РЕШУ ЕГЭ — математика базовая

Вариант № 14192137

Демонстрационная версия ЕГЭ по математике 2023−2024. Базовый уровень.

Баночка йогурта стоит 14 рублей 60 копеек. Какое наибольшее количество баночек йогурта можно купить на 100 рублей?

ИЛИ

Килограмм моркови стоит 40 рублей. Олег купил 1 кг 600 г моркови. Сколько рублей сдачи он должен получить со 100 рублей?

ИЛИ

Для ремонта требуется 63 рулона обоев. Какое наименьшее количество пачек обойного клея нужно для такого ремонта, если 1 пачка клея рассчитана на 6 рулонов?

Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А)  рост ребёнка

Б)  толщина листа бумаги

В)  длина автобусного маршрута

Г)  высота жилого дома

ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

1)  32 км

2)  30 м

3)  0,2 мм

4)  110 см

ИЛИ

ВЕЛИЧИНЫ

А)  масса взрослого человека

Б)  масса грузового автомобиля

В)  масса книги

Г)  масса пуговицы

ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

1)  8 т

2)  5 г

3)  65 кг

4)  300 г

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В	Г

На диаграмме приведены данные о длине восьми крупнейших рек России (в тысячах километров). Первое место по длине занимает Лена. На каком месте по длине, согласно этим данным, находится Амур?

ИЛИ

В таблице представлены данные о стоимости некоторой модели смартфона в различных магазинах.

Магазин	Стоимость смартфона (руб.)
«ОК-⁠Техника»	6733
«Скоростной»	7600
«Магия связи»	6559
«Про-⁠фон»	7346
«Смартфон и Ко»	6599
«Прогресс-⁠Э»	7548
«999 телефонов»	6959
«Макропоиск»	7049
«Вселенная телефонов»	6850

Найдите наименьшую стоимость смартфона среди представленных предложений. Ответ дайте в рублях.

ИЛИ

На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. На горизонтальной оси отмечается число, месяц, время суток в часах; на вертикальной оси  — значение температуры в градусах Цельсия.

Определите по графику наибольшую температуру воздуха 19 февраля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P=I в квадрате R,$ где I  — сила тока (в амперах), R  — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите P (в ваттах), если R  =  5 Ом и I  =  7 А.

ИЛИ

Среднее геометрическое трех чисел a, b и c вычисляется по формуле $g= корень 3 степени из: начало аргумента: abc конец аргумента .$ Вычислите среднее геометрическое чисел 5, 25 и 27.

В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 35 спортсменов: 7 из России, 12 из Китая, 9 из Японии и 7 из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется представителем России.

ИЛИ

Из каждых 100 лампочек, поступающих в продажу, в среднем 3 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной?

Для обслуживания международного семинара необходимо собрать группу переводчиков. Сведения о кандидатах представлены в таблице.

Переводчики	Языки	Стоимость услуг (рублей в день)
1	Немецкий, испанский	7000
2	Английский, немецкий	6000
3	Английский	3000
4	Английский, французский	6000
5	Французский	2000
6	Испанский	4000

Пользуясь таблицей, соберите хотя бы одну группу, в которой переводчики вместе владеют четырьмя иностранными языками  — английским, немецким, французским и испанским, а суммарная стоимость их услуг не превышает 12 000 рублей в день. В ответе укажите ровно один набор номеров переводчиков без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Перечисляйте в порядке возрастания номеров.

ИЛИ

В таблице приведены данные о шести чемоданах.

Номер чемодана	Длина (см)	Высота (см)	Ширина (см)	Масса (кг)
1	65	40	25	19
2	84	72	49	24
3	92	80	36	23
4	75	60	45	25
5	83	65	48	22,5
6	95	75	42	30

По правилам авиакомпании сумма трёх измерений (длина, высота, ширина) чемодана, сдаваемого в багаж, не должна превышать 203 см, а масса не должна быть больше 23 кг. Какие чемоданы можно сдать в багаж по правилам этой авиакомпании? В ответе укажите номера выбранных чемоданов без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Перечисляйте в порядке возрастания номеров.

ИЛИ

Строительная фирма планирует купить 70 м³ пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

Поставщик	Стоимость пеноблоков (руб. за 1 м³ )	Стоимость доставки (руб.)	Дополнительные условия доставки
А	2 600	10 000	Нет
Б	2 800	8 000	При заказе товара на сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная
В	2 700	8 000	При заказе товара на сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная

Решение. Заметим, что стоимость услуг переводчиков, знающих только английский и французский языки, меньше стоимости услуг переводчика, знающего одновременно английский и французский языки, поэтому при подборе вариантов четвёртого переводчика можно не учитывать. Переводчика, знающего только немецкий язык, нет, поэтому в группу необходимо взять либо первого, либо второго переводчика.

В первом случае необходимо включить в группу переводчиков, знающих английский и французский языки; дешевле выбрать переводчиков 3 и 5, тогда стоимость услуг составит 12 000 рублей в день. Остальные варианты дороже.

Во втором случае необходимо включить в группу переводчиков, знающих французский и испанский языки; дешевле выбрать переводчиков 5 и 6, тогда стоимость услуг составит 12 000 рублей в день. Остальные варианты дороже.

Таким образом, группа переводчиков, удовлетворяющая всем условиям, может быть собрана из переводчиков 1, 3 и 5 или из переводчиков 2, 5 и 6.

Ответ: 135 или 256.

ИЛИ

Сумма трёх измерений для первого чемодана равна $65 плюс 40 плюс 25=130$ см, масса удовлетворяет нормам багажа, следовательно, первый чемодан можно сдать в багаж.

Масса второго чемодана превышает норму багажа.

Сумма трёх измерений для третьего чемодана равна $92 плюс 80 плюс 36=208$ см, что превышает нормы багажа.

Масса четвертого чемодана превышает норму багажа.

Сумма трёх измерений для пятого чемодана равна $83 плюс 65 плюс 48=196$ см, масса удовлетворяет нормам багажа, следовательно, пятый чемодан можно сдать в багаж.

Масса шестого чемодана превышает норму багажа.

Ответ: 15.

ИЛИ

Рассмотрим все варианты.

При покупке у поставщика A стоимость заказа складывается из стоимости пеноблоков 2600  $умножить на$  70  =  182 000 руб. и стоимости доставки. Поэтому она равна 182 000 + 10 000  =  192 000 руб.

При покупке у поставщика Б стоимость заказа равна стоимости пеноблоков: 2800  $умножить на$  70  =  196 000 руб. Поскольку стоимость заказа больше 150 000 руб., доставка бесплатно.

При покупке у поставщика В стоимость заказа складывается из стоимости пеноблоков 2700  $умножить на$  70  =  189 000 руб. и стоимости доставки и равна 189 000 + 8000  =  197 000 руб. (так как стоимость заказа меньше 200 000 руб., доставка не бесплатно).

Стоимость самого дешевого варианта составляет 192 000 рублей.

Ответ: 192 000.

На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на оси ординат  — температура двигателя в градусах Цельсия.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса разогрева двигателя на этом интервале.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ

А)  0−1 мин.

Б)  1–3 мин.

В)  3–6 мин.

Г)  8–10 мин.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОЦЕССА

1)  температура росла медленнее всего

2)  температура падала

3)  температура находилась в пределах от 40°С до 80°C

4)  температура не превышала 30 °С

В таблице под каждой буквой, соответствующей интервалу времени, укажите номер характеристики процесса.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В	Г

ИЛИ

На рисунке изображён график функции, к которому проведены касательные в четырёх точках.

Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.

ТОЧКИ

А)  K

Б)  L

В)  M

Г)  N

ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

1)  −4

2)  3

3)   $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$

4)  −0,5

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В	Г

ИЛИ

Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке [−1;1].

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

А)

Б)

В)

Г)

ХАРАКТЕРИСТИКИ

1)  У функции есть точка минимума на отрезке [−1;1].

2)  У функции есть точка максимума на отрезке [−1;1].

3)  Функция возрастает на отрезке [−1;1].

4)  Функция убывает на отрезке [−1;1].

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

A	Б	В	Г

Решение. В промежутке 0-1 минуты температура не превышала 30 °C.

В промежутке 1-3 минуты температура росла медленнее всего.

В промежутке 3-6 минуты температура находилась в пределах от 40 °C до 80 °C.

В промежутке 8-10 минуты температура падала.

Таким образом, получаем соответствие: А  — 4, Б  — 1, В  — 3 и Г  — 2.

ИЛИ

Пусть угол, который составляет касательная с положительным направлением оси абсцисс, равен α, а угловой коэффициент касательной равен k. Тогда:

α	k
$альфа =0 градусов$	$k=0$
$0 градусов меньше альфа меньше 45 градусов$	$0 меньше k меньше 1$
$альфа =45 градусов$	$k=1$
$45 градусов меньше альфа меньше 90 градусов$	$k больше 1$
$90 градусов меньше альфа меньше 135 градусов$	$k меньше минус 1$
$альфа =135 градусов$	$k= минус 1$
$135 градусов меньше альфа меньше 180 градусов$	$минус 1 меньше k меньше 0$

Значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке. Таким образом, получаем соответствие: А  — 2, Б  — 1, В  — 4 и Г  — 3.

Ответ: 2143.

ИЛИ

Рассмотрим каждую из характеристик.

1)  У функции есть точка минимума на отрезке [−1;1]. Точка минимума есть у функции Г.

2)  У функции есть точка максимума на отрезке [−1;1]. Точка максимума есть у функции Б.

3)  Функция возрастает на отрезке [−1;1]. Возрастающая функция на графике В.

4)  Функция убывает на отрезке [−1;1]. Убывающая функция на графике А.

Ответ: 4231.

В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10  — кружок по математике. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1)  Каждый ученик этого класса посещает оба кружка.

2)  Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике.

3)  Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка.

4)  Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

ИЛИ

Во дворе школы растут всего три дерева: ясень, рябина и осина. Ясень выше рябины на 1 метр, но ниже осины на 2 метра. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1.  Среди указанных деревьев не найдётся двух одной высоты.

2.  Ясень, растущий во дворе школы, выше осины, растущей там же.

3.  Любое дерево, помимо указанных, которое ниже ясеня, растущего во дворе школы, также ниже рябины, растущей там же.

4.  Любое дерево, помимо указанных, которое ниже рябины, растущей во дворе школы, также ниже ясеня, растущего там же.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение. 1)  Утверждение не следует из приведённых данных, поскольку возможна ситуация, когда 13 человек посещают кружок по истории, причём трое из них посещают ещё и кружок по математике, а оставшиеся семь человек ходят только в кружок по математике.

2)  Утверждение не следует из приведённых данных, поскольку возможна ситуация, когда 10 человек из тринадцати, посещающих кружок по истории, ходят и на кружок по математике. При этом окажется, что семь человек не посещают ни одного кружка.

3)  Утверждение следует из приведённых данных. Более того, можно утверждать, что минимум три человека посещают сразу оба кружка. Такая ситуация описана в пункте 1).

4)  Кружок по математике посещают 10 человек, поэтому более 10 человек посещать оба кружка не может. Утверждение верно.

Ответ: 34.

ИЛИ

Заметим, что самое маленькое дерево  — рябина, среднее по высоте  — ясень и самое высокое  — осина.

1.  Действительно, среди указанных деревьев не найдётся двух одной высоты.

2.  Ясень ниже осины.

3.  Дерево ниже ясеня всё ещё может быть выше рябины.

4.  Действительно, если дерево ниже рябины, то оно и ниже ясеня.

Ответ: 14.

На рисунке изображён план местности (шаг сетки плана соответствует расстоянию 1 км на местности). Оцените, скольким квадратным километрам равна площадь озера Великое, изображённого на плане. Ответ округлите до целого числа.

ИЛИ

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение.

Обозначим квадраты буквами так, как показано на рисунке. Перенесём мысленно часть озера, находящуюся в квадрате D, в квадрат А. Сумма этих площадей меньше половины площади квадрата. Площадь части озера в квадрате С примерно половина площади квадрата, другая половина пустая  — перенесем в неё части озера из А и D вместе взятые. Этим квадрат С будет заполнен. Теперь перенесём часть озера, лежащую ниже диагонали квадрата Е, на незанятую часть в квадрате F. Теперь квадрат F заполнен почти полностью, а квадрат Е заполнен наполовину. Итак, озеро покрывает приблизительно два полных квадрата С и F, почти полный квадрат В и половину квадрата Е. Значит, площадь озера больше 3 кв. км, но меньше 3,5 кв. км. Округляя, получаем 3 кв. км.

Ответ: 3.

Примечание редакции Решу ЕГЭ.

Понимая необходимость умений проводить подобные оценки и прикидки в прикладных науках, все же отметим, что приведённые выше рассуждения не имеют никакого отношения к математике. Почему? Потому что нет доказательств. Например, того, что часть из Е действительно поместится в F. Доказательство можно было бы провести так: наложить карту на миллиметровку, найти количество квадратиков, в которые попала фигура, и точно установить границы, в которых лежит площадь: отбросив частично заполненные квадратики, получим площадь с недостатком, учитывая все частично заполненные квадратики, найдем площадь с избытком. Но это путь не для экзамена.

Примечание Д. Д. Гущина о применении палетки для определения площади.

Читательница Ольга Кулешова рассказала нам, что в начальных классах изучают способ нахождения площади фигуры с помощью палетки (квадратной сетки). Площадь фигуры считается равной количеству полностью заполненных клеток сетки плюс половина количества не полностью заполненных клеток. Решая данную задачу таким способом, найдем, что количество полностью заполненных клеток равно 0, количество частично заполненных клеток равно 6, следовательно, площадь фигуры равна 0 + 6 : 2  =  3.

Об этом необходимо сказать следующее.

Для фигур случайной формы, покрытых большим количеством клеток, указанное приближение площади нередко дает удовлетворительную точность. Однако в ряде случаев погрешность становится неприемлемой.

Найдем, к примеру, указанным методом площадь изображенных на рисунке круга и пятиугольника. Для круга сложим 5 целых клеток и половину от 16 частично заполненных, вместе 13 клеток. Как нетрудно проверить, используя формулу для площади круга $S = Пи R в квадрате ,$ найденная по клеточкам площадь круга мало отличается от расчетной. Но найдем теперь площадь пятиугольника: к 6 целым клеткам прибавим половину от 9, получим 10,5 или, округленно, 11 клеток. Однако в действительности площадь пятиугольника не 11 и даже не 10, а меньше 9 клеток. Ошибка превосходит 17%, а после округления  — даже 22%.

По всей вероятности, точной формулы для оценки погрешности использования квадратной палетки при оценке площади не существует. Но ясно, что погрешность может быть достаточно велика, если все частично заполненные клетки заполнены более (либо менее) чем наполовину, или если покрывающих фигуру клеток слишком мало.

В приведенном выше задании ЕГЭ площадь покрыта всего шестью клетками. В таких случаях найденный ответ может получиться верным, но может оказаться и ошибочным. Поэтому на экзамене пользоваться указанным методом нельзя. Однако метод можно усовершенствовать. Об этом ниже.

Подробнее прочитать о приближенном определении площадей можно, например, в учебном пособии для высших учебных заведений Инженерная геодезия.pdf.

Примечание Т. Н. Кравченко о последовательных приближениях при применении палетки.

Укажем путь, которым можно находить все более точное значение площади, применяя палетки с уменьшающимся шагом сетки. Истинная площадь фигуры не меньше площади полностью закрашенных клеток. Добавляя к ней половину площади частично закрашенных клеток, мы можем получить избыток или недостаток. Если все частично заполненные клетки «почти пустые», мы получим избыток, равный половине их суммарной площади. Если же все эти клетки «почти полные», площадь будет определена с недостатком, равным половине их суммарной площади. В обоих случаях погрешность площади не больше $дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби S,$ где n  — количество частично закрашенных клеток, S  — площадь одной клетки. Теперь ясно, что можно попытаться уменьшить погрешность, последовательно уменьшая шаг сетки. Продемонстрируем это на примере нашей задачи.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Изначально площадь одной клетки равна 1. По первому рисунку видно, что озеро Великое расположено в 6 клетках, и ни одна из них не заполнена полностью. В первом приближении площадь озера равна $дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 конец дроби =3.$ Погрешность в этом случае также равна 3. Поэтому необходимо уменьшить погрешность.

Разделим каждую клетку пополам по вертикали и горизонтали (см. рис. 2), то есть на 4 части. Площадь каждой получившейся клетки теперь равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ Озеро Великое занимает 5 клеток целиком, и 14 клеток заполнены не полностью. Следовательно, во втором приближении площадь озера составляет $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 5 плюс дробь: числитель: 14, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =3,$ при этом погрешность равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 14, знаменатель: 2 конец дроби =1,75,$ что нас также не устраивает.

На третьем шаге снова разделим все клетки пополам по вертикали и горизонтали, то есть на 4 части (см. рис. 3). Площадь каждой получившейся клетки будет равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби .$ Теперь озеро Великое занимает 36 клеток полностью, и еще 28 клеток заполнены не полностью. Площадь озера составляет

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби левая круглая скобка 36 плюс дробь: числитель: 28, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =3,125,$

при этом погрешность равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби умножить на дробь: числитель: 28, знаменатель: 2 конец дроби =0,825.$ Сделаем еще одно разбиение.

Снова разделим все клетки пополам по вертикали и горизонтали. Площадь каждой получившейся клетки будет равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби .$ Теперь озеро Великое занимает 172 клетки полностью, и еще 52 клетки заполнены частично. Площадь озера составляет

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби левая круглая скобка 172 плюс дробь: числитель: 52, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =3,09375,$

при этом погрешность равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби умножить на дробь: числитель: 52, знаменатель: 2 конец дроби = 0,40625$ Таким образом, площадь озера больше 2,5. Наибольшее значение площади равно $3,09375 плюс 0,40625 = 3,5.$ Это значение достигается, если все частично заполненные клетки заполнены полностью. Но это не так, а потому площадь меньше 3,5. Тем самым строго доказано, что округленное до целых значение площади равно 3.

Подсчитывать количество полностью и не полностью заполненных клеток может быть утомительно. Для облегчения работы можно делить на части только те клетки, которые заполнены не полностью. Покажем это ниже.

Рис. 5.

Рис. 6

Рис. 7

По пятому рисунку 5 видно, что озеро не занимает целиком ни одной клетки. Разделим каждую из частично заполненных клеток на четыре части (см. рис. 6). Среди получившихся маленьких клеток полностью заполнено 5 клеток (выделено синим), а еще несколько клеток заполнены не полностью.

Еще раз разделим каждую из частично заполненных клеток на четыре части (см. рис. 7). Среди получившихся маленьких клеток полностью заполнено 16 (выделено желтым), и еще 30 клеток заполнены не полностью. Таким образом, на третьем шаге озеро занимает: 5 целых клеток площадью $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ каждая; 16 целых клеток площадью $дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби$ каждая и 30 частично заполненных клеток площадью $дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби$ каждая. Найдем площадь озера на этом шаге:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 5 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби умножить на 16 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби умножить на дробь: числитель: 30, знаменатель: 2 конец дроби = 2,25 плюс 0,9375 = 3,1875.$

Погрешность определяется последним слагаемым, равным 0,9375, то есть площадь озера может оказаться и меньше 2,5, и больше 3,5, а тогда округление до целых даст 2 или 4 соответственно. Необходимо дальше уменьшать шаг сетки.

Еще раз разделим каждую из частично заполненных клеток на четыре части (см. последний рисунок). Теперь озеро занимает: 5 целых клеток площадью $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,$ 16 целых клеток площадью $дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби ,$ 29 целых клеток площадью $дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби$ и 62 частично заполненные клетки площадью $дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби .$ Находим площадь озера:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 5 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби умножить на 16 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби умножить на 29 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби умножить на дробь: числитель: 62, знаменатель: 2 конец дроби = 2,703125 плюс 0,484375 = 3,1875.$

Погрешность определяется последним слагаемым, равным 0,484375. Следовательно, площадь озера больше 2,5, и округление до 2 невозможно. Оценка сверху дает 3,671875, то есть площадь может оказаться больше 3,5, а тогда понадобится округление до 4. Так случилось бы, если бы все 62 частично заполненные на последнем шаге клетки были бы заполнены почти полностью. Но это не так. Поэтому на данном шаге можно предположить, что площадь не превзойдет 3,5, а потому должна быть округлена до 3.

Вычисление площади по формуле $дробь: числитель: nS, знаменатель: 2 конец дроби$ для ряда фигур дает сильно завышенную погрешность, поэтому для большинства экзаменационных задач, в отличие от этой, нахождение площади применением палеток с уменьшающимся шагом сетки обычно дает хороший результат при однократном делении исходных клеток на 4 части по вертикали и горизонтали, то есть всего на 16 частей. Но бывает и не так, в задаче 523387 деление на 4 клетки приведет к неверному ответу.

Такой способ расчета может оказаться более трудоемким, чем предложенный выше основной способ решения, однако он является полностью формализованным и не требует творческих усилий.

ИЛИ

Участок, изображенный на плане, представляет собой трапецию, площадь которой равна произведению полусуммы оснований на высоту. Таким образом, площадь участка: $дробь: числитель: 3 плюс 5, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3=12.$

Ответ: 12.

10.  

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 30 метров. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите общую длину забора в метрах.

ИЛИ

Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 16:00?

11.  

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в четыре раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

ИЛИ

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не обозначены)?

12.  

В треугольнике ABC известно, что AB  =  BC  =  13, AC  =  10. Найдите длину медианы BM.

13.  

Радиус основания цилиндра равен 13, а его образующая равна 18. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.

ИЛИ

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно $корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента .$

ИЛИ

Даны два шара с радиусами 9 и 3. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

14.  

Вычислите: $левая круглая скобка 6,7 минус 3,2 правая круглая скобка умножить на 2,4.$

ИЛИ

Найдите значение выражения: $левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 33 конец дроби плюс дробь: числитель: 13, знаменатель: 22 конец дроби правая круглая скобка : дробь: числитель: 5, знаменатель: 18 конец дроби .$

15.  

Ивану Кузьмичу начислена заработная плата 20 000 рублей. Из этой суммы вычитается налог на доходы физических лиц в размере 13%. Сколько рублей он получит после уплаты подоходного налога?

ИЛИ

ЕГЭ по физике сдавали 25 выпускников школы, что составляет треть от общего количества выпускников. Сколько выпускников этой школы не сдавали экзамен по физике?

ИЛИ

Площадь земель фермерского хозяйства, отведённых под посадку сельскохозяйственных культур, составляет 24 гектара и распределена между зерновыми и овощными культурами в отношении 5 : 3 соответственно. Сколько гектаров занимают овощные культуры?

16.  

Найдите значение выражения $дробь: числитель: 14 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка умножить на 7 в степени 8 конец дроби .$

ИЛИ

Найдите $косинус альфа ,$ если $синус альфа =0,8$ и $90 градусов меньше альфа меньше 180 градусов.$

ИЛИ

Найдите значение выражения $левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка .$

ИЛИ

Найдите значение выражения $логарифм по основанию 3 1,8 плюс логарифм по основанию 3 5.$

17.  

Найдите корень уравнения $3 в степени левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка =81.$

ИЛИ

Найдите корень уравнения $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка =6.$

ИЛИ

Найдите отрицательный корень уравнения $x в квадрате минус x минус 6=0.$

18.  

На координатной прямой отмечены точки A , B, C и D.

Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

ТОЧКИ

ЧИСЛА

1)   $логарифм по основанию 2 10$

2)   $дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби$

3)   $корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента$

4)   $левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

A	B	C	D

ИЛИ

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

А)   $2 в степени x больше или равно 4$

Б)   $0,5 в степени x \geqslant4$

В)   $0,5 в степени x \leqslant4$

Г)   $2 в степени x \leqslant4$

РЕШЕНИЯ

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В	Г

19.  

Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.

ИЛИ

На шести карточках написаны цифры 2, 3, 5, 6, 7, 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении

вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10, но не делится на 20. В ответе укажите какую-⁠нибудь одну такую сумму.

ИЛИ

Вычеркните в числе 75157613 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Решение. Разложим число 20 на слагаемые различными способами:

20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.

При разложении способами 1−4, 7 и 8 суммы квадратов чисел не кратны трём. При разложении пятым способом сумма квадратов кратна девяти. Разложение шестым способом удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, подходит любое число, записанное цифрами 5, 7 и 8. Например, это число 578: сумма его цифр равна 20, а сумма квадратов цифр равна 138, то есть делится на 3, но не делится на 9. Также подойдут и другие числа, например: 587, 758, 785, 857 или 875.

Ответ: 578, 587, 758, 785, 857 или 875.

ИЛИ

Чтобы сумма делилась на 10 она должна заканчиваться на 0. Чтобы сумма не делилась на 20, вторая цифра с конца не должна быть четной. Чтобы в конце суммы получить 0, можно выбрать следующие цифры: 2, 3, 5 и 6, 7, 7. Рассмотрим каждую из двух комбинаций.

Случай 1: комбинация 2, 3, 5.

Среди оставшихся цифр 6, 7, 7  — две нечетные и одна четная. Чтобы получить вторую цифру нечетную, нужно взять две чётных цифры или две нечётных цифры (к четной сумме будет добавляться 1 от суммы цифр в 1 разряде). Тогда получаем: 2 + 73 + 675  =  750. Заметим, что последовательность последних цифр в числах никак не влияет на результат.

Случай 2: комбинация 6, 7, 7.

Среди оставшихся цифр 2, 3, 5  — две нечетные и одна четная. Чтобы получить вторую цифру нечетную, нужно взять одну четную (2) и одну нечетную цифры (3 или 5) во втором разряде (к нечетной сумме будет добавляться 2 от суммы цифр в 1 разряде). Тогда получаем: 6 + 27 + 537  =  570 и 6 + 27 + 357  =  390.

Ответ: 390, 570 или 750.

ИЛИ

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4. Из признака делимости на 4 (число делится на 4, если две его последние цифры  — нули или образуют число, которое делится на 4) следует, что число чётное  — вычеркнем последние две цифры. Теперь используем признак делимости на 3. Найдём сумму цифр в числе 7 + 5 + 1 + 5 + 7 + 6  =  31. Ближайшие суммы цифр, которые делятся на 3  — 30, 27, 24.

Чтобы получить сумму цифр 30 вычеркнем из числа цифру 1. Получим число 75 576. Это число делится и на 4, и на 3.

Чтобы получить сумму цифр 24 вычеркнем из числа цифру 7. Цифра 7 встречается два раза в числе. Получаем числа 51 576 и 75 156. Эти числа делятся и на 4, и на 3.

Ответ: 75 576, 51 576, 75 156.

20.  

Расстояние между городами A и B равно 470 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 60 км/⁠ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города A. Ответ дайте в км/⁠ч.

ИЛИ

В среду акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а в четверг подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в среду. На сколько процентов подорожали акции компании в среду?

21.  

Маша и Медведь съели 160 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь  — печенье, но в какой-⁠то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в 3 раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

ИЛИ

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

ИЛИ

В доме всего 14 квартир с номерами от 1 до 14. В каждой квартире живёт не менее 1 и не более 4 человек. В квартирах с 1-⁠й по 12-⁠ю включительно живёт суммарно 14 человек, а в квартирах с 11-⁠й по 14-⁠ю включительно живёт суммарно 12 человек. Сколько всего человек живут в этом доме?

Решение. Маша и Медведь съели варенья поровну, следовательно, Маша потратила на поедание варенья в три раза больше времени, чем Медведь. Всё то время пока Маша ела варенье, Медведь ел печенье, причём в три раза быстрее, чем ест печенье Маша, то есть Медведь съел в 3 · 3  =  9 раз больше печенья. Пусть x  — количество печений, которое съела Маша, тогда получаем уравнение: x + 9x  =  160, откуда x  =  16. Значит, Медведь съел 16 · 9  =  144 печений.

Ответ: 144.

ИЛИ

Введём обозначения, как показано на рисунке. Периметр верхнего левого прямоугольника равна 24, поэтому $2 левая круглая скобка a плюс c правая круглая скобка = 24,$ аналогично, $2 левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка = 28,2 левая круглая скобка b плюс d правая круглая скобка = 16.$ При помощи полученной системы уравнений выразим значение $b плюс c:$

$система выражений новая строка a плюс c = 12, новая строка a плюс d = 14, новая строка b плюс d = 8 конец системы равносильно система выражений новая строка a = 12 минус c, новая строка d = 14 минус a, новая строка b плюс d = 8 конец системы равносильно система выражений новая строка a = 12 минус c, новая строка d = 2 плюс c, новая строка b плюс c плюс 2 = 8. конец системы$

Из третьего уравнения получаем: $b плюс c = 6,$ следовательно, искомый периметр равен 12.

Ответ: 12.

ИЛИ

В квартире могут жить один, два, три или четыре человека. В квартирах с 1-⁠й по 12-⁠ю включительно живёт суммарно 14 человек, следовательно, в 10 квартирах живёт по одному человеку, а в оставшихся двух квартирах живёт суммарно 4 человека. В квартирах с 11-⁠й по 14-⁠ю включительно живёт суммарно 12 человек, следовательно, в двух квартирах живёт по два человека, а в оставшихся живёт суммарно 8 человек. Рассмотренные множества квартир пересекаются по квартирам 11 и 12, значит, именно в квартирах 11 и 12 в сумме живёт 4 человека. Таким образом, получаем, что всего в доме живёт 10 · 1 + 4 + 4 · 2  =  22 человека.

Ответ: 22.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	523047	6\|36\|11
2	523048	4312\|3142
3	523049	7\|6559\|-3
4	523053	245\|15
5	523056	0,2\|0,97
6	523057	135\|256\|15\|51\|192000
7	523059	4132\|2143\|4231
8	523063	34\|14
9	523050	3\|12
10	523055	135\|120
11	523058	5\|14
12	523060	12
13	523061	180\|16\|9
14	523046	8,4\|3
15	523051	17400\|50\|9
16	523052	28\|-0,6\|51\|2
17	523054	7\|67\|-2
18	523062	4213\|4321
19	523064	578\|587\|758\|785\|857\|875\|390\|570\|750\|75576\|51576\|75156
20	523074	70\|20
21	523065	144\|12\|22

Демонстрационная версия ЕГЭ по математике 2023−2024. Базовый уровень.

Ключ