Ре­ше­ние. Пусть число имеет вид если то сумма цифр в новом числе будет на 1 боль­ше, чем в ис­ход­ном, и обе они не могут де­лить­ся на 8. Зна­чит, Рас­смот­рим те­перь 3 слу­чая.

1.   Число пе­рейдёт в сумма умень­шит­ся на 8.

2.   Число пе­рейдёт в сумма умень­шит­ся на 17.

3.   Число пе­рейдёт в сумма умень­шит­ся на 26.

Итак, усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа вида где крат­но и крат­но 8. Одним из таких чисел яв­ля­ет­ся 349.

Ответ: 349, или 789, или 619, или 969, или 529.

При­ме­ча­ние.

Под­черк­нем, что фраза «сумма цифр числа A + 1 де­лит­ся на 8» долж­на по­ни­мать­ся в сле­ду­ю­щем смыс­ле: если к числу A при­ба­вить 1 и найти сумму цифр по­лу­чив­ше­го­ся числа, то эта сумма цифр долж­на де­лить­ся на 8. Если же при­бав­лять еди­ни­цу к сумме цифр числа, то за­да­ча не имеет ре­ше­ний, по­сколь­ку два по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных числа не могут де­лить­ся на 8.

Ре­ше­ние. Пусть наше число имеет вид 3yz. Если тогда, при­бав­ляя 3, по­лу­чим, что в новом числе сумма цифр из­ме­нит­ся на 3 по срав­не­нию с сум­мой цифр в ис­ход­ном числе, и тогда эти оба числа не смо­гут де­лить­ся на 6. Зна­чит,

Рас­смот­рим два слу­чая.

1)  : пе­рейдёт в сумма цифр из­ме­нит­ся на 15.

2)  : пе­рейдёт в сумма цифр из­ме­нит­ся на 6.

Во вто­ром слу­чае сумма цифр будет от­ли­чать­ся на 6, то есть также будет де­лить­ся на 6.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа: 369, 378, 387.

Ответ: 369, 378, 387.

Ре­ше­ние. Пусть число имеет вид Если то сумма цифр в новом числе будет на 2 боль­ше, чем в ис­ход­ном, и обе они не могут де­лить­ся на 8. Зна­чит, Рас­смот­рим те­перь 3 слу­чая:

1)   Число пе­рейдёт в сумма из­ме­нит­ся на 7.

2)   Число пе­рейдёт в сумма из­ме­нит­ся на 16.

3)   Число пе­рейдёт в сумма из­ме­нит­ся на 25.

Итак, нам под­хо­дят числа вида Так как не­слож­но вы­пи­сать все ва­ри­ан­ты: 1698, 2598, 1599, 2499.

Ре­ше­ние. Пусть наше число имеет вид 3yz. Если тогда, при­бав­ляя 4, по­лу­чим, что в новом числе сумма цифр из­ме­нит­ся на 4 по срав­не­нию с сум­мой цифр в ис­ход­ном числе, и тогда эти оба числа не смо­гут де­лить­ся на 5. Зна­чит,

Рас­смот­рим два слу­чая.

1)  : пе­рейдёт в сумма цифр из­ме­нит­ся на 14.

2)  : пе­рейдёт в сумма цифр из­ме­нит­ся на 5.

Во вто­ром слу­чае сумма цифр будет от­ли­чать­ся на 5, то есть также будет де­лить­ся на 5.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа: 357, 366, 389.

Ответ: 357, 366, 389.

Ре­ше­ние. Пусть число имеет вид Если то сумма цифр в новом числе будет на 2 боль­ше, чем в ис­ход­ном, и обе они не могут де­лить­ся на 4. Зна­чит, Рас­смот­рим те­перь 2 слу­чая:

1)   Число пе­рейдёт в (для ) или в (для ) , сумма из­ме­нит­ся на 16

2)   Число пе­рейдёт в сумма из­ме­нит­ся на 7.

Итак, усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа вида Так как не­слож­но найти такие числа: 299, 398

Ответ: 299, 398.