Ре­ше­ние. Раз­де­лим 20 на 3, по­лу­чим Зна­чит, в поход нужно взять 7 па­ла­ток.

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Упо­ря­до­чим от мед­лен­но­го к быст­ро­му. Ясно, что улит­ка самая мед­лен­ная, че­ло­век быст­рее улит­ки, ав­то­мо­биль еще быст­рее, а ско­рость звука  — наи­боль­шая из ско­ро­стей в спис­ке. По­лу­чим со­от­вет­ствие: В  — 1, Б  — 4, А  — 2, Г  — 3.

Ответ: 2413.

Ре­ше­ние. Сред­ний балл участ­ни­ков из Бол­га­рии ука­зы­ва­ет пятый стол­бец диа­грам­мы. Он равен 465.

Ответ: 465.

Ре­ше­ние. Со­глас­но фор­му­ле под­став­ля­ем:

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. В сред­нем из 1000 са­до­вых на­со­сов, по­сту­пив­ших в про­да­жу, 1000 − 5  =  995 не под­те­ка­ют. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что один слу­чай­но вы­бран­ный для кон­тро­ля насос не под­те­ка­ет, равна

Ответ: 0,995.

Ре­ше­ние. Вадим Алек­се­е­вич дол­жен по­тра­тить на билет не боль­ше 2250 руб­лей, зна­чит, под­хо­дят по­ез­да 4, 5 и 7. По­сколь­ку ему не­об­хо­ди­мо при­е­хать в Минск не позже 07:00, то поезд 7 не под­хо­дит. По­сколь­ку ему не­об­хо­ди­мо про­ве­сти в пути не более 10 часов, то не под­хо­дит поезд 4. Все усло­вия вы­пол­ня­ют­ся толь­ко для по­ез­да 5.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. В ин­тер­ва­ле вре­ме­ни то 0 до 1 ча­сто­та пуль­са не пре­вы­ша­ла 100 уд./⁠мин.

В ин­тер­ва­ле вре­ме­ни то 1 до 2 наи­боль­ший рост ча­сто­ты пуль­са.

В ин­тер­ва­ле вре­ме­ни то 2 до 3 ча­сто­та пуль­са па­да­ла.

В ин­тер­ва­ле вре­ме­ни то 3 до 4 ча­сто­та пуль­са сна­ча­ла па­да­ла, а затем росла.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие: А  — 4, Б  — 2, В  — 1, Г  — 3.

Ответ: 4213.

Ре­ше­ние. 1.  Найдётся 9 кру­жек с чаем без са­ха­ра и ли­мо­на  — верно, по­сколь­ку даже если по­ло­жить в 6 кру­жек сахар, в 4 дру­гие круж­ки  — лимон, тогда осталь­ные 10 кру­жек будут без са­ха­ра и ли­мо­на; если же класть лимон в те круж­ки, где уже есть сахар, то кру­жек без са­ха­ра и ли­мо­на будет еще боль­ше.

2.  Найдётся 3 круж­ки с чаем с ли­мо­ном, но без са­ха­ра  — не­вер­но, по­сколь­ку можно по­ло­жить в 6 кру­жек сахар и в 4 из этих кру­жек лимон.

3.  Если в круж­ке чай без са­ха­ра, то он с ли­мо­ном  — не­вер­но, по­сколь­ку можно по­ло­жить в 6 кру­жек сахар, в 4 дру­гие круж­ки лимон, тогда осталь­ные 10 кру­жек будут без са­ха­ра и ли­мо­на.

4.  Не найдётся 8 кру­жек с чаем без са­ха­ра, но с ли­мо­ном  — верно, по­сколь­ку толь­ко в 4 круж­ки офи­ци­ант со­би­ра­ет­ся по­ло­жить лимон.

Ответ: 14.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию или его про­дол­же­нию. Вы­бе­рем за ос­но­ва­ние вер­ти­каль­ную сто­ро­ну дли­ной 3 клет­ки. Тогда про­ве­ден­ная к ней из левой ниж­ней вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка вы­со­та равна 5 клет­кам (см. рис.). По­это­му

Ответ: 7,5.

Ре­ше­ние. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины на ши­ри­ну, по­это­му фак­ти­че­ская пло­щадь квар­ти­ры 3 · 5,1  =  15,3 кв. м. Она боль­ше пло­ща­ди, ука­зан­ной на плане, на 15,3 − 15,2  =  0,1 кв. м.

Ответ: 0,1.

Ре­ше­ние. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём сто­ро­ну ската крыши:

Тогда пло­щадь крыши равна:

Ответ: 80.

Ре­ше­ние. От­ре­зок MO  — ра­ди­ус за­дан­ной окруж­но­сти. Обо­зна­чим его бук­вой R. Со­еди­ним от­рез­ка­ми точки М и N с цен­тром окруж­но­сти (см. рис.), а также с точ­кой А. В тре­уголь­ни­ке MON сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник MON  — рав­но­бед­рен­ный, у ко­то­ро­го от­ре­зок OH  — ме­ди­а­на по усло­вию. Но тогда от­ре­зок OH яв­ля­ет­ся также вы­со­той этого тре­уголь­ни­ка, то есть от­ре­зок OH и диа­метр AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны хорде MN. Тогда в тре­уголь­ни­ке MHB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Угол AMB  — впи­сан­ный, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр, а зна­чит, пря­мой. Вы­со­та MH пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AMB, опу­щен­ная из вер­ши­ны пря­мо­го угла М на ги­по­те­ну­зу AB, яв­ля­ет­ся сред­ней про­пор­ци­о­наль­ной ве­ли­чи­ной между про­ек­ци­я­ми ка­те­тов AH и BH на ги­по­те­ну­зу АВ. Зна­чит,

от­ку­да то есть

Ответ: 14,7.

Дру­гие ре­ше­ния.

Счи­тая пер­пен­ди­ку­ляр­ность AB и MN уже до­ка­зан­ной, при­ве­дем еще не­сколь­ко спо­со­бов на­хож­де­ния длины от­рез­ка MO.

Спо­соб 2 (см. рис.). Со­еди­ним от­рез­ком точки В и N. Ис­хо­дя из со­об­ра­же­ний сим­мет­рии окруж­но­сти от­но­си­тель­но диа­мет­ра АВ, имеем:

Кроме того,

Тре­уголь­ник MBN  — впи­сан­ный, по­это­му его пло­щадь равна то есть

За­ме­ча­ние. Здесь ис­поль­зо­ва­на фор­му­ла для ра­ди­у­са опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка.

Спо­соб 3 (см. рис.). Угол AMB  — впи­сан­ный, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр, а зна­чит, угол AMB равен 90°. В тре­уголь­ни­ке AMB катет MB яв­ля­ет­ся сред­ней про­пор­ци­о­наль­ной ве­ли­чи­ной между ги­по­те­ну­зой AB (она же яв­ля­ет­ся ди­мет­ром окруж­но­сти) и про­ек­ци­ей ка­те­та МВ на ги­по­те­ну­зу АВ, то есть от­ку­да:

Спо­соб 4 (см. рис.). Обо­зна­чим рав­ные углы MBO и BMO через α. Тогда В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BHM:

В тре­уголь­ни­ке MOB по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

то есть от­ку­да

Спо­соб 5 (см. рис.). Если угол MBA равен α, то угол MAB равен Зна­чит, В со­от­вет­ствии со след­стви­ем из тео­ре­мы си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке AMB по­лу­ча­ем то есть от­ку­да

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что в усло­вии за­да­чи нет ука­за­ния на вза­им­ное рас­по­ло­же­ние точек B, O и H. Можно было бы про­ве­сти хорду MN таким об­ра­зом, чтобы точка H по­па­ла на от­ре­зок OB. Од­на­ко в этом слу­чае ра­ди­ус окруж­но­сти по­лу­чил­ся бы от­ри­ца­тель­ным. Сле­до­ва­тель­но, хорда MN долж­на быть рас­по­ло­же­на таким об­ра­зом, чтобы точка H по­па­ла на от­ре­зок OA.

Ре­ше­ние. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где S  — пло­щадь ос­но­ва­ния, h  — вы­со­та. Объем пи­ра­ми­ды равен

где   — пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, по по­стро­е­нию рав­ная по­ло­ви­не пло­ща­ди ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Тогда объем пи­ра­ми­ды в 6 раз мень­ше объ­е­ма па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 1,5.

Ре­ше­ние. Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 5.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние:

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ре­ше­ние. Одна по­гре­муш­ка в этом ма­га­зи­не будет сто­ить

Зна­чит, две по­гре­муш­ки будут сто­ить 128 · 2  =  256 руб­лей.

Ответ: 256.

Ре­ше­ние. Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 0,4.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: − 1.

Ре­ше­ние. Ясно, что За­ме­тим, что

Таким об­ра­зом,

Ответ: 3412.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 125, то оно долж­но де­лить­ся и на 25, а зна­чит, окан­чи­вать­ся на 25, 50, 75 и 00. Толь­ко 75 со­сто­ит из раз­лич­ных нечётных цифр. Сле­до­ва­тель­но, нужно по­до­брать такое четырёхзнач­ное число, ко­то­рое будет окан­чи­вать­ся на 75 и все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и нечётны. Среди чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щих этим усло­ви­ям, на 125 де­лят­ся числа 1375 и 9375.

Ответ: 1375, 9375.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Если число де­лит­ся на 125, то оно долж­но окан­чи­вать­ся на 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 или 875. Толь­ко для 375 все цифры раз­лич­ны и не­чет­ны. Сле­до­ва­тель­но, число долж­но окан­чи­вать­ся на 375, тогда пер­вой циф­рой может быть 1 или 9, по­лу­чим числа 1375 и 9375.

Ре­ше­ние. Ско­рость дви­же­ния ми­нут­ной стрел­ки 12 де­ле­ний/⁠час (под одним де­ле­ни­ем здесь под­ра­зу­ме­ва­ет­ся рас­сто­я­ние между со­сед­ни­ми циф­ра­ми на ци­фер­бла­те часов), а ча­со­вой  — 1 де­ле­ние/⁠час. До чет­вер­той встре­чи ми­нут­ной и ча­со­вой стре­лок ми­нут­ная долж­на сна­ча­ла 3 раза «обо­гнать» ча­со­вую, то есть прой­ти 3 круга по 12 де­ле­ний. Пусть после этого до чет­вер­той встре­чи ча­со­вая стрел­ка прой­дет L де­ле­ний. Тогда общий путь ми­нут­ной стрел­ки скла­ды­ва­ет­ся из най­ден­ных 36 де­ле­ний, ещё 8 из­на­чаль­но раз­де­ля­ю­щих их де­ле­ний (по­сколь­ку часы по­ка­зы­ва­ют 8 часов) и по­след­них L де­ле­ний. При­рав­ня­ем время дви­же­ния для ча­со­вой и ми­нут­ной стре­лок:

Ча­со­вая стрел­ка прой­дет 4 де­ле­ния, что со­от­вет­ству­ет 4 часам, то есть 240 ми­ну­там.

Ответ: 240.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ясно, что в пер­вый раз стрел­ки встре­тят­ся между 8 и 9 ча­са­ми, вто­рой раз  — между 9 и 10 ча­са­ми, тре­тий  — между 10 и 11, чет­вер­тый  — между 11 и 12 ча­са­ми, то есть ровно в 12 часов. Таким об­ра­зом, они встре­тят­ся ровно через 4 часа, что со­став­ля­ет 240 минут.

По прось­бам чи­та­те­лей по­ме­ща­ем общее ре­ше­ние.

Ско­рость вра­ще­ния ча­со­вой стрел­ки равна 0,5 гра­ду­са в ми­ну­ту, а ми­нут­ной  — 6 гра­ду­сов в ми­ну­ту. По­это­му, когда часы по­ка­зы­ва­ют время h часов m минут, ча­со­вая стрел­ка по­вер­ну­та на 30h + 0,5m гра­ду­сов, а ми­нут­ная  — на 6m гра­ду­сов от­но­си­тель­но 12-⁠ча­со­во­го де­ле­ния.

Пусть в пер­вый раз стрел­ки встре­тят­ся через t₁ минут. Тогда если ми­нут­ная стрел­ка еще не опе­ре­жа­ла ча­со­вую в те­че­ние те­ку­ще­го часа, то 6m + 6t₁  =  30h + 0,5m + 0,5t₁, т. е. t₁  =  (60h − 11m)/11 (*). В про­ти­во­по­лож­ном слу­чае по­лу­ча­ем урав­не­ние 6m + 6t₁  =  30h + 0,5m + 0,5t₁ + 360, от­ку­да t₁  =  (60h − 11m + 720)/11 (**).

Пусть во вто­рой раз стрел­ки встре­тят­ся через t₂ минут после пер­во­го, тогда 0,5t₂  =  6t₂  − 360, от­ку­да t₂ = 720/11 (***). Это же верно для каж­до­го сле­ду­ю­ще­го обо­ро­та.

По­это­му для встре­чи с но­ме­ром n из (*) и (**) с уче­том (***) имеем со­от­вет­ствен­но: t_n  =  (60h − 11m + 720(n − 1))/11 или t_n  =  (60h − 11m + 720n)/11.

Ре­ше­ние. Сумма всех чисел в таб­ли­це равна 72 + 81 + 91  =  244. Сумма чисел в каж­дой стро­ке может быть равна 14 или 15. В таб­ли­це не может быть боль­ше, чем строк. И не может быть мень­ше строк. Сле­до­ва­тель­но, в таб­ли­це ровно 17 строк.

Ответ: 17.