Ре­ше­ние. Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен раз­но­сти объ­е­мов ис­ход­но­го тет­ра­эд­ра и че­ты­рех тет­ра­эд­ров, одни из вер­шин ко­то­рых сов­па­да­ют с вер­ши­на­ми ис­ход­но­го:

Ответ: 0,95.

Ре­ше­ние. Вы­со­та па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна вы­со­те впи­сан­но­го в него ци­лин­дра. Ос­но­ва­ни­ем па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся квад­рат, сто­ро­на ко­то­ро­го в два раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в него окруж­но­сти. По­это­му пло­щадь ос­но­ва­ния равна 4, а объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Вы­со­та па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна вы­со­те впи­сан­но­го в него ци­лин­дра. Ос­но­ва­ни­ем па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся квад­рат, сто­ро­на ко­то­ро­го в два раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в него окруж­но­сти. По­это­му сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 8, а пло­щадь ос­но­ва­ния равна 64. Тогда вы­со­та ци­лин­дра равна

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. Ребро куба равно диа­мет­ру впи­сан­но­го в него шара, а объем куба равен кубу его ребра. От­сю­да имеем, что объем куба равен

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Объем ци­лин­дра равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту, а объем ко­ну­са равен одной трети про­из­ве­де­ния пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. По­сколь­ку они имеют общее ос­но­ва­ние и вы­со­ту, объем ци­лин­дра в три раза боль­ше объ­е­ма ко­ну­са.

Ответ: 75.

Ре­ше­ние. По по­стро­е­нию ра­ди­у­сы шара и ос­но­ва­ния ци­лин­дра равны. Пло­щадь по­верх­но­сти ци­лин­дра, с ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния r и вы­со­той 2r равна

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Пло­щадь по­верх­но­сти по­лу­чив­ше­го­ся мно­го­гран­ни­ка равна сумме пло­ща­дей по­верх­но­стей куба со сто­ро­ной 1 и бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 0,5 и вы­со­той 1, минус две пло­ща­ди ос­но­ва­ния вы­ре­зан­ной приз­мы:

Ответ: 7,5.

Ре­ше­ние. Объем ко­ну­са равен

Ответ: 50.

Ре­ше­ние. Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед, опи­сан­ный во­круг сферы, яв­ля­ет­ся кубом. Тогда длина его ребра

Ра­ди­ус сферы равен по­ло­ви­не длины ребра

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Объ­е­мы дан­ных ко­ну­сов со­от­но­сят­ся как пло­ща­ди их ос­но­ва­ний и, сле­до­ва­тель­но, как квад­ра­ты их диа­мет­ров. Диа­метр впи­сан­но­го ко­ну­са равен сто­ро­не квад­ра­та, диа­метр опи­сан­но­го  — диа­го­на­ли квад­ра­та, длина ко­то­рой равна   длины сто­ро­ны. По­это­му объем опи­сан­но­го ко­ну­са в 2 раза боль­ше объ­е­ма впи­сан­но­го.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен раз­но­сти объ­е­мов ис­ход­но­го тет­ра­эд­ра и че­ты­рех тет­ра­эд­ров, в каж­дом из ко­то­рых одна вер­ши­на сов­па­да­ет с вер­ши­ной ис­ход­но­го, а три осталь­ные яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми ребер ис­ход­но­го тет­ра­эд­ра:

Ответ: 9,5.

Ре­ше­ние. Ис­ко­мая по­верх­ность со­сто­ит из 8 рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков со сто­ро­ной, вдвое мень­шей ребра ис­ход­но­го тет­ра­эд­ра. По­верх­ность ис­ход­но­го тет­ра­эд­ра со­сто­ит из 16-ти таких тре­уголь­ни­ков (см. рис.), по­это­му ис­ко­мая пло­щадь равна по­ло­ви­не пло­ща­ди по­верх­но­сти тет­ра­эд­ра и равна 6.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Объем ци­лин­дра равен

а объем шара можно найти по фор­му­ле

Вы­ра­зим из фор­му­лы для объёма ци­лин­дра и под­ста­вим в фор­му­лу для объёма шара

Ответ: 22.

Ре­ше­ние. Объем ци­лин­дра равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. Пло­щадь ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна пло­ща­ди боль­шо­го круга впи­сан­но­го шара, а вы­со­та ци­лин­дра равна диа­мет­ру впи­сан­но­го шара. По­это­му

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку

а конус и ци­линдр имеют общую вы­со­ту и ос­но­ва­ние, имеем:

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пря­мой приз­мы равна про­из­ве­де­нию пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на бо­ко­вое ребро. Бо­ко­вое ребро равно вы­со­те ци­лин­дра. В ос­но­ва­нии приз­мы лежит квад­рат, его сто­ро­на равна диа­мет­ру впи­сан­но­го круга. По­это­му

По­сколь­ку по усло­вию пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна 48, ис­ко­мая вы­со­та равна 3.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Вы­со­та ко­ну­са пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию и равна ра­ди­у­су сферы. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку по усло­вию об­ра­зу­ю­щая равна ра­ди­ус сферы равен 7.

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Вы­со­та ко­ну­са пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию и равна ра­ди­у­су сферы. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

Ра­ди­ус сферы равен по­это­му об­ра­зу­ю­щая равна

Ответ: 56.

Ре­ше­ние. Вы­со­та ци­лин­дра равна диа­мет­ру шара, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен ра­ди­у­су шара (см. рис.). Пло­щадь ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна

По­сколь­ку пло­щадь по­верх­но­сти шара да­ет­ся фор­му­лой имеем:

Ответ: 166,5.

Ре­ше­ние. Зная, что в тре­уголь­ной приз­ме 5 гра­ней, а в тре­уголь­ной пи­ра­ми­де 4 гра­ней, но так как две грани сов­па­да­ют по­лу­ча­ем: 5 + 4 − 2 = 7.

Ответ: 7.