Ре­ше­ние. Про­из­ве­де­ние 24 дают сле­ду­ю­щие на­бо­ры из че­ты­рех цифр: 8, 3, 1, 1, или 6, 2, 2, 1, или 6, 4, 1, 1, или 4, 3, 2, 1, или 3, 2, 2, 2. Чтобы число де­ли­лось на 22, оно долж­но де­лить­ся и на 2, и на 11. Сле­до­ва­тель­но, это чет­ное число  — оно за­кан­чи­ва­ет­ся чет­ной циф­рой. Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах, равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах, либо от­ли­ча­ет­ся от неё на 11. Для пер­во­го, вто­ро­го и пя­то­го на­бо­ров суммы цифр не­чет­ные, сле­до­ва­тель­но, суммы цифр, сто­я­щих на чет­ных и не­чет­ных ме­стах, не могут быть равны; они не могут также от­ли­чать­ся на 11 ни при какой пе­ре­ста­нов­ке цифр. Рас­смат­ри­вая тре­тий и чет­вер­тый на­бо­ры, на­хо­дим числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие всем усло­ви­ям: 4312, 3124, 2134, 1342.

Ответ: 2134, или 4312, или 1342, или 3124.

Ре­ше­ние. Число де­лит­ся на 15, когда оно де­лит­ся на 3 и на 5. Вспом­ним при­знак де­ли­мо­сти на 3  — число де­лит­ся на 3 тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр де­лит­ся на 3. Вспом­ним при­знак де­ли­мо­сти на 5  — число де­лит­ся на 5 тогда и толь­ко тогда, когда по­след­няя цифра де­лит­ся на 5 (то есть равна 0 или 5). Ис­хо­дя из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 3 по­лу­ча­ем, что сумма цифр числа долж­на рав­нять­ся 3, 9, 12 и так далее. Цифры, ко­то­рые при про­из­ве­де­нии дают 60 это 6, 5 и 2. Сумма этих цифр равна 6 + 5 + 2 = 13. Ис­хо­дя из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 3 по­лу­ча­ем, что бли­жай­шая сумма этих цифр в пя­ти­знач­ном числе крат­ная 3 это 15. Сле­до­ва­тель­но, наше число, это любая ком­би­на­ция двух еди­ниц, шестёрки и двой­ки. Цифра пять, по при­зна­ку де­ли­мо­сти на 5, в дан­ном числе будет за­ни­мать по­след­нее место.

Ответ: 11265, 11625, 12165, 12615, 16125, 16215, 21165, 21615, 26115, 61125, 61215, 62115.

Ре­ше­ние. Чтобы число abcd де­ли­лось на 22, оно долж­но де­лить­ся и на 2, и на 11. Про­из­ве­де­ние цифр 40 можно пред­ста­вить мно­ги­ми спо­со­ба­ми, ос­но­вой ко­то­рых яв­ля­ют­ся про­из­ве­де­ния  — Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах, либо от­ли­ча­ет­ся от неё на 11. Таким об­ра­зом, a + c = b + d или a + c = b + d + 11 или a + c + 11 = b + d. Кроме того, раз число де­лит­ся на 2, то оно долж­но быть чет­ным. Со­глас­но пе­ре­чис­лен­ным при­зна­кам можно по­до­брать сле­ду­ю­щие числа: 5412, 5214, 1452, 1254, 1518

Ре­ше­ние. Чтобы число abcd де­ли­лось на 22, оно долж­но де­лить­ся и на 2, и на 11. Про­из­ве­де­ние цифр 60 можно пред­ста­вить мно­ги­ми спо­со­ба­ми, ос­но­вой ко­то­рых яв­ля­ют­ся про­из­ве­де­ния - При­знак де­ли­мо­сти на 11: Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах, либо от­ли­ча­ет­ся от неё на 11. Таким об­ра­зом, a+c=b+d или a+c=b+d+11 или a+c+11=b+d. Кроме того, раз число де­лит­ся на 2, то оно долж­но быть чет­ным. Со­глас­но пе­ре­чис­лен­ным при­зна­кам можно по­до­брать сле­ду­ю­щие числа: 5126, 2156, 6512, 1562

Ре­ше­ние. Если число крат­но 18, то оно крат­но 2, 9, 3, 6. Зна­чит, оно долж­но быть чет­ным, и сумма его цифр долж­на быть крат­на 9. Таким об­ра­зом, d  — чет­ное, де­лит­ся на 9, Про­из­ве­де­ния цифр могут быть пред­став­ле­ны в виде  Числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие дан­ным усло­ви­ям  — это 3222, 2322 и 2232.

Ответ: 3222, 2322, 2232.

Ре­ше­ние. Число де­лит­ся на 12, а зна­чит, де­лит­ся на 3 и на 4. А это зна­чит, что сумма его цифр де­лит­ся на 3 и число, об­ра­зо­ван­ное по­след­ни­ми двумя циф­ра­ми, де­лит­ся на 4. Пусть наше число имеет вид abcd, тогда усло­вия за­пи­сы­ва­ет­ся так:

Толь­ко один набор цифр яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем тре­тье­го урав­не­ния, а имен­но (1, 1, 2, 5). Из этих зна­че­ний d может при­ни­мать толь­ко зна­че­ние 2, иначе по­след­нее урав­не­ние не будет иметь ре­ше­ний. Осталь­ные цифры могут при­ни­мать любые из остав­ших­ся зна­че­ний.

Вы­пи­шем все под­хо­дя­щие числа: 1152, 1512, 5112.

Ответ: 1152, 1512 или 5112.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 12, то оно де­лит­ся на 4 и на 3. Если число де­лит­ся на 4, то число, об­ра­зо­ван­ное двумя по­след­ни­ми циф­ра­ми долж­на де­лить­ся на 4, кроме того, оно долж­но быть чет­ным. Ис­хо­дя из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 3 по­лу­ча­ем, что сумма цифр числа долж­на рав­нять­ся 3, 9, 12 и так далее. Цифры, ко­то­рые при про­из­ве­де­нии дают 10 это 2 и 5. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число это ком­би­на­ция двой­ки, пятёрки и двух еди­ниц. Ком­би­на­ции цифр 12 и 52 будут сто­ять в конце числа, чтобы удо­вле­тво­рять при­зна­ку де­ли­мо­сти на 4. Зна­чит, ис­ко­мые числа  — 1152, 5112, 1512.

Ответ: 1152, 5112, 1512.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 12, то оно де­лит­ся на 4 и на 3. Если число де­лит­ся на 4, то число, об­ра­зо­ван­ное двумя по­след­ни­ми циф­ра­ми долж­на де­лить­ся на 4, кроме того, оно долж­но быть чет­ным. Ис­хо­дя из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 3 по­лу­ча­ем, что сумма цифр числа долж­на рав­нять­ся 3, 9, 12 и так далее. Цифры, ко­то­рые при про­из­ве­де­нии дают 40 это 2, 2, 2 и 5. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число это ком­би­на­ция трёх двоек, пятёрки и еди­ни­цы. Ком­би­на­ции цифр 12, 52 будут сто­ять в конце числа, чтобы удо­вле­тво­рять при­зна­ку де­ли­мо­сти на 4. Зна­чит, ис­ко­мые числа  — 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212.

Ответ: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 12, то оно де­лит­ся на 4 и на 3. Если число де­лит­ся на 4, то число, об­ра­зо­ван­ное двумя по­след­ни­ми циф­ра­ми долж­на де­лить­ся на 4, кроме того, оно долж­но быть чет­ным. Ис­хо­дя из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 3 по­лу­ча­ем, что сумма цифр числа долж­на рав­нять­ся 3, 9, 12 и так далее. Цифры, ко­то­рые при про­из­ве­де­нии дают 60 это 2, 2, 3 и 5. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число это ком­би­на­ция двух двоек, трой­ки и пятёрки. Ком­би­на­ции цифр 32, 52 будут сто­ять в конце числа, чтобы удо­вле­тво­рять при­зна­ку де­ли­мо­сти на 4. Зна­чит, ис­ко­мые числа  — 2352, 3252, 2532, 5232.

Ответ: 2352, 3252, 2532, 5232.

Ре­ше­ние. Про­из­ве­де­ние 16 дают че­ты­ре на­бо­ра из че­ты­рех цифр: 1, 1, 2, 8, или 1, 1, 4, 4, или 1, 2, 2, 4, или 2, 2, 2, 2. Чтобы число де­ли­лось на 24, оно долж­но де­лить­ся и на 3, и на 8. Сле­до­ва­тель­но, это чет­ное число  — оно за­кан­чи­ва­ет­ся чет­ной циф­рой. Число де­лит­ся на 3, если сумма цифр числа де­лит­ся на 3. Число де­лит­ся на 8, если по­след­ние 3 цифры числа де­лят­ся на 8. Для вто­ро­го и четвёртого на­бо­ров сумма цифр не крат­на 3. Рас­смат­ри­вая пер­вый и тре­тий на­бо­ры, на­хо­дим числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие всем усло­ви­ям: 1128, 8112, 1224.

Ответ: 1128, или 8112, или 1224.