Ре­ше­ние. Пусть уче­ник дал x пра­виль­ных от­ве­тов, y не­пра­виль­ных от­ве­тов и на z во­про­сов не от­ве­тил. Тогда

За каж­дый пра­виль­ный ответ он по­лу­чал 7, за не­пра­виль­ный (−10), за не­осве­щен­ный во­прос  — 0 очков. По­это­му:

От­сю­да имеем:

Так как число де­лит­ся на 7, то и 10y де­лит­ся на 7. Рас­смот­рим два слу­чая.

Если тогда то есть Тогда из пер­во­го урав­не­ния:

Если тогда то есть ко­ли­че­ство пра­виль­но от­ве­чен­ных во­про­сов Это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Таким об­ра­зом, уче­ник пра­виль­но от­ве­тил на 16 во­про­сов.

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. Пусть уче­ник дал x пра­виль­ных от­ве­тов, y не­пра­виль­ных от­ве­тов и на z во­про­сов не от­ве­тил. Тогда

За каж­дый пра­виль­ный ответ он по­лу­чал 7, за не­пра­виль­ный (-11), за не­осве­щен­ный во­прос  — 0 очков. По­это­му:

От­сю­да имеем:

Так как число де­лит­ся на 7, то и де­лит­ся на 7. Рас­смот­рим два слу­чая.

Если тогда то есть Тогда из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Если тогда то есть ко­ли­че­ство пра­виль­но от­ве­чен­ных во­про­сов Это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Таким об­ра­зом, уче­ник пра­виль­но от­ве­тил на 23 во­про­са.

Ответ: 23

Ре­ше­ние. Пусть уче­ник дал x пра­виль­ных от­ве­тов, y не­пра­виль­ных от­ве­тов и на z во­про­сов не от­ве­тил. Тогда

За каж­дый пра­виль­ный ответ он по­лу­чал 9, за не­пра­виль­ный (−16), за не­осве­щен­ный во­прос  — 0 очков. По­это­му:

От­сю­да имеем: Так как число де­лит­ся на 9, то и 16y де­лит­ся на 9. Рас­смот­рим два слу­чая.

Если тогда то есть Тогда из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Если тогда то есть ко­ли­че­ство пра­виль­но от­ве­чен­ных во­про­сов Это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Таким об­ра­зом, уче­ник пра­виль­но от­ве­тил на 35 во­про­сов.

Ответ: 35.

Ре­ше­ние. Пусть уче­ник дал x пра­виль­ных от­ве­тов, y не­пра­виль­ных от­ве­тов и на z во­про­сов не от­ве­тил. Тогда

За каж­дый пра­виль­ный ответ он по­лу­чал 5, за не­пра­виль­ный (−9), за не­осве­щен­ный во­прос  — 0 очков. По­это­му:

От­сю­да имеем:

Так как число де­лит­ся на 5, то и 9y де­лит­ся на 5. Рас­смот­рим два слу­чая.

Если тогда то есть Тогда из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Если тогда то есть ко­ли­че­ство пра­виль­но от­ве­чен­ных во­про­сов Это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Таким об­ра­зом, уче­ник пра­виль­но от­ве­тил на 17 во­про­сов.

Ответ: 17.

Ре­ше­ние. Пусть уче­ник дал x пра­виль­ных от­ве­тов, y не­пра­виль­ных от­ве­тов и на z во­про­сов не от­ве­тил. Тогда

За каж­дый пра­виль­ный ответ он по­лу­чал 9, за не­пра­виль­ный (−17), за не­осве­щен­ный во­прос  — 0 очков.

От­сю­да имеем:

Так как число де­лит­ся на 9, то и 17y де­лит­ся на 9. Рас­смот­рим два слу­чая.

Если тогда то есть Тогда из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Если тогда то есть ко­ли­че­ство пра­виль­но от­ве­чен­ных во­про­сов Это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Таким об­ра­зом, уче­ник пра­виль­но от­ве­тил на 34 во­про­сов.

Ответ: 34.

Ре­ше­ние. Пусть уче­ник дал x пра­виль­ных от­ве­тов, y не­пра­виль­ных от­ве­тов и на z во­про­сов не от­ве­тил. Тогда

За каж­дый пра­виль­ный ответ он по­лу­чал 5, за не­пра­виль­ный (−12), за не­осве­щен­ный во­прос  — 0 очков. По­это­му:

От­сю­да имеем:

Так как число де­лит­ся на 5, то и 12y де­лит­ся на 5. Рас­смот­рим два слу­чая.

Если тогда то есть Тогда из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Если тогда то есть ко­ли­че­ство пра­виль­но от­ве­чен­ных во­про­сов Это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Таким об­ра­зом, уче­ник пра­виль­но от­ве­тил на 25 во­про­сов.

Ответ: 25.

Ре­ше­ние. Пусть уче­ник дал x пра­виль­ных от­ве­тов, y не­пра­виль­ных от­ве­тов и на z во­про­сов не от­ве­тил. Тогда

За каж­дый пра­виль­ный ответ он по­лу­чал 7, за не­пра­виль­ный (−9), за не­осве­щен­ный во­прос  — 0 очков. По­это­му:

От­сю­да имеем:

Так как число де­лит­ся на 7, то и 9y де­лит­ся на 7. Рас­смот­рим два слу­чая.

Если тогда то есть Тогда из пер­во­го урав­не­ния:

Если тогда то есть ко­ли­че­ство пра­виль­но от­ве­чен­ных во­про­сов Это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Таким об­ра­зом, уче­ник пра­виль­но от­ве­тил на 17 во­про­сов.

Ответ: 17.

Ре­ше­ние. Пусть уче­ник дал x пра­виль­ных от­ве­тов, y не­пра­виль­ных от­ве­тов и на z во­про­сов не от­ве­тил. Тогда

За каж­дый пра­виль­ный ответ он по­лу­чал 7, за не­пра­виль­ный (−13), за не­осве­щен­ный во­прос  — 0 очков. По­это­му:

От­сю­да имеем:

Так как число де­лит­ся на 7, то и 13y де­лит­ся на 7. Рас­смот­рим два слу­чая.

Если тогда то есть Тогда из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Если тогда то есть ко­ли­че­ство пра­виль­но от­ве­чен­ных во­про­сов Это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Таким об­ра­зом, уче­ник пра­виль­но от­ве­тил на 21 во­про­са.

Ответ: 21.

Ре­ше­ние. Пусть уче­ник дал x пра­виль­ных от­ве­тов, y не­пра­виль­ных от­ве­тов, и на z во­про­сов не от­ве­тил. Сле­до­ва­тель­но, За каж­дый пра­виль­ный ответ он по­лу­чал 5 очков, за не­пра­виль­ный  — –⁠12, за не­от­ве­чен­ный во­прос  — 0. От­сю­да сле­ду­ет, что то есть и Число де­лит­ся на 5, по­это­му и 12y де­лит­ся на 5. Рас­смот­рим два слу­чая.

Если тогда то есть Из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Если тогда то есть ко­ли­че­ство пра­виль­но от­ве­чен­ных во­про­сов Это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Таким об­ра­зом, уче­ник пра­виль­но от­ве­тил на 19 во­про­сов.

Ответ: 19.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

За пол­но­стью верно вы­пол­нен­ную вик­то­ри­ну можно по­лу­чить очков. Сле­до­ва­тель­но, уче­ник по­те­рял сум­мар­но 90 очков. За каж­дый не­от­ве­чен­ный во­прос уче­ник «не­до­би­рал» по 5 очков, а за каж­дый не­вер­ный ответ «не­до­би­рал» по 17 очков. Общая сумма очков, ко­то­рые не смог за­ра­бо­тать уче­ник, крат­на 5, сумма очков, ко­то­рую уче­ник не­до­брал за не­от­ве­чен­ные во­про­сы, крат­на 5, а по­то­му и сумма очков, спи­сан­ных за не­вер­ные от­ве­ты крат­на 5. Уче­ник ошиб­ся хотя бы раз. Если бы он ошиб­ся 10 раз, то с него бы спи­са­ли 170 очков, что не­воз­мож­но. Сле­до­ва­тель­но, уче­ник ошиб­ся 5 раз, за что по­те­рял 85 бал­лов. Осталь­ные 5 по­те­рян­ных бал­лов при­шлись на 1 не­от­ве­чен­ный во­прос. Таким об­ра­зом, уче­ник дал 19 вер­ных от­ве­тов, 5 не­вер­ных и не от­ве­тил на 1 во­прос вик­то­ри­ны.

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Спи­сок за­да­ний вик­то­ри­ны со­сто­ял из 25 во­про­сов. За каж­дый пра­виль­ный ответ уче­ник по­лу­чал 7 очков, за не­пра­виль­ный ответ с него спи­сы­ва­ли 10 очков, а при от­сут­ствии от­ве­та да­ва­ли 0 очков. Сколь­ко вер­ных от­ве­тов дал уче­ник, на­брав­ший 42 очка, если из­вест­но, что по край­ней мере один раз он ошиб­ся?

Пусть уче­ник дал x пра­виль­ных от­ве­тов, y не­пра­виль­ных от­ве­тов и на z во­про­сов не от­ве­тил. Тогда

За каж­дый пра­виль­ный ответ он по­лу­чал 7, за не­пра­виль­ный (−10), за не­осве­щен­ный во­прос  — 0 очков. По­это­му:

От­сю­да имеем:

Так как число де­лит­ся на 7, то и 10y де­лит­ся на 7. Рас­смот­рим два слу­чая.

Если тогда то есть Тогда из пер­во­го урав­не­ния:

Если тогда то есть ко­ли­че­ство пра­виль­но от­ве­чен­ных во­про­сов Это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Таким об­ра­зом, уче­ник пра­виль­но от­ве­тил на 16 во­про­сов.

Ответ: 16.