Число имеет оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 4, 5 и 6, а сле­до­ва­тель­но, при де­ле­нии этого числа на 60, в остат­ке тоже будет 2. Таким об­ра­зом, число имеет вид:

При : 62.

При : 122. При­сут­ству­ет нечётное число.

Также под­хо­дят числа 242, 422, 482, 602, 662 и 842.

Ответ: 242 или 422 или 482 или 602 или 662 или 842.

Чтобы сумма де­ли­лась на 10 она долж­на за­кан­чи­вать­ся на 0. Чтобы сумма не де­ли­лась на 20, вто­рая цифра с конца не долж­на быть чет­ной. Чтобы в конце суммы по­лу­чить 0, можно вы­брать сле­ду­ю­щие цифры: 2, 3, 5 и 6, 7, 7. Рас­смот­рим каж­дую из двух ком­би­на­ций.

Слу­чай 1: ком­би­на­ция 2, 3, 5.

Среди остав­ших­ся цифр 6, 7, 7  — две не­чет­ные и одна чет­ная. Чтобы по­лу­чить вто­рую цифру не­чет­ную, нужно взять две чётных цифры или две нечётных цифры (к чет­ной сумме будет до­бав­лять­ся 1 от суммы цифр в 1 раз­ря­де). Тогда по­лу­ча­ем: 2 + 73 + 675  =  750. За­ме­тим, что по­сле­до­ва­тель­ность по­след­них цифр в чис­лах никак не вли­я­ет на ре­зуль­тат.

Слу­чай 2: ком­би­на­ция 6, 7, 7.

Среди остав­ших­ся цифр 2, 3, 5  — две не­чет­ные и одна чет­ная. Чтобы по­лу­чить вто­рую цифру не­чет­ную, нужно взять одну чет­ную (2) и одну не­чет­ную цифры (3 или 5) во вто­ром раз­ря­де (к не­чет­ной сумме будет до­бав­лять­ся 2 от суммы цифр в 1 раз­ря­де). Тогда по­лу­ча­ем: 6 + 27 + 537  =  570 и 6 + 27 + 357  =  390.

Ответ: 390, 570 или 750.

Если число де­лит­ся на 125, то оно долж­но де­лить­ся и на 25, а зна­чит, окан­чи­вать­ся на 25, 50, 75 и 00. Толь­ко 75 со­сто­ит из раз­лич­ных нечётных цифр. Сле­до­ва­тель­но, нужно по­до­брать такое четырёхзнач­ное число, ко­то­рое будет окан­чи­вать­ся на 75 и все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и нечётны. Среди чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щих этим усло­ви­ям, на 125 де­лят­ся числа 1375 и 9375.

Ответ: 1375, 9375.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Если число де­лит­ся на 125, то оно долж­но окан­чи­вать­ся на 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 или 875. Толь­ко для 375 все цифры раз­лич­ны и не­чет­ны. Сле­до­ва­тель­но, число долж­но окан­чи­вать­ся на 375, тогда пер­вой циф­рой может быть 1 или 9, по­лу­чим числа 1375 и 9375.

Число де­лит­ся на 22 тогда и толь­ко тогда, когда оно де­лит­ся на 2 и на 11. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 2 (число де­лит­ся на 2, если его по­след­няя цифра чётная) сле­ду­ет, что число чётное  — вы­черк­нем по­след­нюю цифру. Те­перь ис­поль­зу­ем при­знак де­ли­мо­сти на 11: число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах, либо от­ли­ча­ет­ся от неё на 11. Вы­черк­нув цифры со­от­вет­ству­ю­щим об­ра­зом, можно по­лу­чить числа 45 342, 45 452 и 53 152 ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем усло­ви­ям.

Ответ: 45 342, 45 452 или 53 152.