РЕШУ ЕГЭ — математика базовая

Применение производной к исследованию функций

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

На рисунке изображен график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале (−5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$  отрицательна.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  6 или совпадает с ней.

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 8; 3 правая круглая скобка .$ В какой точке отрезка $левая квадратная скобка минус 3;2 правая квадратная скобка$ функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ принимает наибольшее значение?

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13; 1].

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

10.  

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

11.  

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

12.  

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

13.  

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

14.  

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

15.  

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].

16.  

На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

17.  

На рисунке изображён график $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$ производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и восемь точек на оси абсцисс: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\dots,$ $x_8.$ В скольких из этих точек функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ возрастает?

18.  

На рисунке изображён график $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — и восемь точек на оси абсцисс: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\dots ,$ $x_8.$ В скольких из этих точек функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ убывает?

19.  

На рисунке изображен график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

20.  

На рисунке изображён график производной $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$ функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале (−8; 9). Найдите количество точек минимума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ принадлежащих отрезку [−4; 8].

21.  

На рисунке изображён график функции $у = f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции f(x), определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).

22.  

На рисунке изображён график производной y  =  f'(x) функции y  =  f(x), определённой на интервале (−4; 8). В какой точке отрезка [−3; 1] функция y  =  f(x) принимает наименьшее значение?

23.  

Функция y  =  f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x₀, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−5)  ≥  f (5).

Решение.

Напомним, что если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].

Таким образом, функция f, график производной которой дан в условии, возрастает на отрезках [−5; −3] и [3; 5] и убывает на отрезке [−3; 3].

Из этого следует, что f принимает наименьшее значение на левой границе отрезка, в точке −5, или в точке минимума х_min  =  3. В силу возрастания f на отрезке [3; 5] справедливо неравенство f (5) > f (3). Поскольку по условию f (−5) не меньше, чем f (5), справедлива оценка f (−5) > f (3).

Таким образом, наименьшего значения функция f достигает в точке 3. График одной из функций, удовлетворяющих условию, приведён на рисунке.

Ответ: 3.

Примечание Б. М. Беккера (Санкт-⁠Петербург).

Непрерывность функции на концах отрезка существенна. Действительно, если бы функция f имела в точке 5 разрыв первого рода (см. рис.), значение f (5) могло оказаться меньше значения f (3), а тогда наименьшим значением функции на отрезке [−5; 5] являлось бы значение функции в точке 5.

Примечание портала РЕШУ ЕГЭ.

Мы были удивлены, обнаружив это задание в экзаменационной работе досрочного ЕГЭ по математике 28.04.2014 г. Это непростое задание отсутствует в Открытых банках заданий, что, несомненно, оказалось неприятным сюрпризом для выпускников.

Примечание Александра Ларина (Москва).

В этой задачке весь ужас «выстрелил вхолостую», 99,9999% решающих даже и не обратят внимание на потенциальную угрозу  — ответ-⁠то получается такой же. А про соотношение значений на границах и уж тем более про непрерывность никто читать и не собирается :-) А вот если условие слегка поменять, то «минус балл» всей стране обеспечен будет.

24.  

На рисунке изображены график функции y  =  f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$ Найдите значение производной функции f(x) в точке $x_0.$

25.  

На рисунке изображен график функции $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 6). В какой точке отрезка [−2; 4] функция f(x) принимает наименьшее значение?

26.  

Функция y = f(x) определена на промежутке (−6; 4). На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция y = f(x) принимает наибольшее значение.

27.  

На рисунке изображен график производной функции y = f(x). При каком значении x эта функция принимает свое наибольшее значение на отрезке [−4; −2]?

№ п/п	№ задания	Ответ
1	27487	4
2	27488	7
3	27489	4
4	27490	44
5	27491	-3
6	27492	-7
7	27494	1
8	27495	1
9	27496	5
10	27497	-3
11	27498	18
12	27499	6
13	27500	6
14	27501	5
15	27502	4
16	119971	4
17	317541	3
18	317542	5
19	317544	4
20	500910	2
21	501188	9
22	504233	1
23	505119	3
24	505400	-1,5
25	505442	3
26	509035	-2
27	509056	-4

Ключ