Ре­ше­ние. Вы­пол­ним дей­ствие в скоб­ках:

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 56.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 80.

Ре­ше­ние. Число або­нен­тов ком­па­нии «Запад» к концу года уве­ли­чи­лось на 230 − 200 = 30 тыс. че­ло­век. Зна­чит, число або­нен­тов ком­па­нии уве­ли­чи­лось на 30 : 200 · 100%  =  15%.

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. Вы­чис­лим пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: −34.

Ре­ше­ние. На 103 че­ло­ве­ка на 1 день по­ла­га­ет­ся 103 · 30  =  3090 г са­ха­ра, на 6 дней  — 3090 · 6  =  18 540 г. Раз­де­лим 18 540 г на 1000 г в одной упа­ков­ке:

Ответ: 19.

Ре­ше­ние. Решим урав­не­ние:

где n  — целое число. Зна­че­ни­ям со­от­вет­ству­ют по­ло­жи­тель­ные корни.

Если то и

Если то и

Зна­че­ни­ям со­от­вет­ству­ют мень­шие зна­че­ния кор­ней.

Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шим от­ри­ца­тель­ным кор­нем яв­ля­ет­ся число

Ответ: −0,25.

Ре­ше­ние. За арбуз весом 7 кг за­пла­ти­ли 7  2  =  14 гри­вен. Зна­чит, в руб­лях они за­пла­ти­ли: 14  3,9  =  54,6 рубля. Округ­ля­ем до це­ло­го числа, по­лу­ча­ем 55.

Ответ: 55.

Ре­ше­ние. Со­по­ста­вим ве­ли­чи­ны:

А)  вы­со­та горы Эве­рест - 4)

Б)  длина реки Волги - 1)

В)  ши­ри­на окна - 2)

Г)  диа­метр мо­не­ты - 3)

Ответ: 4123

Ре­ше­ние. В сред­нем из 2000 са­до­вых на­со­сов, по­сту­пив­ших в про­да­жу, 2000 − 12  =  1988 не под­те­ка­ют. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что один слу­чай­но вы­бран­ный для кон­тро­ля насос не под­те­ка­ет, равна

Ответ: 0,994.

Ре­ше­ние. Из диа­грам­мы видно, что наи­мень­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра во вто­рой по­ло­ви­не года со­став­ля­ла −2 °C (см. рис.).

Ответ: −2.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

Гру­зо­вик, иду­щий через пункт B, про­шел путь 77 + 63 = 140 км и по­тра­тил на до­ро­гу 140 : 56  =  2,5 часа.

Ав­то­бус, иду­щий через пункт C, про­шел путь 41 + 35 = 76 км и по­тра­тил на до­ро­гу 76 : 38  =  2 часа.

Ав­то­мо­биль, иду­щий без про­ме­жу­точ­ных пунк­тов, про­шел путь 165 км и по­тра­тил на до­ро­гу 165 : 60  =  2,75 часа.

Позже дру­гих до­брал­ся ав­то­мо­биль.

Ответ: 2,75.

Ре­ше­ние. Объём ци­лин­дра вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Объём пер­вой круж­ки равен объём вто­рой круж­ки равен Зна­чит, объём вто­рой круж­ки в шесть раз боль­ше объёма пер­вой.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. За­да­ние 14.1.

В точке A функ­ция по­ло­жи­тель­на, про­из­вод­ная равна 0.

В точке B про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на, функ­ция равна 0.

В точке C функ­ция от­ри­ца­тель­на, про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на.

В точке D про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, функ­ция по­ло­жи­тель­на.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие А  — 1, Б  — 2, В  — 4 и Г  — 3.

Ответ: 1243.

Про­то­тип 506722.

За­да­ние 14.2.

В 1-ом квар­та­ле года рож­да­е­мость де­во­чек росла в те­че­ние всего пе­ри­о­да.

Во 2-ом квар­та­ле года рож­да­е­мость маль­чи­ков пре­вы­ша­ла рож­да­е­мость де­во­чек во все ме­ся­цы этого пе­ри­о­да.

В 3-ем квар­та­ле года рож­да­е­мость де­во­чек пре­вы­ша­ла рож­да­е­мость маль­чи­ков во все ме­ся­цы этого пе­ри­о­да.

в 4-ом квар­та­ле года рож­да­е­мость де­во­чек сни­жа­лась в те­че­ние всего квар­та­ла.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие А  — 1, Б  — 4, В  — 2 и Г  — 3.

Ответ: 1423.

Про­то­тип 506747.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный, зна­чит, углы BAC и ABH равны как углы при его осо­ва­нии.

Ответ: 0,6.

Ре­ше­ние. Найдём вы­со­ту па­рал­ле­ле­пи­пе­да AA₁:

Найдём объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 75.

Ре­ше­ние. 1)  

2)  

3)  

4)  

Ре­ше­ние. Про­ана­ли­зи­ру­ем каж­дое из утвер­жде­ний:

1)  Если те­ле­фон Ивана Пет­ро­ви­ча включён, зна­чит, он не ведёт урок - верно, по­сколь­ку в усло­вии ска­за­но, что, когда Иван Пет­ро­вич ведёт урок, он обя­за­тель­но от­клю­ча­ет свой те­ле­фон.

2)  Если те­ле­фон Ивана Пет­ро­ви­ча включён, зна­чит, он ведёт урок - не­вер­но, по­сколь­ку в усло­вии ска­за­но, что, когда Иван Пет­ро­вич ведёт урок, он обя­за­тель­но от­клю­ча­ет свой те­ле­фон..

3)  Если Иван Пет­ро­вич про­во­дит кон­троль­ную ра­бо­ту по ма­те­ма­ти­ке, зна­чит, его те­ле­фон вы­клю­чен - верно, по­сколь­ку кон­троль­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке, оче­вид­но, про­во­дит­ся на уроке ма­те­ма­ти­ки.

4)  Если Иван Пет­ро­вич ведёт урок ма­те­ма­ти­ки, зна­чит, его те­ле­фон включён - не­вер­но, так как пол­но­стью про­ти­во­ре­чит дан­но­му в за­да­че усло­вию.

Ответ: 13

Ре­ше­ние. Пусть abcd - ис­ко­мое число (a  — число тысяч, b  — число сотен,   — число де­сят­ков, d  — число еди­ниц) . По усло­вию Кроме того, Про­ана­ли­зи­ру­ем те­перь то, что ис­ко­мое число де­лит­ся на каж­дую свою цифру.

Если ис­ко­мое число со­дер­жит цифру 5, то эта цифра долж­на сто­ять на 4-⁠м месте. Это про­сто по­нять из того, что при­знак де­ли­мо­сти на 5  — это 0 или 5 на конце числа. Если цифра 5 будет сто­ять где-⁠ни­будь не на по­след­нем месте, то тогда, со­глас­но при­зна­ку де­ли­мо­сти на 5, еще одна 5 будет сто­ять в конце числа, а это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Пер­вая цифра  — еди­ни­ца. Это оче­вид­но из того, что ис­ко­мое число боль­ше 1340 и мень­ше 1640.

На вто­ром месте могут сто­ять цифры 3, 4, 6.

Если на вто­ром месте стоит цифра 3, то сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 3. Сумма пер­вых двух цифр: 1 + 3  =  4. Тогда сумма всех 4 цифр, ко­то­рая де­лит­ся на 3, может быть мак­си­мум 21. Рас­смот­рим ва­ри­ан­ты:

4 + x + y  =  21 (x  =  8, y  =  9: 1389  — не под­хо­дит, так как не де­лит­ся на 8, 1398  — не де­лит­ся на 9).

4 + x + y  =  18 (x + y  =  14: x  =  5, y  =  9: 1395  — число де­лит­ся на 3, на 9 и на 5; x  =  6, y  =  8: 1368  — число де­лит­ся на 3, на 6, на 8, x  =  7, y  =  7  — не под­хо­дит).

4 + x + y  =  15 (x + y  =  11: x  =  2, y  =  9  — не под­хо­дит, x  =  3, y  =  8  — не под­хо­дит, x  =  4, y  =  7  — не под­хо­дит, x  =  5, y  =  6  — не под­хо­дит).

4 + x + y  =  12 (x + y  =  8: x  =  7, y  =  1  — не под­хо­дит, x  =  2, y  =  6: 1362  — число де­лит­ся на каж­дую из своих цифр, x  =  3, y  =  5  — не под­хо­дит, x  =  4, y  =  4  — не под­хо­дит).

4 + x + y  =  9 (x + y  =  5: x  =  4, y  =  1  — не под­хо­дит, x  =  3, y  =  2  — не под­хо­дит).

4 + x + y  =  6 (x + y  =  2: x  =  1, y  =  1  — не под­хо­дит).

4 + x + y  =  3 (x + y  =  1  — не­воз­мож­но в связи с тем, что ни одна из цифр нулю не рав­ня­ет­ся.

Если на вто­ром месте цифра 4, то по­след­ние две цифры долж­ны де­лить­ся на 4. Среди таких чисел (без по­вто­ря­ю­щих­ся цифр): 28 (не под­хо­дит), 32 (не под­хо­дит), 36 (не под­хо­дит), 68 (не под­хо­дит), 72 (не под­хо­дит), 76 (не под­хо­дит), 92 (не под­хо­дит), 96 (не под­хо­дит).

Если на вто­ром месте стоит цифра 6, то сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 3 и, кроме того, число долж­но окан­чи­вать­ся на чет­ную цифру. Сумма пер­вых двух цифр 1 + 6  =  7. Тогда сумма всех 4 цифр, ко­то­рая де­лит­ся на 3, может быть мак­си­мум 24. Рас­смот­рим ва­ри­ан­ты:

7 + x + y  =  24 (x + y  =  17, x  =  8, y  =  9  — не под­хо­дят, так как число долж­но быть мень­ше 1640).

7 + x + y  =  21 (x + y  =  14: x  =  5, y  =  9  — не под­хо­дит, x  =  6, y  =  8  — не под­хо­дит, x  =  7, y  =  7  — не под­хо­дит).

7 + x + y  =  18 (x + y  =  11: x  =  2, y  =  9  — не под­хо­дит, x  =  3, y  =  8  — не под­хо­дит, x  =  4, y  =  7  — не под­хо­дит, x  =  5, y  =  6  — не под­хо­дит).

7 + x + y  =  15 (x + y  =  8: x  =  7, y  =  1  — не под­хо­дит, x  =  2, y  =  6  — не под­хо­дит, x  =  3, y  =  5  — не под­хо­дит, x  =  4, y  =  4  — не под­хо­дит).

7 + x + y  =  12 (x + y  =  5: x  =  4, y  =  1  — не под­хо­дит, x  =  3, y  =  2  — число 1632 де­лит­ся на каж­дую из своих цифр).

7 + x + y  =  9 (x + y  =  2: x  =  1, y  =  1  — не под­хо­дит).

Ответ: 1395, 1368, 1362, 1632.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что куз­не­чик может ока­зать­ся толь­ко в точ­ках с нечётными ко­ор­ди­на­та­ми, по­сколь­ку число прыж­ков, ко­то­рое он де­ла­ет,  — нечётно. Мак­си­маль­но куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках, мо­дуль ко­то­рых не пре­вы­ша­ет один­на­дца­ти. Таким об­ра­зом, куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11; всего 12 точек.

Ответ: 12.