­но­сти равен рас­сто­я­нию между сто­ро­на­ми ED и АВ, то есть длине AE. Рас­смот­рим тре­уголь­ник AEF и при­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов: