Ре­ше­ние. После па­де­ния цены на 10% про­езд будет сто­ить 20 · (1 − 0,1) = 18 руб. Раз­де­лим 150 на 18:

Сле­до­ва­тель­но, на 150 руб можно будет со­вер­шить во­семь по­ез­док.

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Масса взрос­ло­го кита равна 100 т, объём же­лез­но­до­рож­но­го ва­го­на равен 120 м пло­щадь во­лей­боль­ной пло­щад­ки  — 162 кв. м, ши­ри­на фут­боль­но­го поля  — 68 м. Таким об­ра­зом, имеем: А  — 2, Б  — 3, В  — 1, Г  — 4.

Ответ: 2314.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что от 2 до 8 мм осад­ков вы­па­да­ло три дня: 7, 8 и 9 фев­ра­ля (см. рис.). По­дроб­нее: 04.02 вы­па­ло 1,5 мм осад­ков, 05.02  — 0 мм, 06.02  — 1 мм, 07.02  — 7 мм, 08.02  — 6мм, 09.02  — 2 мм, 10.02  — 9 мм.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Най­дем по­лу­пе­ри­метр:

Ре­ше­ние. По усло­вию из любых 100 + 8  =  108 сумок в сред­нем 100 ка­че­ствен­ных сумок. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной, равна

Ответ: 0,93.

При­ме­ча­ние.

Ре­ко­мен­ду­ем срав­нить дан­ную за­да­чу с за­да­чей 522583.

----------

2014: За­да­ние изъ­ято из От­кры­то­го банка за­да­ний.

2015: За­да­ние воз­вра­ще­но в От­кры­тый банк за­да­ний.

Ре­ше­ние. Иса­а­ки­ев­ский собор, ко­то­рый ту­рист дол­жен по­се­тить, вхо­дит в марш­ру­ты 2 или 6.

Пусть ту­рист вы­брал марш­рут 2, тогда он до­пол­нит его марш­ру­та­ми 1 и 5, за­тра­ты со­ста­вят 1300 руб.

Если ту­рист вы­брал марш­рут 6, то он до­пол­нит его марш­ру­том 3, или 1 и 4, за­тра­ты также со­ста­вят 1300 руб.

Таким об­ра­зом, рав­но­цен­ны ва­ри­ан­ты 1, 2, 5, или 3, 6, или 1, 4, 6.

Ответ: 125, 146 или 36.

Ре­ше­ние. Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, про­ведённой в этой точке. Он по­ло­жи­те­лен и мень­ше 1, если ка­са­тель­ная на­кло­не­на к по­ло­жи­тель­но­му на­прав­ле­нию оси абс­цисс под углом мень­ше 45°; боль­ше 1, если угол на­кло­на боль­ше 45°, но мень­ше 90°. По­это­му на гра­фи­ке А уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент по­ло­жи­те­лен и мень­ше 1, на гра­фи­ке Б от­ри­ца­те­лен и мень­ше −1, на гра­фи­ке В от­ри­ца­те­лен и боль­ше −1, на гра­фи­ке Г по­ло­жи­те­лен и боль­ше 1. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие: А  — 1, Б  — 3, В  — 4, Г  — 2.

Ответ: 1342.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что в по­доб­ных за­да­чах не сле­ду­ет пы­тать­ся опре­де­лять зна­че­ния про­из­вод­ной по ри­сун­ку и со­от­но­сить с при­ве­ден­ны­ми зна­че­ни­я­ми, по­сколь­ку ра­вен­ство может быть не­точ­ным. Сле­ду­ет со­от­но­сить ри­сун­ки и при­ве­ден­ные зна­че­ния про­из­вод­ной на ос­но­ве угла на­кло­на ка­са­тель­ной  — зна­че­ние про­из­вод­ной тем боль­ше по мо­ду­лю, чем «круче» на­клон ка­са­тель­ной.

Ре­ше­ние. 1  — верно. Если сес­сия сдана на от­лич­но, то сес­сия сдана без троек, а отец все­гда вы­пол­ня­ет свои обе­ща­ния.

2  — не­вер­но. О том, что про­изой­дет, если сту­дент сдаст с трой­ка­ми, ни­че­го не ска­за­но. (Отец НЕ ска­зал «по­лу­чишь хоть одну трой­ку  — не ви­дать тебе но­ут­бу­ка».)

3  — верно. Если но­ут­бук не по­да­рен, то усло­вие для да­ре­ния не на­сту­пи­ло. Зна­чит, сес­сию сту­дент про­ва­лил. Если бы сту­дент сдал без троек, отец по­да­рил бы но­ут­бук.

4  — не­вер­но. Отец мог по­да­рить ему но­ут­бук за дру­гие за­слу­ги.

Таким об­ра­зом, вер­ны­ми яв­ля­ют­ся утвер­жде­ния 1 и 3.

Ответ: 13.

При­ме­ча­ние.

При­ве­дем ре­ше­ние этой за­да­че на ос­но­ве фор­маль­ной ло­ги­ки. Пусть утвер­жде­ние A  — «Отец по­да­рит сыну но­ут­бук», а утвер­жде­ние B  — «Сес­сия сдана без троек». В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи, из B сле­ду­ет А. Тогда из НЕ А сле­ду­ет НЕ В, то есть в слу­чае, если но­ут­бук не по­да­рен, то сес­сия не сдана без троек, то есть сдана с трой­ка­ми или не сдана со­всем. Если же усло­вие А вы­пол­не­но, то из этого ни­че­го не сле­ду­ет, то есть если но­ут­бук по­да­рен, то сес­сия может быть сдана как с трой­ка­ми, так и без них. Ана­ло­гич­но, если усло­вие В не вы­пол­не­но, то из этого ни­че­го не сле­ду­ет, то есть если сес­сия сдана с трой­ка­ми, то но­ут­бук может быть как по­да­рен, так и нет.

Для тех чи­та­те­лей, ко­то­рые не могут по­ве­рить в пра­виль­ность от­ве­та, рас­смот­рим ана­ло­гич­ную за­да­чу с гео­мет­ри­че­ски­ми утвер­жде­ни­я­ми. Пусть утвер­жде­ние A  — «Углы равны», а утвер­жде­ние B  — «Углы вер­ти­каль­ные». Из курса гео­мет­рии из­вест­но, что из B сле­ду­ет А, то есть вер­ти­каль­ные углы равны («если углы вер­ти­каль­ные, то они равны»). Тогда из НЕ А сле­ду­ет НЕ В, то есть если углы не равны, то они не вер­ти­каль­ные. Но если углы равны (усло­вие A вы­пол­не­но), то они могут быть как вер­ти­каль­ны­ми, так и нет. С дру­гой сто­ро­ны, если углы не яв­ля­ют­ся вер­ти­каль­ны­ми (усло­вие В не вы­пол­не­но), то они могут быть как равны, так и не равны.

За­ме­тим также, что в обы­ден­ной жизни обе­ща­ния с ис­поль­зо­ва­ни­ем слова «если» по­ни­ма­ют­ся в смыс­ле «тогда и толь­ко тогда», и фраза «куплю но­ут­бук, если сдашь сес­сию без троек» (или фраза «если бу­дешь себя хо­ро­шо вести, то раз­ре­шу по­смот­реть муль­ти­ки») по­ни­ма­ет­ся в смыс­ле «куплю но­ут­бук тогда и толь­ко тогда, если сдашь сес­сию без троек» («раз­ре­шу по­смот­реть муль­ти­ки в том и толь­ко в том слу­чае, если бу­дешь себя хо­ро­шо вести»). Од­на­ко во всех за­да­ни­ях ЕГЭ слово «если» по­ни­ма­ет­ся в смыс­ле про­сто­го сле­до­ва­ния.

Ре­ше­ние. Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка и че­ты­рех пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка. По­это­му

Ответ: 12,5.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, при­ве­ден­ные на ри­сун­ке. Здесь от­ре­зок AC  — плечи «жу­рав­ля» до опус­ка­ния, от­ре­зок BD  — после, от­ре­зок AH  — вы­со­та, на ко­то­рую под­нял­ся конец ко­рот­ко­го плеча, от­ре­зок CK  — вы­со­та, на ко­то­рую опу­стил­ся конец длин­но­го. В тре­уголь­ни­ках AOB и COD углы AOB и COD равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, равны и углы при ос­но­ва­ни­ях:

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AOB и COD по­доб­ны по двум углам, то есть

При пе­ре­се­че­нии пря­мых AB и CD се­ку­щей BD углы, обо­зна­чен­ные на ри­сун­ке циф­ра­ми 1 и 2, яв­ля­ют­ся на­крест ле­жа­щи­ми и рав­ны­ми, сле­до­ва­тель­но, пря­мые AB и CD па­рал­лель­ны. Сто­ро­ны углов 3 и 4 па­рал­лель­ны друг другу, сле­до­ва­тель­но, эти углы равны.

Тре­уголь­ни­ки AHB и CDK  — пря­мо­уголь­ные, их ост­рые углы равны, сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны, от­ку­да

Ответ: 2.

При­ме­ча­ние.

Можно при­ве­сти не­сколь­ко иное до­ка­за­тель­ство по­до­бия тре­уголь­ни­ков AHB и CDK. На при­ве­ден­ной ниже кар­тин­ке есть два ма­лень­ких тре­уголь­ни­ка AHM и DKL, они пря­мо­уголь­ные и как на­крест ле­жа­щие, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

Затем, можно за­ме­тить, что у тре­уголь­ни­ков AHM и AHB со­от­вет­ствен­ные углы равны друг другу, по­то­му что их сто­ро­ны па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. Ана­ло­гич­но для тре­уголь­ни­ков CDK и CKL. Из трех пар по­до­бий этих тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки AHB и CKD по­доб­ны.

Ре­ше­ние. Из­на­чаль­но у пя­ти­уголь­ной приз­мы 7 гра­ней и 10 вер­шин. Когда от приз­мы от­пи­ли­ли все вер­ши­ны ко­ли­че­ство гра­ней стало равно 7 + 10  =  17.

Ответ: 17.

Ре­ше­ние. Угол ADC  — впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на дугу AC, гра­дус­ная мера ко­то­рой равна  сле­до­ва­тель­но, угол ADC равен 40°.

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. Найдём пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды:

Те­перь можем найти объём пи­ра­ми­ды SABC:

Ответ: 175.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

Ответ: 45.

Ре­ше­ние. Счи­та­ем, что по­се­ти­те­лей было 100%. При уве­ли­че­нии в 4 раза по­се­ти­те­лей стало 400%. Сле­до­ва­тель­но, ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей уве­ли­чи­лось на 

Ответ: 300.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 25.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. А)  сле­до­ва­тель­но, ва­ри­ант 4.

Б)  сле­до­ва­тель­но, ва­ри­ант 3.

В)  сле­до­ва­тель­но, ва­ри­ант 2.

Г)  сле­до­ва­тель­но, ва­ри­ант 1.

Ответ: 4321.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 27, тогда оно де­лит­ся на 9. Число де­лит­ся на 9 тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр де­лит­ся на 9. Сле­до­ва­тель­но, сумма цифр по­лу­чив­ше­го­ся числа долж­на де­лит­ся на 9. Од­на­ко если число де­лит­ся на 9, то оно не­обя­за­тель­но де­лит­ся на 27, по­это­му по­тре­бу­ет­ся про­вер­ка.

Сумма цифр числа 123 456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Чтобы сумма цифр по­лу­чив­ше­го­ся числа была равна 9, вы­черк­нем цифры, да­ю­щие в сумме 12: 6, 5 и 1. По­лу­чим число 234, оно не де­лит­ся на 27. Тогда вы­черк­нем 2, 4 и 6, по­лу­чим 135  — де­лит­ся на 27.

Ответ: 135.

При­ме­ча­ние о един­ствен­но­сти от­ве­та.

Пе­ре­би­рая все воз­мож­ные вы­чер­ки­ва­ния и не меняя по­ря­док цифр, по­сколь­ку по усло­вию цифры можно толь­ко вы­чер­ки­вать, но не ме­нять ме­ста­ми, можно найти все числа, ко­то­рые можно по­лу­чить из ис­ход­но­го:

—  на­чи­на­ю­щи­е­ся с 1: 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156;

—  на­чи­на­ю­щи­е­ся с 2: 234, 235, 236, 245, 246, 256;

—  на­чи­на­ю­щи­е­ся с 3: 345, 346, 356;

—  на­чи­на­ю­щи­е­ся с 4: 456.

Не­по­сред­ствен­ной про­вер­кой можно убе­дить­ся, что из най­ден­ных чисел на 27 де­лит­ся толь­ко число 135. Дру­гих ва­ри­ан­тов нет.

Ре­ше­ние. Пер­вый обо­гнал вто­ро­го на 3 км за чет­верть часа, это зна­чит, что ско­рость уда­ле­ния (сбли­же­ния) гон­щи­ков равна км/⁠ч. Обо­зна­чим ско­рость вто­ро­го гон­щи­ка x км/ч, тогда ско­рость пер­во­го км/⁠ч. Со­ста­вим и решим урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, ско­рость вто­ро­го гон­щи­ка равна 108 км/⁠ч.

Ответ: 108.

Ре­ше­ние. Числа А, В и С могут быть равны 6, 7 или 8.

Пусть за­га­да­ли на­ту­раль­ное число Х, тогда Х · А + В – С = 249 или Х · А = 249 + (С – В). Рас­смот­рим раз­лич­ные слу­чаи.

1)  С – В = 0 (6 – 6 = 0, 7 – 7 = 0 или 8 – 8 = 0), тогда Х · А = 249. Число 249 не де­лит­ся на­це­ло на 6, на 7 и на 8, зна­чит, этот слу­чай не под­хо­дит.

2)  С – В = 1 (7 – 6 = 1 или 8 – 7 = 1), тогда Х · А = 250. Число 250 не де­лит­ся на­це­ло на 6, на 7 и на 8, зна­чит, этот слу­чай не под­хо­дит.

3)  С – В = –1 (6 – 7 = –1 или 7 – 8 = –1), тогда Х · А = 248. Число 248 де­лит­ся на­це­ло на А = 8, зна­чит, Х = 31.

4)  С – В = 2 (8 – 6 = 2), тогда Х · А = 251. Число 251 не де­лит­ся на­це­ло на 6, на 7 и на 8, зна­чит, этот слу­чай не под­хо­дит.

5)  С – В = –2 (6 – 8 = –2), тогда Х·А = 247. Число 247 не де­лит­ся на­це­ло на 6, на 7 и на 8, зна­чит, этот слу­чай не под­хо­дит.

Ответ: 31.