Пусть уче­ник дал x пра­виль­ных от­ве­тов, y не­пра­виль­ных от­ве­тов, и на z во­про­сов не от­ве­тил. Сле­до­ва­тель­но, За каж­дый пра­виль­ный ответ он по­лу­чал 5 очков, за не­пра­виль­ный  — –⁠12, за не­от­ве­чен­ный во­прос  — 0. От­сю­да сле­ду­ет, что то есть и Число де­лит­ся на 5, по­это­му и 12y де­лит­ся на 5. Рас­смот­рим два слу­чая.

Если тогда то есть Из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Если тогда то есть ко­ли­че­ство пра­виль­но от­ве­чен­ных во­про­сов Это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Таким об­ра­зом, уче­ник пра­виль­но от­ве­тил на 19 во­про­сов.

Ответ: 19.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

За пол­но­стью верно вы­пол­нен­ную вик­то­ри­ну можно по­лу­чить очков. Сле­до­ва­тель­но, уче­ник по­те­рял сум­мар­но 90 очков. За каж­дый не­от­ве­чен­ный во­прос уче­ник «не­до­би­рал» по 5 очков, а за каж­дый не­вер­ный ответ «не­до­би­рал» по 17 очков. Общая сумма очков, ко­то­рые не смог за­ра­бо­тать уче­ник, крат­на 5, сумма очков, ко­то­рую уче­ник не­до­брал за не­от­ве­чен­ные во­про­сы, крат­на 5, а по­то­му и сумма очков, спи­сан­ных за не­вер­ные от­ве­ты крат­на 5. Уче­ник ошиб­ся хотя бы раз. Если бы он ошиб­ся 10 раз, то с него бы спи­са­ли 170 очков, что не­воз­мож­но. Сле­до­ва­тель­но, уче­ник ошиб­ся 5 раз, за что по­те­рял 85 бал­лов. Осталь­ные 5 по­те­рян­ных бал­лов при­шлись на 1 не­от­ве­чен­ный во­прос. Таким об­ра­зом, уче­ник дал 19 вер­ных от­ве­тов, 5 не­вер­ных и не от­ве­тил на 1 во­прос вик­то­ри­ны.