Ре­ше­ние. Обо­зна­чим квад­ра­ты бук­ва­ми так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пе­ре­несём мыс­лен­но часть озера, на­хо­дя­щу­ю­ся в квад­ра­те D, в квад­рат А. Сумма этих пло­ща­дей мень­ше по­ло­ви­ны пло­ща­ди квад­ра­та. Пло­щадь части озера в квад­ра­те С при­мер­но по­ло­ви­на пло­ща­ди квад­ра­та, дру­гая по­ло­ви­на пу­стая  — пе­ре­не­сем в неё части озера из А и D вме­сте взя­тые. Этим квад­рат С будет за­пол­нен. Те­перь пе­ре­несём часть озера, ле­жа­щую ниже диа­го­на­ли квад­ра­та Е, на не­за­ня­тую часть в квад­ра­те F. Те­перь квад­рат F за­пол­нен почти пол­но­стью, а квад­рат Е за­пол­нен на­по­ло­ви­ну. Итак, озеро по­кры­ва­ет при­бли­зи­тель­но два пол­ных квад­ра­та С и F, почти пол­ный квад­рат В и по­ло­ви­ну квад­ра­та Е. Зна­чит, пло­щадь озера боль­ше 3 кв. км, но мень­ше 3,5 кв. км. Округ­ляя, по­лу­ча­ем 3 кв. км.

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние ре­дак­ции Решу ЕГЭ.

По­ни­мая не­об­хо­ди­мость уме­ний про­во­дить по­доб­ные оцен­ки и при­кид­ки в при­клад­ных на­у­ках, все же от­ме­тим, что при­ведённые выше рас­суж­де­ния не имеют ни­ка­ко­го от­но­ше­ния к ма­те­ма­ти­ке. По­че­му? По­то­му что нет до­ка­за­тельств. На­при­мер, того, что часть из Е дей­стви­тель­но по­ме­стит­ся в F. До­ка­за­тель­ство можно было бы про­ве­сти так: на­ло­жить карту на мил­ли­мет­ров­ку, найти ко­ли­че­ство квад­ра­ти­ков, в ко­то­рые по­па­ла фи­гу­ра, и точно уста­но­вить гра­ни­цы, в ко­то­рых лежит пло­щадь: от­бро­сив ча­стич­но за­пол­нен­ные квад­ра­ти­ки, по­лу­чим пло­щадь с не­до­стат­ком, учи­ты­вая все ча­стич­но за­пол­нен­ные квад­ра­ти­ки, най­дем пло­щадь с из­быт­ком. Но это путь не для эк­за­ме­на.

При­ме­ча­ние Д. Д. Гу­щи­на о при­ме­не­нии па­лет­ки для опре­де­ле­ния пло­ща­ди.

Чи­та­тель­ни­ца Ольга Ку­ле­шо­ва рас­ска­за­ла нам, что в на­чаль­ных клас­сах изу­ча­ют спо­соб на­хож­де­ния пло­ща­ди фи­гу­ры с по­мо­щью па­лет­ки (квад­рат­ной сетки). Пло­щадь фи­гу­ры счи­та­ет­ся рав­ной ко­ли­че­ству пол­но­стью за­пол­нен­ных кле­ток сетки плюс по­ло­ви­на ко­ли­че­ства не пол­но­стью за­пол­нен­ных кле­ток. Решая дан­ную за­да­чу таким спо­со­бом, най­дем, что ко­ли­че­ство пол­но­стью за­пол­нен­ных кле­ток равно 0, ко­ли­че­ство ча­стич­но за­пол­нен­ных кле­ток равно 6, сле­до­ва­тель­но, пло­щадь фи­гу­ры равна 

Об этом не­об­хо­ди­мо ска­зать сле­ду­ю­щее.

Для фигур слу­чай­ной формы, по­кры­тых боль­шим ко­ли­че­ством кле­ток, ука­зан­ное при­бли­же­ние пло­ща­ди не­ред­ко дает удо­вле­тво­ри­тель­ную точ­ность. Од­на­ко в ряде слу­ча­ев по­греш­ность ста­но­вит­ся не­при­ем­ле­мой.

Най­дем, к при­ме­ру, ука­зан­ным ме­то­дом пло­щадь изоб­ра­жен­ных на ри­сун­ке круга и пя­ти­уголь­ни­ка. Для круга сло­жим 5 целых кле­ток и по­ло­ви­ну от 16 ча­стич­но за­пол­нен­ных, вме­сте 13 кле­ток. Как не­труд­но про­ве­рить, ис­поль­зуя фор­му­лу для пло­ща­ди круга най­ден­ная по кле­точ­кам пло­щадь круга мало от­ли­ча­ет­ся от рас­чет­ной. Но най­дем те­перь пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка: к 6 целым клет­кам при­ба­вим по­ло­ви­ну от 9, по­лу­чим 10,5 или, округ­лен­но, 11 кле­ток. Од­на­ко в дей­стви­тель­но­сти пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка не 11 и даже не 10, а мень­ше 9 кле­ток. Ошиб­ка пре­вос­хо­дит 17%, а после округ­ле­ния  — даже 22%.

По всей ве­ро­ят­но­сти, точ­ной фор­му­лы для оцен­ки по­греш­но­сти ис­поль­зо­ва­ния квад­рат­ной па­лет­ки при оцен­ке пло­ща­ди не су­ще­ству­ет. Но ясно, что по­греш­ность может быть до­ста­точ­но ве­ли­ка, если все ча­стич­но за­пол­нен­ные клет­ки за­пол­не­ны более (либо менее) чем на­по­ло­ви­ну, или если по­кры­ва­ю­щих фи­гу­ру кле­ток слиш­ком мало.

В при­ве­ден­ном выше за­да­нии ЕГЭ пло­щадь по­кры­та всего ше­стью клет­ка­ми. В таких слу­ча­ях най­ден­ный ответ может по­лу­чить­ся вер­ным, но может ока­зать­ся и оши­боч­ным. По­это­му на эк­за­ме­не поль­зо­вать­ся ука­зан­ным ме­то­дом нель­зя. Од­на­ко метод можно усо­вер­шен­ство­вать. Об этом ниже.

По­дроб­нее про­чи­тать о при­бли­жен­ном опре­де­ле­нии пло­ща­дей можно, на­при­мер, в учеб­ном по­со­бии для выс­ших учеб­ных за­ве­де­ний Ин­же­нер­ная гео­де­зия.pdf.

При­ме­ча­ние Т. Н. Кра­вчен­ко о по­сле­до­ва­тель­ных при­бли­же­ни­ях при при­ме­не­нии па­лет­ки.

Ука­жем путь, ко­то­рым можно на­хо­дить все более точ­ное зна­че­ние пло­ща­ди, при­ме­няя па­лет­ки с умень­ша­ю­щим­ся шагом сетки. Ис­тин­ная пло­щадь фи­гу­ры не мень­ше пло­ща­ди пол­но­стью за­кра­шен­ных кле­ток. До­бав­ляя к ней по­ло­ви­ну пло­ща­ди ча­стич­но за­кра­шен­ных кле­ток, мы можем по­лу­чить из­бы­ток или не­до­ста­ток. Если все ча­стич­но за­пол­нен­ные клет­ки «почти пу­стые», мы по­лу­чим из­бы­ток, рав­ный по­ло­ви­не их сум­мар­ной пло­ща­ди. Если же все эти клет­ки «почти пол­ные», пло­щадь будет опре­де­ле­на с не­до­стат­ком, рав­ным по­ло­ви­не их сум­мар­ной пло­ща­ди. В обоих слу­ча­ях по­греш­ность пло­ща­ди не боль­ше  где n  — ко­ли­че­ство ча­стич­но за­кра­шен­ных кле­ток, S  — пло­щадь одной клет­ки. Те­перь ясно, что можно по­пы­тать­ся умень­шить по­греш­ность, по­сле­до­ва­тель­но умень­шая шаг сетки. Про­де­мон­стри­ру­ем это на при­ме­ре нашей за­да­чи.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Из­на­чаль­но пло­щадь одной клет­ки равна 1. По пер­во­му ри­сун­ку видно, что озеро Ве­ли­кое рас­по­ло­же­но в 6 клет­ках, и ни одна из них не за­пол­не­на пол­но­стью. В пер­вом при­бли­же­нии пло­щадь озера равна  По­греш­ность в этом слу­чае также равна 3. По­это­му не­об­хо­ди­мо умень­шить по­греш­ность.

Раз­де­лим каж­дую клет­ку по­по­лам по вер­ти­ка­ли и го­ри­зон­та­ли (см. рис. 2), то есть на 4 части. Пло­щадь каж­дой по­лу­чив­шей­ся клет­ки те­перь равна  Озеро Ве­ли­кое за­ни­ма­ет 5 кле­ток це­ли­ком, и 14 кле­ток за­пол­не­ны не пол­но­стью. Сле­до­ва­тель­но, во вто­ром при­бли­же­нии пло­щадь озера со­став­ля­ет  при этом по­греш­ность равна  что нас также не устра­и­ва­ет.

На тре­тьем шаге снова раз­де­лим все клет­ки по­по­лам по вер­ти­ка­ли и го­ри­зон­та­ли, то есть на 4 части (см. рис. 3). Пло­щадь каж­дой по­лу­чив­шей­ся клет­ки будет равна  Те­перь озеро Ве­ли­кое за­ни­ма­ет 36 кле­ток пол­но­стью, и еще 28 кле­ток за­пол­не­ны не пол­но­стью. Пло­щадь озера со­став­ля­ет

при этом по­греш­ность равна  Сде­ла­ем еще одно раз­би­е­ние.

Снова раз­де­лим все клет­ки по­по­лам по вер­ти­ка­ли и го­ри­зон­та­ли. Пло­щадь каж­дой по­лу­чив­шей­ся клет­ки будет равна  Те­перь озеро Ве­ли­кое за­ни­ма­ет 172 клет­ки пол­но­стью, и еще 52 клет­ки за­пол­не­ны ча­стич­но. Пло­щадь озера со­став­ля­ет

при этом по­греш­ность равна  Таким об­ра­зом, пло­щадь озера боль­ше 2,5. Наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди равно  Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся, если все ча­стич­но за­пол­нен­ные клет­ки за­пол­не­ны пол­но­стью. Но это не так, а по­то­му пло­щадь мень­ше 3,5. Тем самым стро­го до­ка­за­но, что округ­лен­ное до целых зна­че­ние пло­ща­ди равно 3.

Под­счи­ты­вать ко­ли­че­ство пол­но­стью и не пол­но­стью за­пол­нен­ных кле­ток может быть уто­ми­тель­но. Для об­лег­че­ния ра­бо­ты можно де­лить на части толь­ко те клет­ки, ко­то­рые за­пол­не­ны не пол­но­стью. По­ка­жем это ниже.

Рис. 5.

Рис. 6

Рис. 7

По пя­то­му ри­сун­ку 5 видно, что озеро не за­ни­ма­ет це­ли­ком ни одной клет­ки. Раз­де­лим каж­дую из ча­стич­но за­пол­нен­ных кле­ток на че­ты­ре части (см. рис. 6). Среди по­лу­чив­ших­ся ма­лень­ких кле­ток пол­но­стью за­пол­не­но 5 кле­ток (вы­де­ле­но синим), а еще не­сколь­ко кле­ток за­пол­не­ны не пол­но­стью.

Еще раз раз­де­лим каж­дую из ча­стич­но за­пол­нен­ных кле­ток на че­ты­ре части (см. рис. 7). Среди по­лу­чив­ших­ся ма­лень­ких кле­ток пол­но­стью за­пол­не­но 16 (вы­де­ле­но жел­тым), и еще 30 кле­ток за­пол­не­ны не пол­но­стью. Таким об­ра­зом, на тре­тьем шаге озеро за­ни­ма­ет: 5 целых кле­ток пло­ща­дью  каж­дая; 16 целых кле­ток пло­ща­дью  каж­дая и 30 ча­стич­но за­пол­нен­ных кле­ток пло­ща­дью  каж­дая. Най­дем пло­щадь озера на этом шаге:

По­греш­ность опре­де­ля­ет­ся по­след­ним сла­га­е­мым, рав­ным 0,9375, то есть пло­щадь озера может ока­зать­ся и мень­ше 2,5, и боль­ше 3,5, а тогда округ­ле­ние до целых даст 2 или 4 со­от­вет­ствен­но. Не­об­хо­ди­мо даль­ше умень­шать шаг сетки.

Еще раз раз­де­лим каж­дую из ча­стич­но за­пол­нен­ных кле­ток на че­ты­ре части (см. по­след­ний ри­су­нок). Те­перь озеро за­ни­ма­ет: 5 целых кле­ток пло­ща­дью  16 целых кле­ток пло­ща­дью  29 целых кле­ток пло­ща­дью  и 62 ча­стич­но за­пол­нен­ные клет­ки пло­ща­дью  На­хо­дим пло­щадь озера:

По­греш­ность опре­де­ля­ет­ся по­след­ним сла­га­е­мым, рав­ным 0,484375. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь озера боль­ше 2,5, и округ­ле­ние до 2 не­воз­мож­но. Оцен­ка свер­ху дает 3,671875, то есть пло­щадь может ока­зать­ся боль­ше 3,5, а тогда по­на­до­бит­ся округ­ле­ние до 4. Так слу­чи­лось бы, если бы все 62 ча­стич­но за­пол­нен­ные на по­след­нем шаге клет­ки были бы за­пол­не­ны почти пол­но­стью. Но это не так. По­это­му на дан­ном шаге можно пред­по­ло­жить, что пло­щадь не пре­взой­дет 3,5, а по­то­му долж­на быть округ­ле­на до 3.

Вы­чис­ле­ние пло­ща­ди по фор­му­ле для ряда фигур дает силь­но за­вы­шен­ную по­греш­ность, по­это­му для боль­шин­ства эк­за­ме­на­ци­он­ных задач, в от­ли­чие от этой, на­хож­де­ние пло­ща­ди при­ме­не­ни­ем па­ле­ток с умень­ша­ю­щим­ся шагом сетки обыч­но дает хо­ро­ший ре­зуль­тат при од­но­крат­ном де­ле­нии ис­ход­ных кле­ток на 4 части по вер­ти­ка­ли и го­ри­зон­та­ли, то есть всего на 16 ча­стей. Но бы­ва­ет и не так, в за­да­че 523387 де­ле­ние на 4 клет­ки при­ве­дет к не­вер­но­му от­ве­ту.

Такой спо­соб рас­че­та может ока­зать­ся более тру­до­ем­ким, чем пред­ло­жен­ный выше ос­нов­ной спо­соб ре­ше­ния, од­на­ко он яв­ля­ет­ся пол­но­стью фор­ма­ли­зо­ван­ным и не тре­бу­ет твор­че­ских уси­лий.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим квад­ра­ты бук­ва­ми так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пло­щадь части озера в квад­ра­те С не­мно­го мень­ше по­ло­ви­ны пло­ща­ди квад­ра­та. Пе­ре­несём мыс­лен­но часть озера, на­хо­дя­щу­ю­ся в квад­ра­те F, в квад­рат С, сумма этих пло­ща­дей не пре­вы­сит по­ло­ви­ну пло­ща­ди квад­ра­та.

Пло­щадь озера в квад­ра­те В не­мно­го мень­ше по­ло­ви­ны пло­ща­ди квад­ра­та, а сумма пло­ща­дей озера в квад­ра­тах E и F за­мет­но мень­ше по­ло­ви­ны пло­ща­ди квад­ра­та. Пе­ре­не­сем части озера из квад­ра­тов E и F в квад­рат В, этим он будет почти за­пол­нен на­по­ло­ви­ну.

Итак, озеро по­кры­ва­ет пол­ный квад­рат D, при­мер­но по­ло­ви­ну квад­ра­та С и почти по­ло­ви­ну квад­ра­та B. Зна­чит, пло­щадь озера боль­ше 1,5 кв. км, но мень­ше 2 кв. км. Округ­ляя, по­лу­ча­ем 2 кв. км.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим квад­ра­ты бук­ва­ми так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пло­щадь части озера в квад­ра­те D почти равна пло­ща­ди квад­ра­та, пло­щадь части озера в квад­ра­те A за­мет­но мень­ше по­ло­ви­ны квад­ра­та. Пе­ре­несём мыс­лен­но часть озера, на­хо­дя­щу­ю­ся в квад­ра­те A, в квад­рат D, сумма этих пло­ща­дей будет равна пло­ща­ди квад­ра­та.

Пло­щадь озера в квад­ра­те E не­мно­го боль­ше по­ло­ви­ны пло­ща­ди квад­ра­та, а пло­щадь озера в квад­ра­те C не­мно­го мень­ше по­ло­ви­ны пло­ща­ди квад­ра­та. Пе­ре­не­сем части озера из квад­ра­та C в квад­рат E, этим он будет за­пол­нен.

Пло­щадь озера в квад­ра­те F не­мно­го боль­ше по­ло­ви­ны пло­ща­ди квад­ра­та, а пло­щадь озера в квад­ра­те B не­мно­го мень­ше по­ло­ви­ны пло­ща­ди квад­ра­та. Пе­ре­не­сем части озера из квад­ра­та B в квад­рат F, этим он будет почти за­пол­нен.

Итак, озеро по­кры­ва­ет 2 пол­ных квад­ра­та D и E и почти пол­ный квад­рат F. Зна­чит, пло­щадь озера боль­ше 2,5 кв. км, но мень­ше 3 кв. км. Округ­ляя, по­лу­ча­ем 3 кв. км.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим квад­ра­ты бук­ва­ми так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пло­щадь части озера в квад­ра­те A не­мно­го боль­ше по­ло­ви­ны пло­ща­ди квад­ра­та, пло­щадь части озера в квад­ра­те B не­мно­го мень­ше по­ло­ви­ны пло­ща­ди квад­ра­та. Пе­ре­несём мыс­лен­но часть озера, на­хо­дя­щу­ю­ся в квад­ра­те B, в квад­рат A, этим он будет за­пол­нен.

Пло­щадь озера в квад­ра­те С при­мер­но равна по­ло­ви­не пло­ща­ди квад­ра­та, а сумма пло­ща­дей озера в квад­ра­тах E и F не­мно­го мень­ше по­ло­ви­ны пло­ща­ди квад­ра­та. Пе­ре­не­сем части озера из квад­ра­тов E и F в квад­рат C, этим он будет почти за­пол­нен.

Итак, озеро по­кры­ва­ет пол­ный квад­рат A и 2 почти пол­ных квад­ра­та C и D. Зна­чит, пло­щадь озера боль­ше 2,5 кв. км, но мень­ше 3 кв. км. Округ­ляя, по­лу­ча­ем 3 кв. км.

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние.

По­дроб­ные ком­мен­та­рии о за­да­ни­ях та­ко­го типа при­ве­де­ны в за­да­че 522802 .

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим квад­ра­ты бук­ва­ми так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Мыс­лен­но раз­де­лим квад­рат A на 2 рав­ные части и пе­ре­несём часть озера, на­хо­дя­щу­ю­ся в квад­ра­те D, в ниж­нюю по­ло­ви­ну квад­ра­та A, этим она будет почти за­пол­не­на.

Мыс­лен­но раз­де­лим квад­рат E на две рав­ные части, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, и пе­ре­не­сем часть озера из ниж­ней по­ло­ви­ны квад­ра­та E в ниж­нюю по­ло­ви­ну квад­ра­та A. Таким об­ра­зом, квад­рат A будет почти за­пол­нен, а квад­рат E будет за­пол­нен на­по­ло­ви­ну.

Пло­щадь озера в квад­ра­те В за­мет­но боль­ше по­ло­ви­ны пло­ща­ди квад­ра­та, а пло­щадь озера в квад­ра­те C за­мет­но мень­ше по­ло­ви­ны пло­ща­ди квад­ра­та. Пе­ре­не­сем часть озера из квад­ра­та C в квад­рат В, этим он будет за­пол­нен.

Итак, озеро пол­ный квад­рат В, почти пол­ный квад­рат A и 2 за­пол­нен­ных на­по­ло­ви­ну квад­ра­та E и F. Зна­чит, пло­щадь озера боль­ше 2,5 кв. км, но мень­ше 3 кв. км. Округ­ляя, по­лу­ча­ем 3 кв. км.

Ответ: 3.